Fractions et nombres décimaux

Les deux règles utilisées
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, etc.
Dans une écriture à virgule, les chiffres placés après la virgule occupent, dans l'ordre, le rang des dixièmes, des centièmes, des millièmes, puis des dix-millièmes. Le rang du dernier chiffre écrit donne le dénominateur de la fraction décimale.

1) Partie entière et partie décimale
La partie entière est ce qui est écrit avant la virgule, la partie décimale ce qui est écrit après.
· $4{,}73$ : partie entière $4$, partie décimale $73$, qui vaut $73$ centièmes.
· $0{,}205$ : partie entière $0$, partie décimale $205$, qui vaut $205$ millièmes.
· $12{,}04$ : partie entière $12$, partie décimale $04$, qui vaut $4$ centièmes.
· $6{,}0308$ : partie entière $6$, partie décimale $0308$, qui vaut $308$ dix-millièmes.

2) Une seule fraction décimale
On regarde le rang du dernier chiffre : il donne le dénominateur. On recopie ensuite tous les chiffres du nombre, sans la virgule, au numérateur.
· $4{,}73$ : le dernier chiffre est au rang des centièmes, donc $4{,}73 = \dfrac{473}{100}$.
· $0{,}205$ : dernier chiffre au rang des millièmes, donc $0{,}205 = \dfrac{205}{1\,000}$.
· $12{,}04$ : dernier chiffre au rang des centièmes, donc $12{,}04 = \dfrac{1\,204}{100}$.
· $6{,}0308$ : dernier chiffre au rang des dix-millièmes, donc $6{,}0308 = \dfrac{60\,308}{10\,000}$.

3) Un entier et une fraction inférieure à $1$
On garde la partie entière telle quelle, et la partie décimale devient la fraction.
· $4{,}73 = 4 + \dfrac{73}{100}$
· $0{,}205 = 0 + \dfrac{205}{1\,000} = \dfrac{205}{1\,000}$
· $12{,}04 = 12 + \dfrac{4}{100}$
· $6{,}0308 = 6 + \dfrac{308}{10\,000}$
Dans chaque cas, la fraction écrite est bien inférieure à $1$, car son numérateur est plus petit que son dénominateur.

4) Décomposition rang par rang
On place chaque chiffre de la partie décimale à son rang.
Pour $4{,}73$ : $7$ est au rang des dixièmes, $3$ au rang des centièmes.
$4{,}73 = 4 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{100}$
Pour $6{,}0308$ : $0$ dixième, $3$ centièmes, $0$ millième, $8$ dix-millièmes.
$6{,}0308 = 6 + \dfrac{0}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{0}{1\,000} + \dfrac{8}{10\,000}$, ce qui s'écrit plus simplement $6 + \dfrac{3}{100} + \dfrac{8}{10\,000}$.
Attention : les rangs vides n'apportent rien à la somme, mais leurs zéros doivent absolument rester dans l'écriture à virgule, sinon les autres chiffres changent de rang.

5) Retour à l'écriture décimale
· $\dfrac{917}{100} = 9{,}17$ : un dénominateur $100$ demande deux chiffres après la virgule, on part donc de la droite de $917$ et on compte deux chiffres.
· $\dfrac{45}{10} = 4{,}5$ : un dénominateur $10$ demande un seul chiffre après la virgule.
· $8 + \dfrac{5}{1\,000} = 8{,}005$ : le $5$ doit occuper le rang des millièmes, c'est-à-dire le troisième après la virgule. On complète donc les dixièmes et les centièmes par des zéros.
· $3 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{7}{1\,000} = 3{,}207$ : $2$ au rang des dixièmes, rien au rang des centièmes (on écrit $0$), $7$ au rang des millièmes.
· $\dfrac{6\,000}{1\,000} = 6$.

6) Celui qui est entier
C'est $\dfrac{6\,000}{1\,000}$. Il représente $6\,000$ millièmes, or $1\,000$ millièmes forment une unité : il y a donc exactement $6$ unités, et rien de plus.
On peut aussi l'écrire $6{,}000$, puis remarquer que les zéros inutiles à droite de la partie décimale ne changent pas le nombre : $6{,}000 = 6$.

La règle de lecture
Après la virgule, les rangs se suivent toujours dans le même ordre : dixièmes, centièmes, millièmes, dix-millièmes. Le mot employé à la fin de la lecture (« centièmes », « millièmes »…) indique donc combien de chiffres doivent être écrits après la virgule. Si les chiffres ne suffisent pas à remplir tous ces rangs, on complète par des zéros juste après la virgule.

