Les nombres relatifs : opposé, ordre et somme

Jusqu'ici, $3 - 8$ n'avait pas de réponse : on ne peut pas enlever $8$ à $3$ avec les nombres connus. On invente donc les nombres négatifs, qui se placent avant $0$. Ils servent tous les jours : une température sous zéro, une altitude sous le niveau de la mer, un solde bancaire à découvert, une année avant notre ère.

L'opposé d'un nombre est le nombre qui, ajouté à lui, donne $0$. L'opposé de $3$ est $-3$. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.

L'opposé d'un nombre négatif est positif. L'opposé de $(-11)$ est $(+11)$, car $(-11) + (+11) = 0$. Le seul nombre qui est son propre opposé est $0$.

Un nombre relatif s'écrit avec un signe et une distance à zéro. Le signe dit de quel côté de $0$ on se trouve, la distance à zéro dit de combien on s'en éloigne. Deux nombres peuvent avoir la même distance à zéro sans être égaux.

Un nombre est positif s'il est supérieur ou égal à $0$, et négatif s'il est inférieur ou égal à $0$. Le nombre $0$ est donc à la fois positif et négatif, et c'est le seul dans ce cas. Le signe $+$ d'un nombre positif peut être omis.

La droite graduée se prolonge à gauche de $0$ pour accueillir les nombres négatifs. Les positifs sont à droite de l'origine, les négatifs à gauche. L'écart entre deux graduations voisines est le même partout.

L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui le repère sur la droite graduée. On note $A(-3)$ pour dire que le point $A$ a pour abscisse $-3$. La distance à zéro d'un nombre est la distance, sur cette droite, entre son point et l'origine.

Sur la droite graduée, le plus grand de deux nombres est celui qui est le plus à droite. Un nombre négatif non nul est donc inférieur à tout nombre positif, même si sa distance à zéro est énorme. Entre deux nombres positifs, on compare comme d'habitude.

C'est le piège du chapitre. Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite. Ainsi $-3$ est plus grand que $-8$, alors que $3$ est plus petit que $8$. En cas de doute, on place les deux nombres sur la droite graduée et on garde celui de droite.

Pour ranger dans l'ordre croissant, on sépare d'abord les négatifs des positifs. On écrit les négatifs du plus éloigné de zéro au plus proche, puis $0$, puis les positifs comme d'habitude. L'ordre décroissant est la même liste, lue à l'envers.

Encadrer un nombre entre deux entiers consécutifs, c'est trouver les deux entiers qui l'entourent sur la droite graduée. Pour un nombre négatif, attention : l'entier écrit à gauche est celui dont la distance à zéro est la plus grande.

Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires. L'axe horizontal est l'axe des abscisses, l'axe vertical est l'axe des ordonnées. Elles se coupent en un point appelé l'origine, où les deux graduations valent $0$.

Un point est repéré par un couple de coordonnées $(x ; y)$ : l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite, toujours dans cet ordre. Pour placer $A(3 ; -4)$, on avance de $3$ sur l'axe horizontal, puis on descend de $4$. Pour lire les coordonnées d'un point déjà placé, on rejoint chaque axe et on note le nombre trouvé.

Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. La somme de deux négatifs est donc toujours négative, et la somme de deux positifs toujours positive.

Deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande. On garde ensuite le signe de celui qui est le plus éloigné de zéro.

Devant $(-13) + (+4)$, beaucoup écrivent $-17$ : les deux distances à zéro ont été additionnées, comme si les deux nombres étaient de même signe. D'autres trouvent bien $9$, mais répondent $+9$ en gardant le signe du nombre le plus proche de zéro, ici $+4$. Quand les signes sont différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, $13 - 4 = 9$, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, ici celui de $-13$.
Le contrôle : ajouter un nombre positif fait toujours avancer vers la droite sur la droite graduée, donc la somme doit être plus grande que $-13$, ce que $-17$ n'est pas.

La somme d'un nombre et de son opposé vaut toujours $0$. C'est très utile dans un calcul long : dès qu'on repère deux nombres opposés, on les regroupe et ils disparaissent.

Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. Méthode efficace : additionner tous les positifs entre eux, tous les négatifs entre eux, puis terminer le calcul avec deux nombres seulement.