L'opposé d'un nombre est le nombre qui, ajouté à lui, donne .
1) Donner l'opposé de chacun des six nombres suivants. Vérifier à chaque fois, par une somme, que le résultat vaut bien .
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .
2) Que peut-on dire des signes de deux nombres opposés ? Et de leurs distances à zéro ?
3) Écrire plus simplement , puis expliquer la réponse.
4) Un seul nombre est son propre opposé. Lequel ? Justifier.
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1) Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires (le cas de mis à part, qui est son propre opposé). On les trouve donc en changeant seulement le signe.
a) L'opposé de est . Les deux ont pour distance à zéro . Vérification : .
b) L'opposé de est , que l'on écrit aussi . Distance à zéro commune : . Vérification : .
c) L'opposé de est . Distance à zéro commune : . Vérification : .
d) L'opposé de est . Vérification : .
e) L'opposé de est . Vérification : .
f) L'opposé de est . Vérification : .
2) Deux nombres opposés non nuls ont des signes contraires : si l'un est positif, l'autre est négatif. Ils ont en revanche exactement la même distance à zéro. Sur une droite graduée, ils sont donc placés de part et d'autre de , à la même distance de l'origine. Seul fait exception : son opposé est lui-même, et les deux points sont confondus avec l'origine.
3) L'écriture se lit « l'opposé de ». Or le nombre qui, ajouté à , donne est . Donc , que l'on écrit aussi . Vérification : .
4) C'est le nombre , car . Pour tout autre nombre, l'opposé change de signe et ne peut donc pas être égal au nombre de départ. Le nombre est d'ailleurs le seul nombre à la fois positif et négatif.
On trace une droite graduée qui se prolonge des deux côtés de , de à , en prenant cm pour unité.
1) Placer sur cette droite les huit points suivants : d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse , d'abscisse .
2) Donner la distance à zéro des abscisses de , de et de .
3) Ranger les huit abscisses dans l'ordre croissant. Indiquer, pour chaque comparaison, la règle utilisée.
4) Recopier et compléter avec le signe ou le signe :
a) ; b) ; c) ; d) .
5) Encadrer chacun des nombres et entre deux entiers consécutifs.
6) Ranger enfin les abscisses de , , et dans l'ordre décroissant.
1) On trace une droite, on marque l'origine , puis on reporte les graduations de cm en cm : vers la droite pour les nombres positifs, vers la gauche pour les nombres négatifs. On place ensuite chaque point a son abscisse. Le point est le plus a gauche (huit graduations avant ), le point est le plus a droite (sept graduations apres ), et le point est confondu avec l'origine. De gauche a droite, on lit : , , , , , , , .
2) La distance a zéro se lit sans tenir compte du signe : c'est la distance, sur la droite, entre le point et l'origine. L'abscisse de est , sa distance a zéro vaut . L'abscisse de est , sa distance a zéro vaut . L'abscisse de est , sa distance a zéro vaut .
3) Sur la droite graduée, le plus grand est toujours le plus a droite. On lit donc l'ordre croissant en parcourant la droite de gauche a droite :
soit, avec les noms des points : , , , , , , , .
Les règles utilisees, dans l'ordre :
· , et : ce sont trois comparaisons entre deux nombres négatifs. Le plus grand est celui dont la distance a zéro est la plus petite. Les distances a zéro sont , , et ; comme , l'ordre des nombres est l'ordre inverse. C'est le piège du chapitre : est plus petit que , alors que est plus grand que .
· : un nombre négatif non nul est situe a gauche de l'origine, il est donc plus petit que .
· : un nombre positif non nul est situe a droite de l'origine, il est donc plus grand que .
· : ce sont des nombres positifs, on les compare comme d'habitude.
4) a) : deux négatifs, les distances a zéro sont et ; comme , c'est le plus petit.
b) : tout nombre négatif non nul est plus petit que .
c) : un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif, même si sa distance a zéro est bien plus grande.
d) : deux négatifs, les distances a zéro sont et . Comme , c'est le plus grand (il est plus proche de , donc plus a droite).
5) Le nombre est compris entre et . En passant aux négatifs, on parcourt la droite dans l'autre sens : est donc compris entre et , et il est plus proche de . On écrit .
De même, est compris entre et , donc .
6) L'ordre décroissant se lit de la droite vers la gauche : , soit , , , .
Le plan est muni d'un repère : deux axes gradués perpendiculaires, l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical), qui se coupent en l'origine. Les deux axes sont gradués de à , l'unité étant le carreau. Un point est repéré par un couple de coordonnées, l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite.
1) Lire les coordonnées des six points , , , , et de la figure, et les écrire sous la forme .
2) Deux de ces six points sont situés sur un axe. Lesquels, et sur quel axe ?
3) Placer ensuite, sur le même repère, les six points , , , , et . Décrire, pour et pour , le chemin suivi depuis l'origine.
4) Les points et sont-ils confondus ? Justifier.
5) Ranger les abscisses des six points , , , , et dans l'ordre croissant.