1) De la lecture aux chiffres
a) « centièmes » : il faut deux chiffres après la virgule, et $25$ en occupe exactement deux. On écrit $3{,}25$.
b) « millièmes » : il faut trois chiffres après la virgule. Le $5$ occupe le rang des millièmes, donc les dixièmes et les centièmes sont vides : on écrit $7{,}005$.
c) Aucune unité n'est annoncée : la partie entière est nulle. « centièmes » demande deux chiffres, donc $0{,}42$.
d) Ici tout est compté en centièmes : le nombre vaut $\dfrac{1\,806}{100}$. Comme $100$ centièmes font une unité, $1\,800$ centièmes font $18$ unités, et il reste $6$ centièmes. On écrit $18{,}06$.
e) « millièmes » demande trois chiffres après la virgule, et $40$ millièmes s'écrit $040$ : on obtient $12{,}040$, c'est-à-dire $12{,}04$, car le zéro final ne change pas le nombre.
f) « dix-millièmes » demande quatre chiffres après la virgule. Le $9$ occupe le quatrième rang, les trois premiers sont vides : on écrit $5{,}0009$.

2) Des chiffres à la lecture
On lit la partie entière, puis toute la partie décimale d'un seul bloc, en donnant le nom du rang du dernier chiffre.
· $6{,}08$ : le dernier chiffre est au rang des centièmes, la partie décimale vaut $8$ centièmes. On lit « six unités et huit centièmes ».
· $0{,}7$ : « sept dixièmes ».
· $40{,}305$ : le dernier chiffre est au rang des millièmes. On lit « quarante unités et trois-cent-cinq millièmes ».
· $2{,}0071$ : le dernier chiffre est au rang des dix-millièmes, la partie décimale $0071$ vaut $71$ dix-millièmes. On lit « deux unités et soixante-et-onze dix-millièmes ».

3) L'erreur sur $5{,}07$
Le premier chiffre après la virgule est celui des dixièmes : dans $5{,}07$, c'est un $0$. Ce nombre n'a donc aucun dixième, et le $7$ se trouve au rang suivant, celui des centièmes. L'élève a sauté le zéro et lu le $7$ comme s'il était collé à la virgule.
La bonne lecture est : « cinq unités et sept centièmes ».
Sa lecture, « cinq unités et sept dixièmes », correspond au nombre $5{,}7$. Ces deux nombres sont très différents : $5{,}7 = 5{,}70$, soit soixante-dix centièmes, contre sept centièmes seulement pour $5{,}07$.

4) Vrai ou faux
a) Vrai. Les deux nombres ont la même partie entière $3$, le même chiffre $4$ au rang des dixièmes, et aucun centième. Le zéro écrit tout à droite de la partie décimale n'ajoute rien : $3{,}40 = 3{,}4$.
b) Faux. Ici le zéro est placé entre la virgule et un chiffre significatif : il décale le $4$ d'un rang. Dans $3{,}04$, le $4$ est au rang des centièmes, alors que dans $3{,}4$ il est au rang des dixièmes. En complétant, on compare $3{,}04$ et $3{,}40$ : on obtient $3{,}04 < 3{,}4$.
c) Vrai. Même partie entière $0$, même chiffre $2$ aux dixièmes, aucun centième dans les deux cas.
d) Vrai. Ajouter un zéro à droite de la partie décimale ne change pas le nombre : $6{,}7 = 6{,}70$.
e) Faux. $9{,}1$ possède $1$ dixième, tandis que $9{,}01$ possède $0$ dixième et $1$ centième. En complétant, on compare $9{,}10$ et $9{,}01$ : $9{,}01 < 9{,}1$.

1) Le pas de la demi-droite du haut
Entre la graduation étiquetée $2$ et la graduation étiquetée $3$, on compte $10$ intervalles. Une unité partagée en $10$ parts égales donne des dixièmes : le pas vaut donc $\dfrac{1}{10}$, c'est-à-dire $0{,}1$.
On compte ensuite les graduations à partir de celle étiquetée $2$.
· $M$ est $3$ graduations plus loin : son abscisse est $2 + \dfrac{3}{10} = 2{,}3$.
· $N$ est $8$ graduations plus loin : son abscisse est $2 + \dfrac{8}{10} = 2{,}8$.

2) Placer $P$
$2{,}7$ se lit « $2$ unités et $7$ dixièmes ». Il faut donc compter $7$ graduations après celle qui porte l'étiquette $2$ : $P$ se place sur la septième graduation, juste avant $N$ (car $2{,}7 < 2{,}8$).

