Une expression est sous forme développée quand elle est écrite comme une somme de termes, et sous forme factorisée quand elle est écrite comme un produit.
Développer, c'est passer du produit à la somme ;
factoriser, c'est le trajet inverse.
Réduire vient toujours après avoir développé : on regroupe les termes de même nature.
La distributivité vue en Quatrième reste l'outil de base.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde : cela fait quatre produits, chacun avec son signe.
C'est la nouveauté de l'année, la Quatrième s'étant arrêtée à un seul facteur devant la parenthèse.
On développe d'abord, on réduit ensuite.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Sur une copie, on écrit d'abord les quatre produits sans rien réduire
Puis : on réduit sur la ligne suivante.
Deux lignes, deux étapes : sauter la première fait perdre le point de méthode, et c'est là que naissent les erreurs de signe.
Le nom de l'expression est rappelé à gauche du signe égal à chaque ligne.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Ce sont trois développements de double distributivité que l'on connaît par cœur, parce qu'ils reviennent trop souvent pour être refaits à chaque fois.
Elles servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Elles sont à savoir écrire sans hésiter en question de cours.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
n'est qu'un produit :
La double distributivité donne , et les deux produits croisés, égaux entre eux, se regroupent en .
Le découpage d'un carré de côté montre la même chose : deux carrés et deux rectangles identiques.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Même calcul avec un signe moins :
Seul le double produit est négatif : le dernier terme, lui, vient de , produit de deux facteurs identiques
Donc : positif.
Écrire à la fin est la faute la plus fréquente sur cette identité.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Dans , les deux produits croisés sont opposés :
Il ne reste que , deux termes seulement.
C'est celle des trois que l'on reconnaît le plus souvent à l'envers : dès qu'une expression est une différence de deux carrés, elle se factorise.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Un carré ne se distribue pas sur une somme : n'est pas , il manque le terme .
Un essai avec deux nombres suffit à s'en convaincre, et c'est ce test qu'il faut avoir en tête au moment d'écrire.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand on soustrait une expression développée, on change tous les signes de la parenthèse, pas seulement le premier.
La méthode sûre : développer chaque morceau en le gardant entre parenthèses, puis supprimer les parenthèses en changeant les signes du second.
C'est ici que se perdent le plus de points.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Avant de développer quoi que ce soit, on regarde si la même parenthèse figure dans les deux termes.
On la met alors en facteur, et ce qui reste s'écrit dans un crochet que l'on réduit ensuite.
Le crochet évite de mélanger les deux niveaux de parenthèses.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
est un produit :
Dans , la parenthèse est donc bien présente dans les deux termes.
On l'écrit une fois devant, et ce que le carré laisse dans le crochet, c'est une copie de lui-même.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand une expression est une différence dont les deux termes sont des carrés, on écrit chacun sous la forme d'un carré
Puis : on applique la troisième identité de droite à gauche.
Le premier carré peut être une parenthèse : on réduit alors chacun des deux facteurs obtenus.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Une factorisation se contrôle en redéveloppant : on doit retomber exactement sur l'expression de départ.
On peut aussi tester un nombre : les deux formes doivent donner la même image.
Pour calculer , on remplace par entre parenthèses, dans la forme la plus commode.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
C'est la phrase à savoir réciter : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Elle transforme une équation où apparaît au carré en deux équations du premier degré, que l'on sait résoudre depuis la Quatrième.
Elle ne s'applique que si un membre est un produit et l'autre zéro.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On cite la règle, on pose les deux équations côte à côte, on résout chacune comme en Quatrième
Puis : on conclut par une phrase.
Si l'équation n'est pas déjà un produit, on la factorise d'abord : on ne développe surtout pas.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
La règle parle d'un produit égal à zéro, et de rien d'autre.
Devant , on n'a pas le droit d'écrire
Car : se décompose en produit d'une infinité de façons.
Second réflexe à corriger : quand le second membre n'est pas nul, on ne garde pas la forme factorisée telle quelle.
On développe alors, on ramène tout d'un côté pour retrouver un zéro
Puis : on refactorise : c'est ce que fait l'exercice 6 avec .
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand l'expression porte un nom de fonction, résoudre et chercher les antécédents de par sont exactement la même question, posée avec deux vocabulaires.
La réponse est la même liste de nombres, et la méthode aussi : factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Un programme de calcul se traduit en partant de , ligne par ligne.
Celui-ci mène à , que l'on reconnaît comme : le résultat est donc toujours le carré d'un nombre entier quand on part d'un entier.
Les essais font deviner la conjecture, seule la forme factorisée la démontre.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Dans chaque cas, on écrit d'abord les quatre produits, chacun avec son signe
Puis : on réduit.