1) Pour lire les coordonnées d'un point, on descend (ou on monte) du point jusqu'à l'axe des abscisses pour lire l'abscisse, puis on rejoint horizontalement l'axe des ordonnées pour lire l'ordonnée. Les traits en pointillés du point montrent ce geste : ils arrivent sur sur l'axe horizontal et sur sur l'axe vertical, donc .
De la même façon :
, , , , .
On écrit toujours l'abscisse en premier et l'ordonnée en second, séparées par un point-virgule.
2) Le point a pour abscisse : il n'est ni à droite ni à gauche de l'origine, il est donc sur l'axe des ordonnées. Le point a pour ordonnée : il n'est ni au-dessus ni au-dessous de l'origine, il est donc sur l'axe des abscisses.
3) On place chaque point en partant de l'origine, en se déplaçant d'abord horizontalement (l'abscisse), puis verticalement (l'ordonnée).
Pour : depuis l'origine, on avance de carreaux vers la droite (l'abscisse est positive), puis on descend de carreaux (l'ordonnée est négative). Le point est en bas à droite.
Pour : depuis l'origine, on recule de carreaux vers la gauche (l'abscisse est négative), puis on monte de carreaux (l'ordonnée est positive). Le point est en haut à gauche.
De même : est à un carreau à gauche puis un carreau vers le bas ; est à quatre carreaux à droite puis quatre carreaux vers le haut ; ne se déplace pas horizontalement puis descend de , il est donc sur l'axe des ordonnées, comme le point ; est à trois carreaux à gauche puis cinq carreaux vers le bas.
4) Non, ils ne sont pas confondus. Dans un couple de coordonnées, l'ordre compte : le premier nombre est l'abscisse, le second l'ordonnée. Le point a pour abscisse et pour ordonnée : il est à droite et en bas. Le point a pour abscisse et pour ordonnée : il est à gauche et en haut. Ce sont bien deux points différents.
5) Les abscisses sont ; ; ; ; ; . Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite ; tout négatif non nul est plus petit que , lui-même plus petit que les positifs non nuls. On obtient :
soit, dans l'ordre, les points , , , , , .
Pour additionner deux nombres relatifs, on dispose de deux règles :
· Règle 1, deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
· Règle 2, deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande.
Calculer les douze sommes suivantes. Indiquer à chaque fois laquelle des deux règles on applique.
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) .
13) Sans poser le calcul, dire si la somme est positive ou négative, et expliquer pourquoi.
14) Quel nombre faut-il ajouter à pour obtenir ? Comment s'appelle ce nombre ?
a) : les deux nombres sont positifs, donc règle 1. Les distances à zéro sont et , et . Le signe commun est . Donc . Vérification : .
b) : les deux nombres sont négatifs, donc règle 1. Les distances à zéro sont et , et . Le signe commun est . Donc . Vérification : .
c) : signes différents, donc règle 2. Les distances à zéro sont et , et . La plus grande distance à zéro est celle de , qui est positif. Donc . Vérification : .
d) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le nombre le plus éloigné de zéro est , qui est négatif. Donc . Vérification : .
e) : signes différents, donc règle 2. Les deux distances à zéro valent , et . Ces deux nombres sont opposés, leur somme vaut . Donc .
f) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le plus éloigné de zéro est , qui est négatif. Donc . Vérification : .
g) : deux nombres négatifs, donc règle 1. Distances à zéro : et , et . Le signe commun est . Donc . Vérification : .
h) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
i) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
j) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le plus éloigné de zéro est , qui est négatif. Donc . Vérification : .
k) : deux nombres positifs, donc règle 1. Distances à zéro : et , et . Le signe commun est . Donc . Vérification : .
l) : signes différents, donc règle 2. Distances à zéro : et , et . Le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
Bilan : le résultat est négatif quand les deux nombres sont négatifs (cas b et g), ou quand le nombre le plus éloigné de zéro est négatif (cas d, f et j).
13) La somme est négative. Les deux nombres sont de signes différents : le résultat prend le signe de celui dont la distance à zéro est la plus grande. Ici , et c'est qui l'emporte. La réponse est donc négative, sans qu'il soit besoin de calculer.
14) Il faut ajouter , car . Ce nombre s'appelle l'opposé de .
Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. Méthode efficace : on additionne d'abord tous les nombres positifs entre eux, puis tous les nombres négatifs entre eux, et on termine avec deux nombres seulement.
Calculer les six sommes suivantes par cette méthode, en écrivant à chaque fois les deux regroupements.
7) Pour , trouver une façon encore plus rapide de conclure, sans additionner les positifs entre eux.
8) La figure représente calculée autrement : pas à pas, par des sauts sur une droite graduée. Décrire ce parcours, puis vérifier qu'il donne le même résultat.
: les positifs sont et , deux nombres de même signe : , d'où . Les négatifs sont et , également de même signe : , d'où . Il reste : signes différents, , et le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
: les positifs donnent , soit . Les négatifs donnent , soit . Il reste : signes différents, , et le plus éloigné de zéro est , qui est négatif. Donc . Vérification : .