3) Le pas de la demi-droite du bas
La portion représentée va de $2{,}3$ à $2{,}4$ : elle mesure un dixième. Ce dixième est partagé en $10$ parts égales, et $10$ centièmes font justement un dixième. Chaque part vaut donc un centième : le pas est $0{,}01$.
$Q$ est $6$ graduations après $2{,}3$, on ajoute $6$ centièmes : son abscisse est $2{,}36$.
Pour $R$, d'abscisse $2{,}38$, on compte $8$ centièmes après $2{,}3$ : $R$ se place sur la huitième graduation, donc deux graduations après $Q$.

4) Comparaisons
Méthode : on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les chiffres rang par rang après la virgule, en commençant par les dixièmes. Compléter les parties décimales par des zéros pour qu'elles aient la même longueur aide beaucoup.
a) Parties entières égales ($5$). Dixièmes : $7$ contre $6$. Donc $5{,}7 > 5{,}63$.
b) $9{,}2$ et $9{,}20$ ont la même partie entière, le même chiffre $2$ aux dixièmes, et aucun centième. Donc $9{,}2 = 9{,}20$.
c) Parties entières égales ($3$). Dixièmes : $0$ contre $1$. Donc $3{,}08 < 3{,}1$.
d) Parties entières égales ($14$). Dixièmes : $2$ contre $3$. Donc $14{,}25 < 14{,}3$.
e) Parties entières égales ($0$). Dixièmes : $9$ contre $8$. Donc $0{,}9 > 0{,}89$.
f) Parties entières égales ($6$). Dixièmes : $4$ et $4$, égalité, on passe au rang suivant. Centièmes : $0$ contre $5$. Donc $6{,}405 < 6{,}45$.

5) Ordre croissant
Toutes les parties entières valent $7$. On complète les parties décimales à trois chiffres pour comparer sans se tromper :
$7{,}800$ ; $7{,}080$ ; $7{,}801$ ; $7{,}790$ ; $7{,}081$.
Aux dixièmes, deux nombres ont $0$ ($7{,}080$ et $7{,}081$) : ce sont les deux plus petits. Entre eux, les centièmes sont égaux ($8$), et les millièmes valent $0$ contre $1$, donc $7{,}08 < 7{,}081$.
Restent $7{,}790$, $7{,}800$ et $7{,}801$. Aux dixièmes : $7$ pour le premier, $8$ pour les deux autres, donc $7{,}79$ est le plus petit des trois. Entre $7{,}800$ et $7{,}801$, seuls les millièmes diffèrent : $0$ contre $1$.
On obtient : $7{,}08 < 7{,}081 < 7{,}79 < 7{,}8 < 7{,}801$.

6) Ordre décroissant
Même méthode, avec trois chiffres après la virgule :
$2{,}500$ ; $2{,}450$ ; $2{,}505$ ; $2{,}050$ ; $2{,}540$.
Aux dixièmes : $5$ pour $2{,}500$, $2{,}505$ et $2{,}540$ ; $4$ pour $2{,}450$ ; $0$ pour $2{,}050$.
Parmi les trois premiers, on compare les centièmes : $4$ pour $2{,}540$, $0$ pour les deux autres, donc $2{,}54$ est le plus grand. Puis, entre $2{,}500$ et $2{,}505$, les millièmes valent $0$ contre $5$, donc $2{,}505 > 2{,}5$.
On obtient : $2{,}54 > 2{,}505 > 2{,}5 > 2{,}45 > 2{,}05$.

7) Encadrements
La partie entière donne directement l'entier de gauche ; on ajoute $1$ pour obtenir celui de droite.
$7 < 7{,}801 < 8$
$2 < 2{,}05 < 3$
$0 < 0{,}64 < 1$
$15 < 15{,}9 < 16$

8) L'erreur de l'élève
Le nombre de chiffres après la virgule ne dit rien de la taille d'un nombre : $3{,}125$ compte simplement ses centièmes et ses millièmes, ce qui n'en fait pas un grand nombre.
On compare comme d'habitude. Les parties entières sont égales ($3$). Au rang des dixièmes, $3{,}125$ a un $1$ et $3{,}4$ a un $4$ : comme $1 < 4$, on conclut $3{,}125 < 3{,}4$.
En complétant, la comparaison saute aux yeux : $3{,}125$ contre $3{,}400$.

