Calcul littéral, identités remarquables et équations produit

1. Les trois identités du cours.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Chacune se retrouve par une double distributivité. Par exemple $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$, et les deux produits croisés, égaux, donnent $2ab$. La figure du corrigé en donne la lecture par les aires : le carré de côté $a + b$ se découpe en un carré d'aire $a^2$, deux rectangles d'aire $ab$ chacun et un carré d'aire $b^2$.

2. Les quatre développements.

$E = (x + 8)^2$ : première identité, avec $a = x$ et $b = 8$.

$E = x^2 + 2 \times x \times 8 + 8^2$

$E = x^2 + 16x + 64$

$F = (3x - 5)^2$ : deuxième identité, avec $a = 3x$ et $b = 5$.

$F = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2$

$F = 9x^2 - 30x + 25$

Attention à $(3x)^2$ : le carré porte sur le facteur $3$ comme sur la lettre, donc $(3x)^2 = 9x^2$, et non $3x^2$.

$G = (4x + 7)(4x - 7)$ : troisième identité, avec $a = 4x$ et $b = 7$.

$G = (4x)^2 - 7^2$

$G = 16x^2 - 49$

$H = (10 - 3x)^2$ : deuxième identité, avec cette fois $a = 10$ et $b = 3x$, car c'est $10$ qui est écrit en premier.

$H = 10^2 - 2 \times 10 \times 3x + (3x)^2$

$H = 100 - 60x + 9x^2$

3. Calcul de $101^2$. On écrit $101 = 100 + 1$ et on utilise la première identité, avec $a = 100$ et $b = 1$.

$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 + 200 + 1$

$101^2 = 10\,201$

Calcul de $99 \times 101$. On écrit $99 = 100 - 1$ et $101 = 100 + 1$, ce qui donne la troisième identité, avec $a = 100$ et $b = 1$.

$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10\,000 - 1$

$99 \times 101 = 9\,999$

4. Essayons $x = 1$.

D'un côté : $(1 + 6)^2 = 7^2 = 49$. De l'autre : $1^2 + 36 = 1 + 36 = 37$.

Comme $49 \neq 37$, l'égalité de Tom est fausse : un seul contre-exemple suffit à le prouver.

Le développement correct est

$(x + 6)^2 = x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$

Tom a oublié le double produit $2 \times x \times 6 = 12x$. Le carré d'une somme n'est jamais la somme des carrés.

1. Le repérage, avant tout calcul.

$A$ : les deux termes sont des produits, et tous les deux contiennent la parenthèse $(5x - 1)$. Le facteur commun est $(5x - 1)$.

$B$ : c'est une différence de deux carrés, car $16x^2 = (4x)^2$ et $36 = 6^2$. C'est la troisième identité, lue à l'envers.

$C$ : le premier terme est $(4x - 1)^2 = (4x - 1)(4x - 1)$, donc les deux termes contiennent $(4x - 1)$. Le facteur commun est $(4x - 1)$.

$D$ : c'est encore une différence de deux carrés, celui de la parenthèse $(5x - 7)$ et celui de $5$, puisque $25 = 5^2$. C'est la troisième identité.

2. Les quatre factorisations.

Expression $A$. On met $(5x - 1)$ en facteur et on garde le reste dans un crochet.

$A = (5x - 1)\left[(3x + 3) - (6x + 3)\right]$

On réduit le crochet, en changeant les deux signes de la parenthèse retranchée.

$(3x + 3) - (6x + 3) = 3x + 3 - 6x - 3 = -3x$

$A = (5x - 1) \times (-3x)$, que l'on écrit $A = -3x(5x - 1)$.

Expression $B$. On écrit les deux carrés.

$B = 16x^2 - 36 = (4x)^2 - 6^2$

Avec $a = 4x$ et $b = 6$ : $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

$B = (4x + 6)(4x - 6)$.

Expression $C$. Le facteur commun est $(4x - 1)$.

$C = (4x - 1)\left[(4x - 1) - (3x + 1)\right]$

On réduit le crochet : $4x - 1 - 3x - 1 = x - 2$.

$C = (4x - 1)(x - 2)$.

Expression $D$. On écrit les deux carrés, celui de la parenthèse et celui de $5$.

$D = (5x - 7)^2 - 5^2$

Avec $a = 5x - 7$ et $b = 5$ : $D = \left[(5x - 7) + 5\right]\left[(5x - 7) - 5\right]$.