: les positifs donnent , soit . Les négatifs donnent , soit . Il reste : ces deux nombres sont opposés, leur somme vaut . Donc .
: les positifs donnent , soit . Les négatifs donnent , soit . Il reste : signes différents, , et le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
: les positifs donnent , soit . Les négatifs donnent puis , soit . Il reste : signes différents, , et le plus éloigné de zéro est , qui est positif. Donc . Vérification : .
: les positifs donnent puis , soit . Les négatifs donnent , soit . Il reste : signes différents, , et le plus éloigné de zéro est , qui est négatif. Donc . Vérification : .
7) Dans , on repère directement deux couples de nombres opposés : avec , et avec . Comme l'ordre des termes est libre, on écrit . Chercher les couples d'opposés avant de calculer fait gagner beaucoup de temps.
8) Sur la figure, on part du point d'abscisse . Le premier saut vaut : il va vers la gauche de graduations et arrive en , ce qui correspond à (signes différents, , on garde le signe de ). Le deuxième saut vaut : il va vers la droite de graduations et arrive en , car (signes différents, , on garde le signe de ). Le troisième saut vaut : il repart vers la gauche de graduations et arrive en , car (signes différents, , on garde le signe de ). Le point d'arrivée est : on retrouve bien . Les sauts vers la droite correspondent aux termes positifs, les sauts vers la gauche aux termes négatifs.
Dans une station de montagne, un thermomètre enregistre la température toutes les trois heures. À h, il affiche °C. Voici ensuite les variations mesurées d'un relevé au suivant, dans l'ordre :
de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C ; de h à h : °C.
Une variation s'ajoute à la température précédente : par exemple, la première se traduit par la somme .
1) Calculer, de proche en proche, les températures relevées à h, h, h, h, h, h, h et h. Indiquer à chaque fois la règle utilisée.
2) Reporter les neuf températures de la journée sur une droite graduée allant de à .
3) Ranger ces neuf températures dans l'ordre croissant. À quelle heure a-t-il fait le plus froid ? le plus chaud ?
4) Combien de relevés donnent une température négative non nulle ?
5) Calculer la somme des huit variations de la journée, en regroupant les variations positives d'un côté et les négatives de l'autre. Que représente le résultat obtenu ?
6) Vérifier que la température de h, augmentée de cette somme, redonne bien la température de h.
1) On ajoute chaque variation a la température précédente.
A h : . Les deux nombres sont négatifs, c'est la règle des memes signes : , et on garde le signe . La température est °C. Vérification : .
A h : . Memes signes : , signe . La température est °C.
A h : . Signes différents : , et le nombre le plus eloigne de zéro est , qui est négatif. La température est °C. Vérification : .
A h : . Signes différents : , et le plus eloigne de zéro est , qui est positif. La température est °C. Vérification : .
A h : . Memes signes : , signe . La température est °C.
A h : . Signes différents : , et le plus eloigne de zéro est , qui est positif. La température est °C. Vérification : .
A h : . Signes différents : , et le plus eloigne de zéro est , qui est négatif. La température est °C. Vérification : .
A h : . Memes signes : , signe . La température est °C.
On retient les neuf releves, en degres Celsius : ; ; ; ; ; ; ; ; .
2) On trace une droite graduée de a , une graduation par degre, puis on place chaque releve a l'abscisse égale a sa température en écrivant l'heure a cote du point : « 0 h » a , « 3 h » a , « 6 h » a , « 9 h » a , « 12 h » a , « 15 h » a , « 18 h » a , « 21 h » a et « 24 h » a . Six points se trouvent a gauche de (les températures négatives) et trois a droite (les températures positives).
3) Sur la droite graduée, la plus petite température est la plus a gauche. On lit :
Entre les nombres négatifs, on a bien range du plus eloigne de zéro au plus proche : les distances a zéro sont , , , , puis . Ensuite, tout nombre négatif non nul est plus petit que tout nombre positif non nul, et entre les positifs on compare comme d'habitude.
Il a fait le plus froid a h, avec °C. Il a fait le plus chaud a h, avec °C.
4) Les températures négatives non nulles sont (a h), (a h), (a h), (a h), (a h) et (a h) : cela fait six releves sur neuf. Les trois autres, a h, h et h, sont positifs.
5) La somme des variations est
On regroupe les variations positives : puis , soit .
On regroupe les variations négatives : , puis , puis , puis , soit .
Il reste : signes différents, , et le nombre le plus eloigne de zéro est , qui est négatif. La somme vaut donc . Vérification : .
Ce résultat est le bilan de la journée : entre h et h, la température a baisse de °C. Les hausses et les baisses ne se compensent pas tout a fait, et les baisses l'emportent.
6) La température de h augmentée du bilan donne . Les deux nombres sont négatifs, règle des memes signes : , signe , soit °C. C'est bien la température relevee a h. Le calcul de proche en proche et le bilan par une seule somme donnent donc le même résultat : c'est normal, puisque dans une somme on peut regrouper les termes dans l'ordre que l'on veut.