Suites numériques · fiche de révision Mathématiques Terminale

Vocabulaire

Lire les notations des suites à voix haute

$(u_n)$ , avec parenthèses, désigne toute la suite ;

$u_n$ , sans parenthèses, désigne un seul terme, celui de rang $n$ , et se lit « u indice n ».

Vocabulaire

Lire les notations des suites à voix haute

$(u_n)$ , avec parenthèses, désigne toute la suite ;

$u_n$ , sans parenthèses, désigne un seul terme, celui de rang $n$ , et se lit « u indice n ».

Formulaire

Rappel : suites arithmétiques et géométriques

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison) pour passer d'un terme au suivant, et géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre $q$ (sa raison).

La relation $u_{n+1} = \dots$ s'appelle une relation de récurrence ;
la formule qui donne $u_n$ directement en fonction de $n$ s'appelle la forme explicite.
Une hausse de $5\ \%$ revient à multiplier par $1{,}05$ , une baisse de $20\ \%$ à multiplier par $0{,}8$ .

Exemple

$u_0 = 200$ et une hausse de $5\ \%$ par an donnent une suite géométrique de raison $1{,}05$

Donc :

u_n = 200 \times 1{,}05^n

u_3 = 200 \times 1{,}157625 = 231{,}525

Si la suite commence au rang $1$ , la forme explicite devient $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ .

À retenir

\displaystyle u_{n+1} = u_n + r \iff u_n = u_0 + n \times r

Propriété

Rappel : ce qu'on a le droit de faire à une inégalité

Toutes les récurrences d'inégalités et tous les encadrements reposent sur ces règles.

Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres : le sens ne change pas.

Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas.

Par un nombre strictement négatif : le sens s'inverse

Car :

2 < 3

mais

-2 > -3

Appliquer aux deux membres une fonction croissante sur un intervalle qui les contient (racine carrée, ou carré sur $[0\,;+\infty[$ ) conserve le sens ;

une fonction décroissante sur un tel intervalle l'inverse :

2 < 3

mais

\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}

Hors de cet intervalle, rien ne marche :

-3 < 2

mais

(-3)^2 = 9 > 4

Exemple

Si $0 \le u_k \le 4$ et $u_{k+1} = 5 - \dfrac{1}{2}u_k$ , on multiplie par $-\dfrac{1}{2}$ , ce qui inverse le sens :

À retenir

\displaystyle 0 \le u_k \le 4 \ \Rightarrow\ -2 \le -\dfrac{1}{2}u_k \le 0

Méthode

Étudier le sens de variation d'une suite

Le réflexe est le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : positive pour tout $n$ , la suite est croissante ;

négative, elle est décroissante.

Quand tous les termes sont strictement positifs, on peut à la place comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Exemple

Avec $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ :

\displaystyle u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1}

À retenir

\displaystyle u_{n+1} - u_n \ge 0 \ \Rightarrow \ (u_n) \ \text{croissante}

Exemple

Exemple : le sens de variation par le quotient

Énoncé : étudier le sens de variation de $u_n = \dfrac{2^n}{n}$ pour $n \ge 1$ .

Tous les termes sont strictement positifs et il y a une puissance : on compare le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

\displaystyle u_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1}

\displaystyle \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{2^n}

\displaystyle \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2n}{n+1}

\displaystyle \dfrac{2n}{n+1} \ge 1 \iff 2n \ge n + 1 \iff n \ge 1

C'est vrai pour tout $n \ge 1$ : la suite est croissante.

Contrôle : $u_1 = 2$ , $u_2 = 2$ , $u_3 = \dfrac{8}{3}$ (le quotient vaut $1$ pour $n = 1$ , d'où l'égalité $u_1 = u_2$ ).

À retenir

\displaystyle \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2

deux puissances de même base qui se suivent se simplifient en la base

Méthode

Raisonnement par récurrence

Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ : initialisation (vérifier $P(n_0)$ ), hérédité (supposer $P(k)$ vraie et en déduire $P(k+1)$ ), conclusion.