On réduit chaque crochet : $5x - 7 + 5 = 5x - 2$ et $5x - 7 - 5 = 5x - 12$.

$D = (5x - 2)(5x - 12)$.

3. Vérification de $B$ par développement.

$(4x + 6)(4x - 6) = 16x^2 - 24x + 24x - 36 = 16x^2 - 36$

On retrouve l'expression de départ : la factorisation est juste. On pourrait encore mettre $2$ en facteur dans chaque parenthèse et écrire $4(2x + 3)(2x - 3)$, mais la forme attendue ici est celle que donne directement l'identité.

4. Développement de $A$.

$(5x - 1)(3x + 3) = 15x^2 + 15x - 3x - 3 = 15x^2 + 12x - 3$

$(5x - 1)(6x + 3) = 30x^2 + 15x - 6x - 3 = 30x^2 + 9x - 3$

$A = (15x^2 + 12x - 3) - (30x^2 + 9x - 3)$

La seconde parenthèse est retranchée : ses trois signes changent.

$A = 15x^2 + 12x - 3 - 30x^2 - 9x + 3$

$A = -15x^2 + 3x$

Contrôle : la forme factorisée redonne bien cette expression, puisque $-3x(5x - 1) = -15x^2 + 3x$.

Valeur pour $x = 2$.

Avec la forme factorisée : $A = -3 \times 2 \times (5 \times 2 - 1) = -6 \times 9 = -54$.

Avec la forme développée : $A = -15 \times 2^2 + 3 \times 2 = -60 + 6 = -54$.

Les deux chemins donnent $-54$ : les deux écritures sont bien celles d'une même expression.

1. L'expression $f(x)$ est déjà un produit de deux facteurs : $(2x - 6)$ et $(x + 4)$.

$(2x - 6)(x + 4) = 0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul, donc $2x - 6 = 0$ ou $x + 4 = 0$. On résout ces deux équations du premier degré séparément.

Premier facteur : $2x - 6 = 0$, donc $2x = 6$ en ajoutant $6$ aux deux membres, donc $x = \dfrac{6}{2} = 3$.

Second facteur : $x + 4 = 0$, donc $x = -4$ en enlevant $4$ aux deux membres.

Il y a donc deux solutions : $3$ et $-4$.

2. Vérification.

$f(3) = (2 \times 3 - 6)(3 + 4) = 0 \times 7 = 0$

$f(-4) = (2 \times (-4) - 6)(-4 + 4) = (-14) \times 0 = 0$

Dans chaque cas, un des deux facteurs vaut $0$, donc le produit vaut $0$ : les deux solutions sont confirmées.

3. On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2 = (3x)^2$ et $49 = 7^2$.

$g(x) = (3x)^2 - 7^2 = (3x + 7)(3x - 7)$

On résout $g(x) = 0$.

$(3x + 7)(3x - 7) = 0$ donne $3x + 7 = 0$ ou $3x - 7 = 0$.

Premier facteur : $3x + 7 = 0$, donc $3x = -7$, donc $x = -\dfrac{7}{3}$, car $-\dfrac{7}{3}$ est le nombre qui, multiplié par $3$, donne $-7$.

Second facteur : $3x - 7 = 0$, donc $3x = 7$, donc $x = \dfrac{7}{3}$.

Les antécédents de $0$ par $g$ sont donc $-\dfrac{7}{3}$ et $\dfrac{7}{3}$. Chercher les antécédents de $0$ par $g$ ou résoudre $g(x) = 0$, c'est exactement la même chose : ce sont deux façons de poser la même question.

4. Dans $h(x)$, les deux termes contiennent la parenthèse $(x + 5)$, puisque $(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)$.

$h(x) = (x + 5)\left[(x + 5) - (3x - 1)\right]$

On réduit le crochet : $x + 5 - 3x + 1 = -2x + 6$.

$h(x) = (x + 5)(-2x + 6)$

On résout $h(x) = 0$ : $x + 5 = 0$ ou $-2x + 6 = 0$.

Premier facteur : $x + 5 = 0$, donc $x = -5$.

Second facteur : $-2x + 6 = 0$, donc $-2x = -6$, donc $x = \dfrac{-6}{-2} = 3$.

Il y a donc deux solutions : $-5$ et $3$.

Vérification pour $x = 3$ : $h(3) = (3 + 5)^2 - (3 + 5)(3 \times 3 - 1) = 64 - 8 \times 8 = 0$.

