Fractions et nombres décimaux

Partager une unité en parts égales, c'est fabriquer une fraction. Si l'unité est coupée en $4$ parts, une seule part vaut $\dfrac{1}{4}$ et trois parts valent $\dfrac{3}{4}$. Les parts doivent être égales, sinon l'écriture n'a pas de sens.

Dans une fraction, le nombre du bas est le dénominateur : il dit en combien de parts l'unité est partagée. Le nombre du haut est le numérateur : il dit combien de parts on prend. Le dénominateur n'est jamais nul : on ne partage pas une unité en zéro part.

Pour placer une fraction comme $\dfrac{5}{3}$ : partager chaque unité en $3$ parts égales, puis compter $5$ parts depuis l'origine $0$. Pour lire l'abscisse d'un point : compter en combien de parts une unité est partagée (c'est le dénominateur), puis compter les parts de $0$ jusqu'au point (c'est le numérateur).

Une unité contient exactement autant de parts que le dénominateur l'indique : $4$ quarts, $10$ dixièmes, $100$ centièmes. En remettant ces parts bout à bout, on reforme l'unité entière.

On compare le numérateur au dénominateur. Numérateur plus petit : la fraction est inférieure à $1$ (les parts prises ne remplissent pas l'unité). Numérateur égal : la fraction vaut $1$. Numérateur plus grand : la fraction est supérieure à $1$. Une fraction peut aussi valoir exactement un nombre entier.

On cherche combien d'unités entières tiennent dans la fraction : on découpe le numérateur en paquets de la taille du dénominateur. Chaque paquet complet donne $1$, et les parts restantes donnent une fraction inférieure à $1$.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, etc. : un $1$ suivi de zéros. Elle se lit en dixièmes, centièmes, millièmes ou dix-millièmes.

Un nombre décimal s'écrit avec une virgule. À gauche de la virgule se trouve la partie entière, à droite la partie décimale, toujours inférieure à $1$. Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.

Après la virgule, les rangs se lisent de gauche à droite : dixièmes, centièmes, millièmes, dix-millièmes. Chaque rang vaut dix fois moins que celui qui le précède. Le rang d'un chiffre donne sa valeur, quelle que soit sa taille apparente.

Un même nombre décimal se lit et s'écrit de plusieurs façons : avec une virgule, comme la somme d'un entier et d'une fraction décimale, comme une seule fraction décimale, ou comme la somme de ses rangs. Toutes ces écritures désignent le même nombre.

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est $100$ : le symbole $\%$ remplace ce dénominateur. Ainsi $25\%$ se lit « vingt-cinq pour cent » et vaut $25$ centièmes, c'est-à-dire $\dfrac{25}{100}$, soit $0{,}25$. C'est donc une écriture de plus pour un même nombre, à ranger à côté de l'écriture à virgule et des fractions décimales. Appliquer un pourcentage à un prix ou à une quantité se travaille dans le chapitre de proportionnalité.

On lit d'abord la partie entière suivie du mot unités, puis la partie décimale suivie du nom de son dernier rang. On peut aussi lire le nombre entièrement dans le rang le plus petit : le nom du rang indique alors le dénominateur de la fraction décimale.

Les zéros écrits à droite de la partie décimale ne changent pas le nombre : on peut les ajouter ou les supprimer librement. En revanche, un zéro placé entre la virgule et un chiffre décale ce chiffre d'un rang : le nombre change.

On compare d'abord les parties entières : le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière. Si elles sont égales, on compare rang par rang après la virgule (dixièmes, puis centièmes, puis millièmes) jusqu'au premier chiffre différent. Le nombre de chiffres après la virgule ne dit rien de la taille du nombre.

Ranger dans l'ordre croissant, c'est écrire les nombres du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit. Astuce : compléter les parties décimales avec des zéros à droite pour qu'elles aient toutes la même longueur, la comparaison devient immédiate.