Les deux étapes sont indispensables.

Méthode

Rédiger une récurrence de bout en bout

On nomme d'abord la propriété $P(n)$ à démontrer

Puis : on écrit les trois blocs dans l'ordre.

Soit $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ , et $P(n)$ la propriété « $u_n \le 6$ » :

Initialisation :

\displaystyle u_0 = 1 \le 6

Donc :

P(0)

est vraie

Hérédité : soit $k$ un entier tel que $u_k \le 6$ ;

Alors :

\displaystyle \dfrac{1}{2}u_k \le 3

Donc :

\dfrac{1}{2}u_k + 3 \le 6

, c'est-à-dire

u_{k+1} \le 6

Conclusion : on écrit que $P(0)$ est vraie et que $P$ est héréditaire, donc que $u_n \le 6$ pour tout entier naturel $n$ .

À retenir

\displaystyle u_k \le 6 \ \Rightarrow \ \dfrac{1}{2}u_k + 3 \le 6

Méthode

Réussir l'hérédité : partir de la relation de récurrence

Devant l'hérédité, on ne part jamais de l'hypothèse seule : on part de la relation de l'énoncé.

1
Écrire l'hypothèse : $P(k)$ est vraie pour un entier $k$ fixé.
2
Écrire le but $P(k+1)$ en remplaçant $k$ par $k+1$ .
3
Partir de $u_{k+1} = \dots$ (la relation de récurrence) et y remplacer $u_k$ grâce à l'hypothèse.
4
Transformer jusqu'à retrouver exactement le but.

Exemple

Avec $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ et $P(n)$ :

À retenir

\displaystyle \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}

Piège

Une hérédité seule ne démontre rien

Sauter l'initialisation est l'erreur qui coûte le plus cher : la propriété « $4^n + 1$ est un multiple de $3$ » est parfaitement héréditaire, puisque $4^{k+1} + 1 = 4(4^k + 1) - 3$ , et elle est pourtant fausse à tous les rangs, à commencer par $4^0 + 1 = 2$ .

Deuxième faute, de rédaction cette fois : écrire « supposons que $u_n \le 6$ pour tout $n$ », c'est supposer exactement ce que l'on cherche à démontrer.
L'hypothèse de récurrence porte sur un seul rang fixé.

À retenir

\displaystyle 4^{k+1} + 1 = 4(4^k + 1) - 3

hérédité impeccable pour une propriété fausse partout : sans initialisation vérifiée, une récurrence ne prouve rien

Définition

Suite majorée, minorée, bornée

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$ , minorée s'il existe un réel $m$ tel que $m \le u_n$ pour tout $n$ , et bornée si elle est les deux à la fois.

Un majorant n'est pas unique : tout réel plus grand que $M$ majore encore la suite, et rien n'oblige un majorant à être atteint ni à être la limite.
Pour prouver qu'une suite est majorée, on exhibe un majorant explicite, le plus souvent par récurrence.

À retenir

\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ u_n \le M

la suite est majorée : aucun de ses termes ne dépasse le majorant, quel que soit le rang

\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ m \le u_n \le M

Vocabulaire

À partir d'un certain rang : ce que disent ces mots

« À partir d'un certain rang » veut dire : pour tous les entiers $n$ au-delà d'un entier bien choisi, les premiers termes pouvant faire exception.

Exemple

$\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ dès que $n > 100$

Donc : à partir du rang $101$ , alors que pour $n = 50$ , $\dfrac{1}{50} = 0{,}02$ ne convient pas.

Le rang dépend de l'exigence : pour obtenir $\dfrac{1}{n} < 0{,}001$ , il faut attendre le rang $1001$ .

Plus on exige, plus on attend, mais un tel rang existe toujours.

C'est le mot clé de la définition de la limite (carte « Ce que veut dire tendre vers une limite ») : les termes $\dfrac{1}{n}$ finissent tous dans l'intervalle $]-0{,}01\,;0{,}01[$ , et il en va de même pour n'importe quel intervalle ouvert contenant $0$ , aussi petit soit-il.