1) L'addition $34{,}7 + 8{,}65$
On écrit les deux nombres l'un sous l'autre en alignant les virgules : les unités se retrouvent alors sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes. La partie décimale de $34{,}7$ est plus courte que l'autre : on la complète par un zéro, ce qui ne change pas le nombre. On calcule donc $34{,}70 + 8{,}65$ comme s'il s'agissait d'entiers.
· centièmes : $0 + 5 = 5$
· dixièmes : $7 + 6 = 13$, on écrit $3$ et on retient $1$
· unités : $4 + 8 + 1 = 13$, on écrit $3$ et on retient $1$
· dizaines : $3 + 0 + 1 = 4$
La virgule du résultat se place exactement sous les deux autres virgules, entre les unités et les dixièmes.
$34{,}7 + 8{,}65 = 43{,}35$
Contrôle par l'ordre de grandeur : la somme doit être proche de $35 + 9 = 44$. C'est bien le cas.

2) La soustraction $52{,}3 - 7{,}84$
Même principe : on aligne les virgules et on complète $52{,}3$ en $52{,}30$. On calcule $52{,}30 - 7{,}84$ en partant de la droite.
· centièmes : $0 - 4$ est impossible, on transforme en $10 - 4 = 6$ et on ajoute $1$ au chiffre des dixièmes du bas
· dixièmes : $3 - 9$ est impossible (car $8 + 1 = 9$), on transforme en $13 - 9 = 4$ et on ajoute $1$ au chiffre des unités du bas
· unités : $2 - 8$ est impossible (car $7 + 1 = 8$), on transforme en $12 - 8 = 4$ et on ajoute $1$ au chiffre des dizaines du bas
· dizaines : $5 - 1 = 4$
$52{,}3 - 7{,}84 = 44{,}46$
Vérification par l'addition : $44{,}46 + 7{,}84 = 52{,}30$, c'est bien le nombre de départ. Le résultat est juste.

3) La multiplication $4{,}6 \times 3{,}7$
On pose la multiplication sans s'occuper des virgules : on calcule $46 \times 37$ comme un produit d'entiers.
· $46 \times 7 = 322$
· $46 \times 30 = 1\,380$
· $322 + 1\,380 = 1\,702$
On place ensuite la virgule en comptant : $4{,}6$ a un chiffre après la virgule, $3{,}7$ en a un aussi, soit $1 + 1 = 2$ chiffres en tout. Le résultat doit donc avoir $2$ chiffres après la virgule. En partant de la droite de $1\,702$, on compte deux chiffres et on place la virgule.
$4{,}6 \times 3{,}7 = 17{,}02$
Contrôle par l'ordre de grandeur : $4{,}6$ est proche de $5$ et $3{,}7$ est proche de $4$, et $5 \times 4 = 20$. Un résultat voisin de $17$ est cohérent, alors que $170{,}2$ ou $1{,}702$ ne le seraient pas.

4) Utiliser $68 \times 145 = 9\,860$
Les chiffres des produits sont toujours ceux de $9\,860$ : seule la virgule change de place. On compte à chaque fois le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
· $6{,}8 \times 14{,}5$ : $1 + 1 = 2$ chiffres après la virgule, donc $98{,}60$, c'est-à-dire $98{,}6$.
· $0{,}68 \times 1{,}45$ : $2 + 2 = 4$ chiffres après la virgule, donc $0{,}9860$, c'est-à-dire $0{,}986$.
· $0{,}68 \times 14{,}5$ : $2 + 1 = 3$ chiffres après la virgule, donc $9{,}860$, c'est-à-dire $9{,}86$.
On peut vérifier chaque réponse par l'ordre de grandeur : $7 \times 14 = 98$, ce qui est bien voisin de $98{,}6$ ; et $0{,}7 \times 1{,}5 = 1{,}05$, ce qui est bien voisin de $0{,}986$.

5) Multiplier ou diviser par $10$, $100$, $1\,000$
Multiplier déplace la virgule vers la droite, diviser la déplace vers la gauche, d'autant de rangs qu'il y a de zéros. On ajoute des zéros si les chiffres manquent.
· $3{,}74 \times 100 = 374$ (deux rangs vers la droite)
· $0{,}096 \times 1\,000 = 96$ (trois rangs vers la droite)
· $58{,}2 \div 10 = 5{,}82$ (un rang vers la gauche)
· $4{,}5 \div 100 = 0{,}045$ (deux rangs vers la gauche, en complétant par un zéro)