Elle fait partie de la plateforme d'entraînement, du collège au bac : 173 fiches comme celle-ci, plus de 8 500 QCM corrigés (au moins 30 par chapitre) et la Prép Bac (annales + bacs blancs).
Les deux termes en se regroupent :
.
Le second terme de la première parenthèse est : c'est lui, avec son signe, qui multiplie.
.
.
Attention au dernier produit :
Car : deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
Les deux termes du milieu sont opposés :
.
Vérification de pour .
Expression de départ :
Expression réduite :
Les deux calculs donnent .
Une vérification ne démontre pas le développement, mais un essai qui ne colle pas signale à coup sûr une erreur.
Léa n'a écrit que deux produits sur quatre : celui des deux premiers termes, , et celui des deux derniers, .
Elle a oublié les deux produits croisés et .
Contrôle pour : l'expression de départ vaut , et , alors que la réponse de Léa donnerait .
Développons .
Comparaison des deux situations.
Dans , les deux produits du milieu sont opposés ( et ) : ils se suppriment, et il ne reste que , c'est-à-dire une différence de deux carrés.
Dans , les deux produits du milieu sont égaux ( et ) : ils s'ajoutent et donnent le double .
Les réponses sont donc , , , , et .
Les trois identités du cours.
Chacune se retrouve par une double distributivité.
Par exemple , et les deux produits croisés, égaux, donnent .
La figure du corrigé en donne la lecture par les aires : le carré de côté se découpe en un carré d'aire , deux rectangles d'aire chacun et un carré d'aire .
Les quatre développements.
: première identité, avec et .
: deuxième identité, avec et .
Attention à : le carré porte sur le facteur comme sur la lettre
Donc :
: troisième identité, avec et .
: deuxième identité, avec cette fois et
Car : c'est qui est écrit en premier.
Calcul de .
On écrit et on utilise la première identité, avec et .
Calcul de .
On écrit et , ce qui donne la troisième identité, avec et .
Essayons .
D'un côté :
De l'autre :
Comme : l'égalité de Tom est fausse : un seul contre-exemple suffit à le prouver.
Le développement correct est
Tom a oublié le double produit .
Le carré d'une somme n'est jamais la somme des carrés.
Le repérage, avant tout calcul.
: les deux termes sont des produits, et tous les deux contiennent la parenthèse .
Le facteur commun est .
: c'est une différence de deux carrés
Car :
C'est la troisième identité, lue à l'envers.
: le premier terme est
Donc : les deux termes contiennent .
Le facteur commun est .
: c'est encore une différence de deux carrés, celui de la parenthèse et celui de , puisque .
C'est la troisième identité.
Les quatre factorisations.
On met en facteur et on garde le reste dans un crochet.
On réduit le crochet, en changeant les deux signes de la parenthèse retranchée.
, que l'on écrit .
On écrit les deux carrés.
Avec et :
.
Le facteur commun est .
On réduit le crochet :
.
On écrit les deux carrés, celui de la parenthèse et celui de .
Avec et :
On réduit chaque crochet :
.
Vérification de par développement.
On retrouve l'expression de départ : la factorisation est juste.
On pourrait encore mettre en facteur dans chaque parenthèse et écrire , mais la forme attendue ici est celle que donne directement l'identité.
Développement de .
La seconde parenthèse est retranchée : ses trois signes changent.
Contrôle : la forme factorisée redonne bien cette expression, puisque .
Valeur pour .
Avec la forme factorisée :
Avec la forme développée :
Les deux chemins donnent : les deux écritures sont bien celles d'une même expression.
L'expression est déjà un produit de deux facteurs :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul
Donc :
On résout ces deux équations du premier degré séparément.
Premier facteur :
Donc : en ajoutant aux deux membres
Donc :
Second facteur :
Donc : en enlevant aux deux membres.
Il y a donc deux solutions :
Vérification.
Dans chaque cas, un des deux facteurs vaut
Donc : le produit vaut : les deux solutions sont confirmées.
On reconnaît une différence de deux carrés :
On résout .
donne ou .
Premier facteur :
Donc :
Donc :
Car : est le nombre qui, multiplié par , donne .
Second facteur :
Donc :
Donc :
Les antécédents de par sont donc et .
Chercher les antécédents de par ou résoudre , c'est exactement la même chose : ce sont deux façons de poser la même question.
Dans , les deux termes contiennent la parenthèse , puisque .
On réduit le crochet :
On résout :
Premier facteur :
Donc :
Second facteur :
Donc :
Donc :
Il y a donc deux solutions :
Vérification pour :
En développant, .
L'équation n'est plus du premier degré : aucune des techniques connues ne s'applique à elle, puisqu'on ne peut pas isoler .
Seule la forme factorisée permet d'utiliser la règle du produit nul.