À retenir

\displaystyle n > 100 \ \Rightarrow\ 0 < \dfrac{1}{n} < 0{,}01

à partir du rang cent un, tous les termes restent dans l'intervalle voulu

\displaystyle n > 1000 \ \Rightarrow\ 0 < \dfrac{1}{n} < 0{,}001

Définition

Ce que veut dire tendre vers une limite

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Elle tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
Les premiers termes ne pèsent donc rien dans une limite : seul compte le comportement au bout, ce qui explique que les théorèmes du chapitre se contentent d'hypothèses vraies à partir d'un certain rang.

À retenir

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell

la suite converge : ses termes finissent par rester aussi proches que l'on veut de sa limite

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Définition

Tendre vers moins l'infini, avec un exemple chiffré

Une suite tend vers $-\infty$ lorsque tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : elle finit par passer sous n'importe quel seuil, aussi bas soit-il, et ne remonte plus au-dessus.

C'est le miroir de $+\infty$ : $(u_n)$ tend vers $-\infty$ exactement quand $(-u_n)$ tend vers $+\infty$ .

Exemple

$u_n = 5 - 2n$ et le seuil $A = -100$ .

\displaystyle 5 - 2n \le -100 \iff -2n \le -105 \iff n \ge 52{,}5

À retenir

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty

la suite finit par descendre sous n'importe quel seuil fixé à l'avance, et n'en remonte plus

\displaystyle 5 - 2n \le -100 \iff n \ge 52{,}5

Vocabulaire

Converger, diverger

Une suite converge quand elle admet une limite finie, et c'est le seul cas.

Tout le reste s'appelle diverger, et recouvre deux situations très différentes : ou bien la suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , ou bien elle n'a aucune limite, comme $u_n = (-1)^n$ qui alterne entre $-1$ et $1$ .
Annoncer qu'une suite diverge ne dit donc pas qu'elle part vers l'infini, et dire qu'elle est bornée ne dit pas qu'elle converge.

À retenir

\displaystyle u_n = (-1)^n

suite bornée et pourtant divergente : elle n'a pas de limite du tout, sans partir vers l'infini

Formulaire

Les limites de référence

Ces limites s'utilisent sans démonstration et servent de point de départ à tout calcul.

Le rang, ses puissances et sa racine divergent vers $+\infty$ , leurs inverses convergent vers $0$ .
Une suite constante converge vers sa valeur, ce qui sert dans les encadrements.

À retenir

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = \lim_{n \to +\infty} n^2 = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty

les suites de référence qui partent vers plus l'infini, comme toute puissance du rang d'exposant strictement positif

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0

Formulaire

Les règles d'opérations sur les limites

Pour une somme, un produit ou un quotient, on remplace chaque suite par sa limite et l'on applique la règle des signes ;

seules les quatre formes indéterminées échappent à ces règles et obligent à transformer l'écriture.

Quand un dénominateur tend vers $0$ , on précise s'il reste positif ( $0^+$ ) ou négatif ( $0^-$ ) : c'est lui qui donne le signe de l'infini obtenu.
Les mêmes règles valent pour les fonctions.

À retenir

1 $\displaystyle \ell + (+\infty) = +\infty$
2 $\displaystyle (+\infty) + (+\infty) = +\infty$
3 $\displaystyle (-\infty) + (-\infty) = -\infty$

une somme part à l'infini dès qu'un terme y part et qu'aucun ne part dans l'autre sens

1 $\displaystyle \ell \times (+\infty) = +\infty \ \text{si} \ \ell > 0$
2 $\displaystyle \ell \times (+\infty) = -\infty \ \text{si} \ \ell < 0$

1 $\displaystyle \dfrac{\ell}{\pm\infty} = 0$
2 $\displaystyle \dfrac{\ell}{0^+} = +\infty \ \text{si} \ \ell > 0$

Méthode

Opérations sur les limites et formes indéterminées

Les limites se combinent comme les opérations usuelles, sauf quatre formes indéterminées.