Avec un pas de $0{,}1$, chaque unité est partagée en $10$ parts égales. Avec un pas de $0{,}01$, c'est chaque dixième qui est partagé en $10$ parts. Pour placer un nombre : avancer jusqu'à sa partie entière, puis compter les dixièmes, puis les centièmes.

On aligne les virgules l'une sous l'autre : les rangs de même nom se retrouvent dans la même colonne. On complète avec des zéros à droite pour que les parties décimales aient la même longueur. On calcule ensuite comme avec des entiers, puis on descend la virgule du résultat dans la même colonne que les autres.

Multiplier deux nombres entiers, c'est répéter une addition : $4 \times 3$, c'est $3 + 3 + 3 + 3$. Avec deux décimaux, cette idée ne marche plus, car on ne répète pas $1{,}5$ « deux virgule quatre fois ». On garde alors l'autre sens du produit, celui de l'aire d'un rectangle : $2{,}4 \times 1{,}5$ est l'aire du rectangle ci-dessous, qui mesure $2{,}4$ cm de longueur et $1{,}5$ cm de largeur. Ce rectangle existe bel et bien, donc le produit a un sens : il vaut $3{,}6$, et l'aire du rectangle est de $3{,}6$ centimètres carrés.

On pose l'opération sans s'occuper des virgules et on calcule comme avec des entiers. On compte ensuite le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs réunis : le résultat en a exactement autant. Conséquence utile : un produit d'entiers déjà connu donne aussitôt les produits décimaux correspondants, sans aucun recalcul.

Multiplier par $10$, $100$ ou $1\,000$ agrandit le nombre : la virgule se déplace vers la droite de $1$, $2$ ou $3$ rangs. Diviser par $10$, $100$ ou $1\,000$ diminue le nombre : la virgule se déplace vers la gauche du même nombre de rangs. On ajoute des zéros quand les chiffres manquent.

Multiplier par $0{,}1$ revient à diviser par $10$, multiplier par $0{,}01$ revient à diviser par $100$, et multiplier par $0{,}001$ revient à diviser par $1\,000$. C'est logique : $0{,}1$ est un dixième, $0{,}01$ un centième et $0{,}001$ un millième, donc on n'en prend qu'un dixième, un centième ou un millième. La virgule se déplace donc vers la gauche de $1$, $2$ ou $3$ rangs, et on ajoute des zéros quand les chiffres manquent.

L'erreur la plus fréquente est de croire qu'une multiplication agrandit toujours. C'est vrai avec un facteur plus grand que $1$, mais faux avec un facteur plus petit que $1$ : prendre $0{,}5$ fois une longueur, c'est en prendre moins d'une fois, donc moins que la longueur elle-même. Le repère à retenir : si l'un des facteurs est plus petit que $1$, le produit est plus petit que l'autre facteur, et s'il vaut exactement $1$, le produit ne change pas.

Arrondir un nombre, c'est le remplacer par une valeur approchée plus courte, la plus proche possible du nombre de départ. Voici comment arrondir $7{,}264$ au dixième.
1) On repère le chiffre du rang demandé, ici le $2$ des dixièmes.
2) On regarde le chiffre placé juste après, ici le $6$ des centièmes.
3) Si ce chiffre est $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$, le chiffre du rang ne bouge pas ; s'il est $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$, on lui ajoute $1$.
4) On efface tous les chiffres qui suivent le rang demandé.
Ici le $6$ appartient au second groupe, donc le $2$ devient $3$. Sur la copie, on écrit le résultat avec le signe $\approx$, qui se lit « environ égal ».

Un ordre de grandeur est un résultat approché, calculé de tête, qui dit à peu près où le vrai résultat doit tomber. On remplace chaque nombre par un nombre rond facile à manier, le plus souvent l'entier le plus proche, puis on calcule mentalement. Il sert de contrôle : si le résultat posé est très éloigné de l'ordre de grandeur, c'est qu'une virgule est mal placée ou qu'un chiffre a sauté. On prend ce réflexe après chaque multiplication de décimaux, avant d'écrire la phrase de conclusion.