Comment rédiger une récurrence

Une récurrence se rédige toujours en trois temps, dans cet ordre : l'initialisation (tu vérifies la propriété au premier rang), l'hérédité (tu la supposes vraie à un rang $n$ et tu la démontres au rang $n+1$), la conclusion (tu invoques le principe de récurrence pour conclure pour tout $n$). Le barème note chacun de ces temps séparément. Voici ce qu'on écrit, mot pour mot, et ce que le correcteur sanctionne.

Avant tout : nommer la propriété

Tout part d'une phrase que beaucoup de copies sautent :

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : « $u_n = 2^n - 1$ ».

Cette ligne coûte dix secondes et change toute la suite : chaque étape pourra dire « $P(0)$ est vraie » ou « montrons $P(n+1)$ » sans réécrire la formule, et le correcteur sait exactement ce que tu démontres. Sans elle, l'hérédité devient vite un calcul dont on ne sait plus ce qu'il prouve.

Ici on ne parle que de la rédaction : si le principe de récurrence lui-même te semble flou, commence par la fiche sur les suites, puis reviens.

L'initialisation : vérifier la propriété au premier rang

Ce que le correcteur cherche : un calcul des deux côtés, pas une affirmation. Tu calcules ce que vaut $u_0$ (l'énoncé le donne), tu calcules ce que la formule prédit, et tu constates que les deux coïncident :

$u_0 = 0$ d'après l'énoncé, et $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Donc $u_0 = 2^0 - 1$ : $P(0)$ est vraie.

La formulation qui donne le point, c'est ce « donc » entre deux calculs. Celle qui le perd : « $P(0)$ est vraie, c'est évident ». Le point d'initialisation récompense une vérification écrite ; une vérification de tête vaut zéro, même juste.

L'hérédité : supposer au rang n, démontrer au rang n+1

C'est le temps le plus payant du barème, et il commence par deux phrases rituelles à connaître par cœur :

1. Soit $n$ un entier naturel. Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_n = 2^n - 1$.
2. Montrons que $P(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{n+1} = 2^{n+1} - 1$.

La deuxième phrase est celle que les copies oublient le plus. Écrire la cible avant de calculer montre au correcteur que tu sais où tu vas, et te sert de garde-fou : tu sauras t'arrêter quand tu y es. Ensuite seulement vient le calcul, qui part de $u_{n+1}$ et utilise l'hypothèse de récurrence une fois, à l'endroit que tu signales.

La conclusion : le principe de récurrence, pour tout n

Une phrase, mais complète. Elle cite les deux ingrédients (l'initialisation et l'hérédité), nomme le principe utilisé, et surtout conclut pour tout entier naturel $n$ : c'est exactement ce que la question demandait, donc c'est exactement ce que ta dernière phrase doit dire.

$P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n - 1$.

La rédaction modèle, telle qu'elle apparaît sur la copie

L'énoncé : la suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n - 1$.

Ce qu'on écrit, du premier au dernier mot :

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : « $u_n = 2^n - 1$ ».

Initialisation. $u_0 = 0$ et $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, donc $u_0 = 2^0 - 1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_n = 2^n - 1$. Montrons que $P(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $u_{n+1} = 2^{n+1} - 1$. Par définition de la suite, puis d'après l'hypothèse de récurrence :

$$u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2(2^n - 1) + 1 = 2^{n+1} - 2 + 1 = 2^{n+1} - 1.$$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n - 1$.

Là où chaque point se joue

Les trois fautes qui coûtent des points

L'initialisation escamotée en « c'est évident »

Version fautive : « Initialisation : pour $n = 0$ ça marche, c'est évident. »

Version corrigée : « $u_0 = 0$ et $2^0 - 1 = 0$, donc $P(0)$ est vraie. »

Le calcul est court, justement : le faire en entier coûte une ligne. Le point d'initialisation sanctionne l'absence de vérification écrite, pas la difficulté du calcul.

L'hérédité qui suppose ce qu'il fallait démontrer

Version fautive : « Supposons que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n - 1$. »

Version corrigée : « Soit $n$ un entier naturel. Supposons que $P(n)$ est vraie. »

La différence tient en trois mots, « pour tout $n$ », et elle est fatale : supposer la propriété pour tous les rangs, c'est supposer la conclusion de l'exercice. Le correcteur peut rayer toute l'hérédité, calcul juste compris. On suppose au rang $n$, un rang fixé, rien de plus.

La conclusion amputée du « pour tout n »

Version fautive : « Donc c'est vrai. » (ou pas de conclusion du tout, le calcul s'arrête et la copie passe à la question suivante)

Version corrigée : « $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^n - 1$. »

La question était « montrer que pour tout entier naturel $n$... » : tant que ta copie n'a pas écrit ces mots, elle n'a pas répondu. C'est le point le plus facile du barème, et l'un des plus souvent perdus.

À toi de jouer

La rédaction s'apprend comme le calcul : en s'entraînant, puis en comparant ta copie au corrigé.

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