Pour lever l'indétermination : factoriser par le terme de plus haut degré, ou multiplier par l'expression conjuguée (racines).

À retenir

1 $\displaystyle \infty - \infty$
2 $\displaystyle 0 \times \infty$
3 $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$
4 $\displaystyle \dfrac{0}{0}$

les 4 formes indéterminées

Méthode

Lever une indétermination de quotient

Devant une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ , on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, on simplifie

Puis : on conclut avec les limites de référence.

Exemple

Avec $u_n = \dfrac{3n^2 - 5n + 2}{2n^2 + 7}$ et $n \ge 1$ :

\displaystyle u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \dfrac{7}{n^2}\right)}

\displaystyle u_n = \dfrac{3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}}{2 + \dfrac{7}{n^2}}

Les termes en $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n^2}$ tendent vers $0$ : on écrit que $(u_n)$ converge vers $\dfrac{3}{2}$ .

À retenir

\displaystyle \dfrac{3n^2 - 5n + 2}{2n^2 + 7} = \dfrac{3 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{7}{n^2}}

Méthode

Lever une indétermination avec l'expression conjuguée

On s'en sert devant une différence de racines qui donne $\infty - \infty$ .

L'idée : l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ fait disparaître les racines.

1
Multiplier et diviser par la somme des deux termes (l'expression conjuguée), qui n'est pas nulle.
2
Développer le numérateur avec $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ .
3

Exemple

Avec $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ :

À retenir

\displaystyle \left(\sqrt{n+1}\right)^2 - \left(\sqrt{n}\right)^2 = (n+1) - n = 1

Propriété

Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Trois théorèmes concluent sans calculer la limite, et leurs inégalités n'ont besoin d'être vraies qu'à partir d'un certain rang.

Comparaison
si $u_n \le v_n$ et si $u_n$ tend vers $+\infty$
Alors :
$v_n$ aussi
si $u_n \le v_n$ et si $v_n$ tend vers $-\infty$
Alors :
$u_n$ aussi
Gendarmes
si $u_n \le v_n \le w_n$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$
La comparaison sert pour une limite infinie (une seule inégalité), les gendarmes pour une limite finie (un encadrement des deux côtés) ;
avec deux limites différentes, ils ne disent rien.

À retenir

\displaystyle u_n \le v_n \le w_n \ \text{et} \ \lim u_n = \lim w_n = \ell \ \Rightarrow\ \lim v_n = \ell

Propriété

Minorée par une suite qui tend vers plus l'infini : la démonstration

C'est la démonstration de cours de la première phrase de la carte « Théorèmes de comparaison et des gendarmes ».

On suppose $u_n \le v_n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Soit $A$ un réel quelconque.

1
Comme $(u_n)$ tend vers $+\infty$ : l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang $N$ :

Si l'inégalité $u_n \le v_n$ n'est vraie qu'à partir d'un rang $p$ , on prend $n$ plus grand que $N$ et que $p$ : la preuve est la même.

Exemple

$v_n = n + \sin n$ .

Comme $\sin n \ge -1$ : on a $v_n \ge n - 1$ , et $n - 1$ tend vers $+\infty$

À retenir

\displaystyle n \ge N \ \Rightarrow\ v_n \ge u_n \ge A

la suite du dessous a passé le seuil, celle du dessus l'a donc passé aussi

Méthode

Encadrer une suite qui oscille

Dès qu'un terme oscille (un sinus, un cosinus, un $(-1)^n$ ), on l'encadre par des constantes, on répercute l'encadrement sur le reste de l'expression

Puis : on vérifie que les deux bornes ont la même limite.

Exemple

Avec $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$ pour $n \ge 1$ :

\displaystyle -1 \le \sin n \le 1

\displaystyle -\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}

Les deux bornes tendent vers $0$ : on écrit que, d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers $0$ .