C'est pourquoi, devant une équation de ce type, on cherche toujours à factoriser, et jamais à développer.
Les trois essais, étape par étape.
Avec :
Puis :
Puis :
Puis :
Avec :
Puis :
Puis :
Puis :
Avec :
Puis :
Puis :
Puis :
Les trois résultats sont , et .
Or : , et : ce sont tous les trois des carrés d'entiers.
Conjecture : en partant d'un nombre entier, ce programme donne toujours le carré d'un entier.
On appelle le nombre choisi.
Étape 1, choisir un nombre :
Étape 2, multiplier le tout par :
Étape 3, ajouter :
Étape 4, multiplier le tout par le nombre de départ :
La parenthèse est indispensable
Car : c'est la somme entière qui est multipliée.
Étape 5, ajouter :
L'expression du programme est donc .
On cherche à reconnaître .
Le premier terme est un carré :
Donc :
Le dernier terme est un carré :
Donc :
On vérifie le double produit : , qui est bien le terme du milieu.
La conjecture est démontrée : quel que soit le nombre choisi, le résultat est le carré de .
Et si est un entier
Alors :
Donc : le résultat est le carré d'un entier.
On retrouve d'ailleurs les essais de la question 1 : pour , et le résultat est ;
pour , et le résultat est ;
pour , et le résultat est .
Le script part de
Donc :
Le résultat est donc : le lutin dira 529.
Une fois la forme factorisée obtenue, on répond par un seul calcul, sans repasser par les quatre étapes.
On peut le contrôler en déroulant le script :
Puis :
Puis :
Puis :
Le programme donne lorsque , c'est-à-dire
Or : : c'est un produit de deux facteurs, nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Ici, les deux facteurs sont identiques
Donc : les deux équations à résoudre sont la même.
Donc :
Donc :
Il y a donc une seule solution :
Vérification en déroulant le programme :
Puis :
Puis :
Puis :
Le programme ne peut pas donner de résultat négatif : son résultat s'écrit , et un carré est toujours positif ou nul.
Le résultat est donc toujours supérieur ou égal à , et il ne vaut que pour .
Le jardin de départ est un carré de côté mètres : son aire vaut , c'est-à-dire mètres carrés.
Le nouveau jardin est un rectangle de longueur et de largeur : son aire s'écrit mètres carrés.
C'est la troisième identité remarquable, avec et .
Marc a tort.
L'aire du carré vaut et celle du rectangle vaut : la seconde est plus petite que la première de , et cela quelle que soit la valeur de .
En transformant son jardin, Marc perd donc mètres carrés.
On peut retrouver ce nombre sans développer le produit, en suivant les deux transformations.
En allongeant un côté de mètres, Marc ajoute une bande de mètres de large sur une longueur de mètres, soit mètres carrés.
En raccourcissant ensuite le côté perpendiculaire de mètres, il retire une bande de mètres de large sur toute la longueur du nouveau côté, qui mesure mètres, soit mètres carrés.
Il retire donc mètres carrés de plus qu'il n'en a ajouté.
L'erreur de raisonnement de Marc est là : les mètres ajoutés et les mètres retirés ne portent pas sur des longueurs égales.
Pour .
Aire du carré :
Aire du rectangle :
On retrouve .
Pour .
Aire du carré :
Aire du rectangle :
On retrouve .
Dans les deux cas, l'écart vaut exactement mètres carrés, comme la question 2 l'annonçait : cet écart ne dépend pas de la taille du jardin.
L'aire du rectangle du voisin vaut , et cette aire vaut .
L'équation est donc
On ne peut pas appliquer ici la règle du produit nul : elle ne vaut que pour un produit égal à , et celui-ci vaut .
On développe donc le premier membre avec l'identité :
On enlève aux deux membres pour se ramener à une expression égale à :
, c'est-à-dire .
On reconnaît une différence de deux carrés
Car : : on factorise pour obtenir une équation produit.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Premier facteur :
Donc :
Second facteur :
Donc :
L'équation a deux solutions, et .
Mais est la longueur du côté d'un carré : c'est un nombre positif, et l'énoncé précise de plus que est supérieur à .
La solution est donc à écarter.
Le carré de départ du voisin mesurait mètres de côté.
Vérification :
L'expression est déjà un produit.
donne ou , c'est-à-dire ou .
Aucune des deux ne convient à la situation.
La solution est un nombre négatif : un côté de carré ne peut pas mesurer mètres.
La solution donnerait une largeur : le rectangle serait aplati, il n'y aurait plus de jardin du tout.
C'est d'ailleurs pourquoi l'énoncé impose supérieur à .
Une équation peut donc avoir des solutions parfaitement correctes du point de vue du calcul, mais impossibles dans la situation concrète : il faut toujours revenir à l'énoncé avant de conclure.