Suites numériques

Initialisation ($n=0$) : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$, donc $(1+a)^0 \ge 1 + 0 \times a$. La propriété est vraie au rang $0$.
Hérédité : supposons $(1+a)^k \ge 1 + ka$. Comme $1+a > 0$, on peut multiplier l'inégalité par $1+a$ sans en changer le sens :
$$(1+a)^{k+1} \ge (1+ka)(1+a) = 1 + (k+1)a + ka^2.$$
Or $ka^2 \ge 0$ (car $k \ge 0$ et $a > 0$), donc $(1+a)^{k+1} \ge 1 + (k+1)a$.
Conclusion : pour tout $n \ge 0$, $(1+a)^n \ge 1 + na$.
Limite : comme $a > 0$, $1 + na \to +\infty$. Par le théorème de comparaison (minoration), $(1+a)^n \to +\infty$. Ceci prouve que $q^n \to +\infty$ dès que $q = 1+a > 1$.

C'est une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré $n^2$ :
$$\frac{5n^2 + 4}{4n^2 + 3n} = \frac{n^2\left(5 + \frac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(4 + \frac{3}{n}\right)} = \frac{5 + \frac{4}{n^2}}{4 + \frac{3}{n}}.$$
Comme $\dfrac{4}{n^2} \to 0$ et $\dfrac{3}{n} \to 0$, la limite vaut $\dfrac{5}{4}$.

C'est une forme indéterminée $\infty - \infty$. On multiplie et divise par l'expression conjuguée $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ :
$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$$
Quand $n \to +\infty$, le dénominateur $\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to +\infty$, donc
$$\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = 0.$$

Pour tout $n \ge 1$, on a $-1 \le \sin n \le 1$. En divisant par $n > 0$ :
$$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}.$$
Or $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n} \to 0$. D'après le théorème des gendarmes, $u_n \to 0$ : la suite converge vers $0$.

Pour tout $n \ge 0$, on a $\cos n \ge -1$, donc
$$u_n = n + \cos n \ge n - 1.$$
Or $n - 1 \to +\infty$. D'après le théorème de comparaison, comme $u_n$ est minorée par une suite tendant vers $+\infty$, on a $u_n \to +\infty$.

On applique le résultat sur la limite de $(q^n)$ selon la valeur de $q$.
1) Ici $q = \dfrac{2}{3}$ et $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$, donc $\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$. Ainsi $u_n \to 0$.
2) Ici $q = \dfrac{5}{2} > 1$, donc $\left(\dfrac{5}{2}\right)^n \to +\infty$. En multipliant par $3 > 0$, $v_n \to +\infty$.
3) Ici $q = -2 \le -1$ : la suite $(q^n)$ n'a pas de limite. En effet, pour $n$ pair $(-2)^n = 2^n \to +\infty$ et pour $n$ impair $(-2)^n = -2^n \to -\infty$ : $w_n$ oscille, donc n'a pas de limite.

1) $v_{n+1} = u_{n+1} + 5 = 2u_n + 5 + 5 = 2u_n + 10 = 2(u_n + 5) = 2v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 5 = 7$.
2) On a $v_n = v_0 \times 2^n = 7 \times 2^n$, d'où $u_n = v_n - 5 = 7 \times 2^n - 5$. Comme $2 > 1$, $2^n \to +\infty$, donc $u_n \to +\infty$.

1) Notons $P(n) : 0 \le u_n \le 2$.
Initialisation : $u_0 = 0$, donc $0 \le u_0 \le 2$ : $P(0)$ vraie.
Hérédité : supposons $0 \le u_k \le 2$. Alors $2 \le u_k + 2 \le 4$, donc $\sqrt{2} \le \sqrt{u_k + 2} \le 2$ (la fonction racine est croissante). Comme $\sqrt{2} \ge 0$, on obtient $0 \le u_{k+1} \le 2$. Ainsi $P(k+1)$ est vraie.
Conclusion : $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n$.
2) Comparons $u_{n+1}$ et $u_n$. Comme $u_n \ge 0$ et $u_{n+1} \ge 0$ :
$$u_{n+1} \ge u_n \iff \sqrt{u_n + 2} \ge u_n \iff u_n + 2 \ge u_n^2 \iff u_n^2 - u_n - 2 \le 0 \iff (u_n - 2)(u_n + 1) \le 0.$$
Comme $0 \le u_n \le 2$, on a $u_n - 2 \le 0$ et $u_n + 1 > 0$, donc le produit est $\le 0$. Ainsi $u_{n+1} \ge u_n$ : la suite est croissante.
3) La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge (vers une limite $\ell$ vérifiant $\ell \le 2$).