À retenir

\displaystyle -\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}

Piège

Le sens de l'inégalité décide de tout

Pour une limite infinie, seule une inégalité dans le bon sens sert : on minore par une suite qui tend vers $+\infty$ , on majore par une suite qui tend vers $-\infty$ .

Écrire $v_n \le n^2$ ne prouve rien sur la limite de $(v_n)$ , alors que $v_n \ge n$ prouve qu'elle vaut $+\infty$ .
Pour une limite finie, une seule inégalité ne suffit jamais : il faut un encadrement des deux côtés par deux suites de même limite.
De $-1 \le v_n \le 1$ , on ne tire aucune limite.

À retenir

\displaystyle v_n \ge n \ \Rightarrow\ \lim v_n = +\infty

minorer par une suite qui part à l'infini suffit à conclure

\displaystyle v_n \le n^2 \ \Rightarrow\ \text{aucune conclusion}

Propriété

Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ , $(1+a)^n \ge 1 + na$ .

Elle se démontre par récurrence : l'hérédité multiplie l'hypothèse $(1+a)^k \ge 1 + ka$ par $1 + a$ , qui est positif (le sens est conservé), puis écarte le terme $ka^2$ , positif lui aussi.

À retenir

\displaystyle (1+a)^n \ge 1 + na

valable pour tout réel strictement positif et tout entier naturel

\displaystyle (1+a)^{k+1} \ge (1+ka)(1+a) = 1 + (k+1)a + ka^2 \ge 1 + (k+1)a

Propriété

Limite d'une suite géométrique

Le comportement de $(q^n)$ ne dépend que de la position du réel $q$ par rapport à $-1$ et à $1$ .

Pour $q > 1$ , l'inégalité de Bernoulli donne la limite $+\infty$ ;
pour $-1 < q < 1$ , les termes s'écrasent vers $0$ .
Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$ , on multiplie ensuite par $u_0$ : avec $u_0 < 0$ et $q > 1$ , la limite devient $-\infty$ .
Le cas $q \le -1$ est celui des suites qui alternent sans se stabiliser : $(-1)^n$ vaut $1$ puis $-1$ , et $(-2)^n$ grandit en changeant de signe.

À retenir

\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } q>1 \\ 1 & \text{si } q=1 \\ 0 & \text{si } -1<q<1 \end{cases}

Méthode

Calculer une limite : par où commencer

1
Écrire la limite de chaque morceau (cartes « Les limites de référence » et « Limite d'une suite géométrique »).
2
Combiner avec la carte « Les règles d'opérations sur les limites ».
Pas de forme indéterminée : c'est terminé.
3
Forme indéterminée : on transforme l'écriture.
Somme ou quotient de puissances de $n$ : factoriser par le terme de plus haut degré.
Différence de racines : expression conjuguée.
Sinus, cosinus ou $(-1)^n$ : encadrer.

Exemple

$u_n = n^2 - 3n$ .

On a $n^2 \to +\infty$ et $-3n \to -\infty$ :

forme

\infty - \infty

Pour $n \ge 1$ :

\displaystyle u_n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)

$\dfrac{3}{n} \to 0$

Donc :

1 - \dfrac{3}{n} \to 1

, et

n^2 \to +\infty

Sur la copie : « par produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ».

Une forme indéterminée ne veut pas dire « pas de limite » : elle veut dire « transformer avant de conclure ».

À retenir

\displaystyle n^2 - 3n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)

Méthode

Traduire un énoncé d'évolution en suite

1
Nommer $u_n$ (la quantité au bout de $n$ années) et lire $u_0$ .
2
Traduire chaque phrase, dans l'ordre de l'énoncé : une baisse de $t\ \%$ multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$ , une hausse de $t\ \%$ par $1 + \dfrac{t}{100}$ , un ajout de $b$ unités ajoute $b$ .
3
Écrire $u_{n+1} = \dots$ , puis contrôler en calculant $u_1$ à la main.

Exemple

Un étang contient $1000$ poissons.