5. En développant, $f(x) = (2x - 6)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 6x - 24 = 2x^2 + 2x - 24$.

L'équation $2x^2 + 2x - 24 = 0$ n'est plus du premier degré : aucune des techniques connues ne s'applique à elle, puisqu'on ne peut pas isoler $x$. Seule la forme factorisée permet d'utiliser la règle du produit nul. C'est pourquoi, devant une équation de ce type, on cherche toujours à factoriser, et jamais à développer.

1. Les trois essais, étape par étape.

Avec $1$ : $1 \times 4 = 4$, puis $4 + 12 = 16$, puis $16 \times 1 = 16$, puis $16 + 9 = 25$.

Avec $2$ : $2 \times 4 = 8$, puis $8 + 12 = 20$, puis $20 \times 2 = 40$, puis $40 + 9 = 49$.

Avec $5$ : $5 \times 4 = 20$, puis $20 + 12 = 32$, puis $32 \times 5 = 160$, puis $160 + 9 = 169$.

2. Les trois résultats sont $25$, $49$ et $169$. Or $25 = 5^2$, $49 = 7^2$ et $169 = 13^2$ : ce sont tous les trois des carrés d'entiers.

Conjecture : en partant d'un nombre entier, ce programme donne toujours le carré d'un entier.

3. On appelle $x$ le nombre choisi.

Étape 1, choisir un nombre : $x$.

Étape 2, multiplier le tout par $4$ : $4x$.

Étape 3, ajouter $12$ : $4x + 12$.

Étape 4, multiplier le tout par le nombre de départ : $x(4x + 12)$. La parenthèse est indispensable, car c'est la somme entière qui est multipliée.

$x(4x + 12) = x \times 4x + x \times 12 = 4x^2 + 12x$

Étape 5, ajouter $9$ : $4x^2 + 12x + 9$.

L'expression du programme est donc $P(x) = 4x^2 + 12x + 9$.

4. On cherche à reconnaître $a^2 + 2ab + b^2$.

Le premier terme est un carré : $4x^2 = (2x)^2$, donc $a = 2x$.

Le dernier terme est un carré : $9 = 3^2$, donc $b = 3$.

On vérifie le double produit : $2 \times 2x \times 3 = 12x$, qui est bien le terme du milieu.

$P(x) = (2x + 3)^2$

La conjecture est démontrée : quel que soit le nombre choisi, le résultat est le carré de $2x + 3$. Et si $x$ est un entier, alors $2x + 3$ est un entier, donc le résultat est le carré d'un entier. On retrouve d'ailleurs les essais de la question 1 : pour $x = 1$, $2x + 3 = 5$ et le résultat est $5^2 = 25$ ; pour $x = 2$, $2x + 3 = 7$ et le résultat est $49$ ; pour $x = 5$, $2x + 3 = 13$ et le résultat est $169$.

5. Le script part de $10$, donc $x = 10$.

$2x + 3 = 2 \times 10 + 3 = 23$

Le résultat est donc $23^2 = 529$ : le lutin dira 529.

Une fois la forme factorisée obtenue, on répond par un seul calcul, sans repasser par les quatre étapes. On peut le contrôler en déroulant le script : $10 \times 4 = 40$, puis $40 + 12 = 52$, puis $52 \times 10 = 520$, puis $520 + 9 = 529$.

6. Le programme donne $0$ lorsque $P(x) = 0$, c'est-à-dire

$(2x + 3)^2 = 0$

Or $(2x + 3)^2 = (2x + 3)(2x + 3)$ : c'est un produit de deux facteurs, nul si et seulement si un des facteurs est nul. Ici, les deux facteurs sont identiques, donc les deux équations à résoudre sont la même.

$2x + 3 = 0$, donc $2x = -3$, donc $x = -\dfrac{3}{2}$, c'est-à-dire $-1{,}5$.

Il y a donc une seule solution : $-1{,}5$. Vérification en déroulant le programme : $-1{,}5 \times 4 = -6$, puis $-6 + 12 = 6$, puis $6 \times (-1{,}5) = -9$, puis $-9 + 9 = 0$.

Le programme ne peut pas donner de résultat négatif : son résultat s'écrit $(2x + 3)^2$, et un carré est toujours positif ou nul. Le résultat est donc toujours supérieur ou égal à $0$, et il ne vaut $0$ que pour $x = -1{,}5$.