Dérivation

La sécante (la droite qui coupe la courbe en ces deux points) a pour pente $\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Ce quotient s'appelle le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $3$ ;

on dit aussi taux de variation : c'est le même nombre.

La carte « Taux d'accroissement et sécantes », un peu plus loin, l'écrit avec $a = 1$ et $h = 2$

Car : le second point a pour abscisse $a + h = 3$.

Sur la copie : la sécante passant par les points d'abscisses $1$ et $3$ a pour coefficient directeur $4$.

• Quand $h$ se rapproche de $0$, le second point glisse vers le premier et les sécantes se rapprochent d'une position limite : la tangente au point d'abscisse $a$.

• Le même taux s'écrit aussi avec deux abscisses $a$ et $x$ : les deux écritures donnent le même nombre dérivé.

Par exemple : pour $h = 0{,}1$ :

Donc :

La colonne $h = 2$ est la sécante de pente $4$ de la carte « Rappel : la pente d'une droite, et celle d'une sécante ».

Plus $h$ est proche de $0$ (qu'il soit positif ou négatif), plus le taux est proche de $2$ : les sécantes se rapprochent de la tangente au point d'abscisse $1$, dont la pente vaut $2$.

Ce nombre s'appellera le nombre dérivé $f'(1)$.

En Python, la liste des pentes des sécantes pour des pas de plus en plus petits :

def f(x):
    return x**2
for h in [1, 0.1, 0.01, 0.001]:
    print(h, round((f(1 + h) - f(1)) / h, 6))

c'est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

Si la tangente est horizontale, $f'(a) = 0$.

Remplacer $h$ par $0$ tout de suite donnerait $\dfrac{0}{0}$, qui ne veut rien dire : on simplifie d'abord.

1. 1

   On écrit la différence :

   $\displaystyle f(2+h) - f(2) = \dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2}$
2. 2

   On réduit au même dénominateur $2(2+h)$ :

   $\displaystyle \dfrac{2}{2(2+h)} - \dfrac{2+h}{2(2+h)} = \dfrac{2 - 2 - h}{2(2+h)} = \dfrac{-h}{2(2+h)}$
3. 3

   Diviser par $h$, c'est multiplier par $\dfrac{1}{h}$ :

   $\displaystyle \dfrac{-h}{2(2+h)} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)}$
4. 4

   Quand $h$ tend vers $0$, le dénominateur $2(2+h)$ tend vers $2 \times 2 = 4$.

Sur la copie : le taux tend vers $-\dfrac{1}{4}$

Donc : $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.

On retrouvera ce résultat en une ligne avec la formule de dérivation de la fonction inverse.

Comme $h = \sqrt{h} \times \sqrt{h}$ : le taux se simplifie :

Le taux grandit sans fin : il n'a pas de limite finie

Donc : pas de nombre dérivé en $0$.

Sur le dessin, les sécantes se redressent jusqu'à la verticale : la tangente en $0$ est l'axe des ordonnées.

Or : une droite verticale n'a pas de coefficient directeur : entre deux de ses points, $x$ ne change pas, et on ne peut pas diviser par $0$.

Une demi-tangente est une tangente d'un seul côté du point.

Pour $\lvert x \rvert$ en $0$ : à droite de $0$, la courbe suit la droite $y = x$ (pente $1$) ;

à gauche, la droite $y = -x$ (pente $-1$).

Sur la copie : le taux $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ n'a pas de limite finie quand $h$ tend vers $0$

Donc : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

Donc : le taux vaut $2a + h$, qui tend vers $2a$.

Ainsi : $f'(a) = 2a$ pour tout réel $a$ :

Inverse, pour $a \neq 0$ :

Donc : le taux vaut $\dfrac{-1}{a(a+h)}$, qui tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$.

Avec $a = 2$, on retrouve $-\dfrac{1}{4}$.

À chaque nombre, on associe ainsi son nombre dérivé : c'est une nouvelle fonction, la fonction dérivée, notée $x \mapsto 2x$ pour le carré (on lit « la fonction qui à $x$ associe $2x$ ») et $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ pour l'inverse.

Deux mots employés dans la carte « Fonction dérivée » : une fonction polynôme est une somme de termes de la forme nombre fois puissance de $x$, comme $4x^3 - 5x + 2$ ;

une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, comme $\dfrac{2x+1}{x-3}$.

• Il faut distinguer $f'(a)$, qui est un nombre (la pente d'une tangente), et $f'$, qui est une fonction (celle dont on étudiera le signe).

• Une fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ;

  une fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.

• Pour $n = -1$, on retrouve la dérivée de l'inverse.

• Le réflexe : réécrire $\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$ avant de dériver.

pour $n = 3$, $3x^2$ ;

pour $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, on obtient $-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$.

Une fonction affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ : sa courbe est une droite, qui a la même pente $m$ en chacun de ses points.

Par exemple :

$-5x^2$ donne $-5 \times 2x = -10x$ ;

$7x$ donne $7$ (la pente de la droite d'équation $y = 7x$) ;

$-2$ donne $0$ (une constante ne varie pas).

Donc :

Puis :

On dérive d'abord, on remplace ensuite. Remplacer d'abord donnerait $f(1) = 4 - 5 + 7 - 2 = 4$, un simple nombre, dont la dérivée vaut $0$ : c'est faux.

Même geste avec racine et inverse :

1. 1

   On pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \sqrt{x}$

   Donc :

   $u'(x) = 2$ et $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
2. 2

   On applique $u'v + uv'$ :

   $\displaystyle f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x}}$
3. 3

   On met au même dénominateur $2\sqrt{x}$, en utilisant $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$ :

4. 4

   On additionne les numérateurs :

   $\displaystyle f'(x) = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$

Cette forme réduite sert à l'étude du signe : sur $]0\,;+\infty[$, numérateur et dénominateur sont strictement positifs

Donc :

La carte « Dérivée et sens de variation », plus loin, dira ce que ce signe apprend sur $f$.

• Même avertissement pour le quotient :

  ce n'est pas $\dfrac{u'}{v'}$

• Dans la formule du quotient, l'ordre compte : le terme $u'v$ vient en premier et le signe moins porte sur $uv'$ ;

  on divise par $v^2$, jamais par $v$.

1. 1

   On pose $u(x) = x^2 - 3$ et $v(x) = x - 2$

   Donc :

   $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$
2. 2

   On remplace dans $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ en gardant des parenthèses :

3. 3

   On développe le numérateur ;

   le signe moins porte sur tout $u$ :

   $\displaystyle 2x^2 - 4x - x^2 + 3 = x^2 - 4x + 3$
4. 4

   On ne développe pas le dénominateur :

   $(x - 2)^2$ est un carré

   Donc : positif, ce qui servira pour étudier le signe.

Donc :

Sans parenthèses, on aurait écrit $-x^2 - 3$ au lieu de $-x^2 + 3$, et tout le résultat serait faux.