Chaque année, $20\ \%$ des poissons disparaissent

Puis :

on en introduit

300

$u_0 = 1000$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300$ .

À retenir

\displaystyle u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300

garder quatre-vingts pour cent des poissons, puis en ajouter trois cents

Méthode

La suite auxiliaire d'une arithmético-géométrique

Pour une relation $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \ne 1$ , l'énoncé fait poser $v_n = u_n - \ell$ , où $\ell$ est la solution de $\ell = a\ell + b$ .

On montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ , on écrit son terme général
Puis :
on revient à $u_n = v_n + \ell$

Exemple

Avec $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$

À retenir

\displaystyle \ell = a\ell + b

le point fixe se calcule en premier : c'est la limite candidate de la suite

\displaystyle v_{n+1} = a v_n

Exemple

Exemple : la suite auxiliaire rédigée sur la copie

Énoncé : l'étang de la carte « Traduire un énoncé d'évolution en suite », $u_0 = 1000$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300$ .

On pose $v_n = u_n - 1500$ .

Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis donner $u_n$ et sa limite.

On part de $v_{n+1}$ et l'on remplace pas à pas :

\displaystyle v_{n+1} = u_{n+1} - 1500

(définition de

v

, au rang

n + 1

)

\displaystyle v_{n+1} = 0{,}8u_n + 300 - 1500 = 0{,}8u_n - 1200

\displaystyle v_{n+1} = 0{,}8(u_n - 1500)

car

0{,}8 \times 1500 = 1200

\displaystyle v_{n+1} = 0{,}8v_n

Donc : $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ , de premier terme $v_0 = 1000 - 1500 = -500$ , et $v_n = -500 \times 0{,}8^n$ .

On revient à $u$ :

\displaystyle u_n = v_n + 1500 = 1500 - 500 \times 0{,}8^n

Comme $-1 < 0{,}8 < 1$ :

0{,}8^n

tend vers

0

Donc :

\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1500

Sur la copie : « Pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = 0{,}8v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ . »

À retenir

\displaystyle 0{,}8u_n - 1200 = 0{,}8(u_n - 1500)

pour mettre la raison en facteur, on divise le nombre seul par elle et l'on retrouve celui de la suite auxiliaire

Méthode

Programmer une recherche de seuil

Un seuil est le premier rang à partir duquel $u_n$ dépasse une valeur, ou s'approche de sa limite à moins d'une précision donnée.

On ignore combien de tours il faudra : la boucle est un while, qui tourne tant que le seuil n'est pas atteint.

1
Initialiser le rang et le terme : n = 0 et u = 1 pour $u_0 = 1$ .
2
Écrire la condition contraire de ce que l'on cherche : while 6 - u >= 0.01: pour le premier rang où l'écart à la limite $6$ passe sous $0{,}01$ .
3
Dans la boucle, calculer le terme suivant puis avancer le rang : u = 0.5 * u + 3 et n = n + 1.
4
Renvoyer n après la boucle.

Exemple

Avec $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ et $u_0 = 1$ , on a $u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et la fonction renvoie $9$ .

À retenir

\displaystyle \texttt{while 6 - u >= 0.01:}

la boucle tourne tant que la condition cherchée n'est pas encore réalisée

\displaystyle 6 - u_8 = \dfrac{5}{256} > 0{,}01 \quad \text{et} \quad 6 - u_9 = \dfrac{5}{512} < 0{,}01

Exemple

Exemple : le programme de seuil écrit en entier

Voici la fonction de la carte « Programmer une recherche de seuil », assemblée, pour $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ :

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while 6 - u >= 0.01:
        u = 0.5 * u + 3
        n = n + 1
    return n

print(seuil())

Les lignes décalées vers la droite sont dans la boucle ;

return n est en dehors, il s'exécute quand la boucle s'arrête.

Le programme affiche 9.

