Calcul littéral, identités remarquables et équations produit

Une expression est sous forme développée quand elle est écrite comme une somme de termes, et sous forme factorisée quand elle est écrite comme un produit. Développer, c'est passer du produit à la somme ; factoriser, c'est le trajet inverse. Réduire vient toujours après avoir développé : on regroupe les termes de même nature. La distributivité vue en Quatrième reste l'outil de base.

Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde : cela fait quatre produits, chacun avec son signe. C'est la nouveauté de l'année, la Quatrième s'étant arrêtée à un seul facteur devant la parenthèse. On développe d'abord, on réduit ensuite.

Sur une copie, on écrit d'abord les quatre produits sans rien réduire, puis on réduit sur la ligne suivante. Deux lignes, deux étapes : sauter la première fait perdre le point de méthode, et c'est là que naissent les erreurs de signe. Le nom de l'expression est rappelé à gauche du signe égal à chaque ligne.

Ce sont trois développements de double distributivité que l'on connaît par cœur, parce qu'ils reviennent trop souvent pour être refaits à chaque fois. Elles servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. Elles sont à savoir écrire sans hésiter en question de cours.

$(a + b)^2$ n'est qu'un produit : c'est $(a + b)(a + b)$. La double distributivité donne $a^2 + ab + ba + b^2$, et les deux produits croisés, égaux entre eux, se regroupent en $2ab$. Le découpage d'un carré de côté $a + b$ montre la même chose : deux carrés et deux rectangles identiques.

Même calcul avec un signe moins : $(a - b)(a - b)$ donne $a^2 - ab - ba + b^2$. Seul le double produit est négatif : le dernier terme, lui, vient de $(-b) \times (-b)$, produit de deux facteurs identiques, donc positif. Écrire $-b^2$ à la fin est la faute la plus fréquente sur cette identité.

Dans $(a + b)(a - b)$, les deux produits croisés sont opposés : $+ab$ et $-ab$ s'annulent. Il ne reste que $a^2 - b^2$, deux termes seulement. C'est celle des trois que l'on reconnaît le plus souvent à l'envers : dès qu'une expression est une différence de deux carrés, elle se factorise.

Un carré ne se distribue pas sur une somme : $(a + b)^2$ n'est pas $a^2 + b^2$, il manque le terme $2ab$. Un essai avec deux nombres suffit à s'en convaincre, et c'est ce test qu'il faut avoir en tête au moment d'écrire.

Quand on soustrait une expression développée, on change tous les signes de la parenthèse, pas seulement le premier. La méthode sûre : développer chaque morceau en le gardant entre parenthèses, puis supprimer les parenthèses en changeant les signes du second. C'est ici que se perdent le plus de points.

Avant de développer quoi que ce soit, on regarde si la même parenthèse figure dans les deux termes. On la met alors en facteur, et ce qui reste s'écrit dans un crochet que l'on réduit ensuite. Le crochet évite de mélanger les deux niveaux de parenthèses.

$(3x - 5)^2$ est un produit : c'est $(3x - 5)(3x - 5)$. Dans $(3x - 5)^2 - (3x - 5)(5x - 3)$, la parenthèse $(3x - 5)$ est donc bien présente dans les deux termes. On l'écrit une fois devant, et ce que le carré laisse dans le crochet, c'est une copie de lui-même.

Quand une expression est une différence dont les deux termes sont des carrés, on écrit chacun sous la forme d'un carré, puis on applique la troisième identité de droite à gauche. Le premier carré peut être une parenthèse : on réduit alors chacun des deux facteurs obtenus.

Une factorisation se contrôle en redéveloppant : on doit retomber exactement sur l'expression de départ. On peut aussi tester un nombre : les deux formes doivent donner la même image. Pour calculer $f(-1)$, on remplace $x$ par $-1$ entre parenthèses, dans la forme la plus commode.

C'est la phrase à savoir réciter : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Elle transforme une équation où $x$ apparaît au carré en deux équations du premier degré, que l'on sait résoudre depuis la Quatrième. Elle ne s'applique que si un membre est un produit et l'autre zéro.

On cite la règle, on pose les deux équations côte à côte, on résout chacune comme en Quatrième, puis on conclut par une phrase. Si l'équation n'est pas déjà un produit, on la factorise d'abord : on ne développe surtout pas.

La règle parle d'un produit égal à zéro, et de rien d'autre. Devant $(x - 2)(x + 5) = 8$, on n'a pas le droit d'écrire $x - 2 = 8$, car $8$ se décompose en produit d'une infinité de façons. Second réflexe à corriger : quand le second membre n'est pas nul, on ne garde pas la forme factorisée telle quelle. On développe alors, on ramène tout d'un côté pour retrouver un zéro, puis on refactorise : c'est ce que fait l'exercice 6 avec $(y + 4)(y - 4) = 65$.

Quand l'expression porte un nom de fonction, résoudre $f(x) = 0$ et chercher les antécédents de $0$ par $f$ sont exactement la même question, posée avec deux vocabulaires. La réponse est la même liste de nombres, et la méthode aussi : factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.

Un programme de calcul se traduit en partant de $x$, ligne par ligne. Celui-ci mène à $9x^2 + 30x + 25$, que l'on reconnaît comme $(3x + 5)^2$ : le résultat est donc toujours le carré d'un nombre entier quand on part d'un entier. Les essais font deviner la conjecture, seule la forme factorisée la démontre.