6) L'erreur de l'élève
L'élève a ajouté séparément les parties entières ($2 + 1 = 3$) puis les parties décimales lues comme des entiers ($5 + 34 = 39$). Or $5$ désigne $5$ dixièmes et $34$ désigne $34$ centièmes : ces chiffres ne sont pas au même rang, on ne peut pas les additionner ainsi.
Il fallait aligner les virgules et compléter : $2{,}5$ s'écrit $2{,}50$, soit $50$ centièmes. On calcule alors $50 + 34 = 84$ centièmes, et $2 + 1 = 3$ unités.
$2{,}5 + 1{,}34 = 3{,}84$

1) Le prix des pommes
Les $3$ kilogrammes coûtent chacun le même prix : on multiplie.
On pose $2{,}35 \times 3$ sans s'occuper de la virgule, donc on calcule $235 \times 3$.
· $3 \times 5 = 15$ : on écrit $5$ et on retient $1$
· $3 \times 3 = 9$, plus la retenue $1$, cela fait $10$ : on écrit $0$ et on retient $1$
· $3 \times 2 = 6$, plus la retenue $1$, cela fait $7$
On obtient $705$. Le facteur $2{,}35$ a deux chiffres après la virgule et le facteur $3$ n'en a aucun : le résultat doit donc en avoir $2$.
$3 \times 2{,}35 = 7{,}05$
Les pommes coûtent $7{,}05$ €. Ordre de grandeur : $3 \times 2 = 6$, le résultat est cohérent.

2) Le prix des pots de miel
On pose $6{,}25 \times 4$, donc on calcule $625 \times 4$.
· $4 \times 5 = 20$ : on écrit $0$ et on retient $2$
· $4 \times 2 = 8$, plus la retenue $2$, cela fait $10$ : on écrit $0$ et on retient $1$
· $4 \times 6 = 24$, plus la retenue $1$, cela fait $25$
On obtient $2\,500$, et il faut deux chiffres après la virgule.
$4 \times 6{,}25 = 25{,}00$, c'est-à-dire $25$ €.
Les quatre pots de miel coûtent $25$ €.

3) Le montant total
On additionne les trois prix, en alignant les virgules :
$7{,}05 + 4{,}80 + 25{,}00$
· centièmes : $5 + 0 + 0 = 5$
· dixièmes : $0 + 8 + 0 = 8$
· unités : $7 + 4 + 5 = 16$, on écrit $6$ et on retient $1$
· dizaines : $0 + 0 + 2 + 1 = 3$
$7{,}05 + 4{,}80 + 25{,}00 = 36{,}85$
Le montant total des achats est de $36{,}85$ €.

4) La somme rendue
On retire le montant des achats au billet donné : on soustrait. Le billet vaut $50$ €, que l'on écrit $50{,}00$ pour aligner les virgules et avoir autant de chiffres après la virgule.
· centièmes : $0 - 5$ est impossible, on transforme en $10 - 5 = 5$ et on reporte $1$ sur les dixièmes du bas
· dixièmes : $0 - 9$ est impossible (car $8 + 1 = 9$), on transforme en $10 - 9 = 1$ et on reporte $1$ sur les unités du bas
· unités : $0 - 7$ est impossible (car $6 + 1 = 7$), on transforme en $10 - 7 = 3$ et on reporte $1$ sur les dizaines du bas
· dizaines : $5 - 4 = 1$ (car $3 + 1 = 4$)
$50 - 36{,}85 = 13{,}15$
Vérification par l'addition : $36{,}85 + 13{,}15 = 50{,}00$. Le calcul est juste.

5) Le lot de quatre pots
Achetés un par un, les quatre pots reviennent à $25$ €, soit $25{,}00$ €. Le lot est vendu $24{,}90$ €.
On compare $24{,}90$ et $25{,}00$ : les parties entières sont $24$ et $25$, et $24 < 25$, donc $24{,}90 < 25{,}00$.
Le lot est donc plus avantageux. L'économie vaut $25{,}00 - 24{,}90 = 0{,}10$ €, c'est-à-dire $10$ centimes.

6) Le sac de $10$ kg
Au tarif du marché, $10$ kg de pommes coûtent $10 \times 2{,}35$. Multiplier par $10$ déplace la virgule d'un rang vers la droite : $10 \times 2{,}35 = 23{,}50$.
On compare $23{,}40$ et $23{,}50$ : les parties entières sont égales ($23$), et au rang des dixièmes $4 < 5$. Donc $23{,}40 < 23{,}50$.
Le sac du producteur est donc plus intéressant, de $23{,}50 - 23{,}40 = 0{,}10$ € pour $10$ kg.

7) Phrase de conclusion
Madame Renard paie $36{,}85$ € pour ses achats, et le marchand lui rend $13{,}15$ € sur son billet de $50$ €.