Ce que fait la boucle, tour après tour :

$n$	$0$	$1$	$2$	$\dots$	$8$	$9$
$6 - u$ (arrondi)	$5$	$2{,}5$	$1{,}25$	$\dots$	$0{,}0195$	$0{,}0098$

À $n = 9$ , l'écart passe sous $0{,}01$ : la condition du while devient fausse et la fonction renvoie $9$ .

Sur la copie : « le plus petit entier $n$ tel que $6 - u_n < 0{,}01$ est $n = 9$ ».

Vocabulaire

Monotone, non majorée : les mots du théorème de convergence

Une suite monotone est une suite croissante ou une suite décroissante : elle va toujours dans le même sens.

La suite $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est monotone (croissante, voir la carte « Étudier le sens de variation d'une suite ») ;
$u_n = (-1)^n$ ne l'est pas, elle monte puis descend sans arrêt.

Une suite non majorée est une suite qu'aucun réel ne majore : quel que soit le réel $A$ choisi, au moins un terme dépasse $A$ .

Exemple :

\displaystyle u_n = n^2

pour $A = 1000$ , on a $u_{32} = 1024 > 1000$ , et l'on trouve de même un terme au-dessus de n'importe quel $A$ .

À l'inverse, $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est majorée par $1$ , puisque $n < n + 1$ donne $\dfrac{n}{n+1} < 1$ .

Ce sont les mots de la carte « Convergence d'une suite monotone ».

À retenir

\displaystyle u_n = n^2 \quad \text{et} \quad u_{32} = 1024 > 1000

Propriété

Convergence d'une suite monotone

Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge, sans que le théorème donne la limite.

Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$ .

Propriété

Croissante et non majorée : pourquoi elle tend vers plus l'infini

C'est la démonstration de cours de la dernière phrase de la carte « Convergence d'une suite monotone ».

Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et $A$ un réel quelconque.

1
$A$ n'est pas un majorant
Donc : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$ .
2
La suite est croissante :
pour tout $n \ge N$ , $u_n \ge u_N > A$
3
Tous les termes à partir du rang $N$ sont donc dans $[A\,;+\infty[$ , et cela pour n'importe quel $A$ : c'est exactement la définition de $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Exemple

$u_n = \sqrt{n}$ est croissante et non majorée.

Pour $A = 100$ :

À retenir

\displaystyle n \ge N \ \Rightarrow\ u_n \ge u_N > A

dès qu'un terme a dépassé le seuil, la croissance empêche tous les suivants de redescendre

Propriété

Passer à la limite dans une relation de récurrence

Résultat admis : si $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ , si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue

Alors :

\displaystyle \ell = f(\ell)

Continue veut dire ici : quand $x$ se rapproche de $\ell$ , $f(x)$ se rapproche de $f(\ell)$ , sans saut ;

la courbe se trace sans lever le crayon.

Les fonctions usuelles le sont sur leur ensemble de définition (fonctions affines, polynômes, racine carrée, inverse), et toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.

Pourquoi : $u_{n+1}$ tend vers $\ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang) et $f(u_n)$ tend vers $f(\ell)$ ;

une même suite n'a qu'une limite

Donc :

\displaystyle \ell = f(\ell)

Exemple

L'étang converge vers $1500$ , et $0{,}8 \times 1500 + 300 = 1500$ .

Piège : l'équation ne prouve pas la convergence.

Avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$ , $\ell = 2\ell$ donne $\ell = 0$ , alors que $u_n = 2^n$ tend vers $+\infty$ .

À retenir

\displaystyle u_{n+1} = f(u_n),\ \ u_n \to \ell,\ \ f \ \text{continue} \ \Rightarrow\ \ell = f(\ell)

Méthode

Suite u(n+1) = f(u(n)) : par où commencer

Avant toute démonstration, on regarde la suite : c'est ce qui donne les deux bornes $a$ et $b$ de l'encadrement que la méthode « Suite définie par une fonction croissante » démontre ensuite.

