Dérivation

$f'(x) = -2x$, donc $f'(2) = -4$. Or $f(2) = -4 + 1 = -3$.
La tangente a pour équation $y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -4(x - 2) - 3 = -4x + 5$.

On applique les dérivées usuelles :
$f'(x) = 5x^4$ (règle $(x^n)' = nx^{n-1}$).
$g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$.
$h'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ (sur $]-\infty\,;0[$ ou $]0\,;+\infty[$).
$k'(x) = 0$ : la dérivée d'une constante est nulle.

On dérive terme à terme, avec $(u + v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$ :
$f'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 \times 2x + 2 = 12x^3 - 10x + 2.$
(La dérivée de la constante $-7$ est nulle.)

Avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x^2 - 3$ ($v' = 2x$) :
$f' = u'v + uv' = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$.

Avec $u = x + 1$ ($u' = 1$) et $v = x - 2$ ($v' = 1$) :
$f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{(x - 2) - (x + 1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2}$.
Cette dérivée est strictement négative : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, qui s'annule en $-1$ et $1$.
$f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $]1\,;+\infty[$ ($f$ croissante) ; $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;1[$ ($f$ décroissante).
En $-1$, $f'$ change de signe $+$ vers $-$ : $f$ admet un maximum local $f(-1) = 2$. En $1$, $f'$ change de signe $-$ vers $+$ : $f$ admet un minimum local $f(1) = -2$.