1
Calculer les premiers termes à la calculatrice.
Avec $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ :
$u_1 \approx 1{,}414$ , $u_2 \approx 1{,}848$ , $u_3 \approx 1{,}962$ , $u_4 \approx 1{,}990$
La suite semble croître et s'approcher de $2$ .
2
Chercher le point fixe, le nombre $x$ tel que $f(x) = x$ (on résout l'équation, ou l'on teste la valeur dont les termes s'approchent) :
ici $f(2) = \sqrt{2 + 2} = 2$
3
Prendre $a = u_0 = 0$ et $b = 2$ , le point fixe.
Si la suite semblait décroître, on prendrait $a$ égal au point fixe et $b = u_0$ .
4
Vérifier que $f$ est croissante sur $[0\,;2]$ : quand $x$ augmente, $x + 2$ augmente, et sa racine carrée aussi.
5
Démontrer par récurrence « $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ ».

Exemple

Sur la copie : « La suite semble croissante et semble converger vers $2$ . » est une conjecture ;

les valeurs calculées ne prouvent rien, la récurrence de l'étape 5 fait la preuve.

À retenir

\displaystyle f(x) = \sqrt{x + 2} \quad \text{et} \quad f(2) = 2

Méthode

Suite définie par une fonction croissante

C'est l'exercice de suites le plus fréquent : $u_{n+1} = f(u_n)$ , avec $f$ croissante sur un intervalle $[a\,;b]$ qui contient $u_0$ .

1
Démontrer par récurrence la propriété $P(n)$ :
« $a \le u_n \le u_{n+1} \le b$ »

Exemple

Avec $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , on prend $a = 0$ et $b = 2$ :

À retenir

\displaystyle a \le u_k \le u_{k+1} \le b \ \Longrightarrow\ f(a) \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le f(b)

Exemple

Exemple : l'exercice type rédigé en entier

Énoncé :

u_0 = 0

u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

Montrer que $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ , puis trouver la limite.

Initialisation :

u_1 = \sqrt{2}

0 \le 0 \le \sqrt{2} \le 2

Hérédité :

on suppose

0 \le u_k \le u_{k+1} \le 2

On ajoute $2$ :

\displaystyle 2 \le u_k + 2 \le u_{k+1} + 2 \le 4

La racine carrée est croissante :

\sqrt{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 2

, et

0 \le \sqrt{2}

Conclusion :

pour tout

n

0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2

Donc : $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$

Donc : elle converge vers un réel $\ell$ avec $0 \le \ell \le 2$ .

La fonction $x \mapsto \sqrt{x + 2}$ est continue

Donc :

\displaystyle \ell = \sqrt{\ell + 2}

On élève au carré :

\ell^2 = \ell + 2

, soit

\ell^2 - \ell - 2 = 0

\Delta = 1 + 8 = 9

D'où :

\ell = -1

\ell = 2

Comme $\ell \ge 0$ : $\ell = 2$ , et l'on contrôle :

\displaystyle \sqrt{2 + 2} = 2

À retenir

\displaystyle 2 \le u_k + 2 \le u_{k+1} + 2 \le 4

Piège

Fonction croissante ne veut pas dire suite croissante

Pour une suite explicite $u_n = f(n)$ , si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , la suite est croissante.

Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ , c'est faux : la croissance de $f$ ne donne pas le sens de variation de la suite.

Contre-exemple :

f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3

est croissante

Avec $u_0 = 8$ :

\displaystyle u_1 = 7

Puis : $u_2 = 6{,}5$ , la suite décroît.

Avec $u_0 = 1$ :

\displaystyle u_1 = 3{,}5

Puis : $u_2 = 4{,}75$ , la suite croît.

Même fonction, sens opposés : tout dépend du premier terme.

Pour l'éviter :

on compare

u_0

u_1

Puis : on démontre $u_n \le u_{n+1}$ (ou $u_{n+1} \le u_n$ ) par récurrence, comme dans la carte « Suite définie par une fonction croissante », ou on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .

À retenir

\displaystyle u_0 = 8,\ u_1 = 7,\ u_2 = 6{,}5

Exercices d'application

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