Suites numériques

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$, minorée s'il existe un réel $m$ tel que $m \le u_n$ pour tout $n$, et bornée si elle est les deux à la fois. Un majorant n'est pas unique : tout réel plus grand que $M$ majore encore la suite, et rien n'oblige un majorant à être atteint ni à être la limite. Pour prouver qu'une suite est majorée, on exhibe un majorant explicite, le plus souvent par récurrence.

Le réflexe est le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : positive pour tout $n$, la suite est croissante ; négative, elle est décroissante. Quand tous les termes sont strictement positifs, on peut à la place comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. Avec $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ :
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1}$
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$
Cette différence est strictement positive : on écrit que $(u_n)$ est strictement croissante.

Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ : initialisation (vérifier $P(n_0)$), hérédité (supposer $P(k)$ vraie et en déduire $P(k+1)$), conclusion. Les deux étapes sont indispensables.

On nomme d'abord la propriété $P(n)$ à démontrer, puis on écrit les trois blocs dans l'ordre. Soit $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, et $P(n)$ la propriété « $u_n \le 6$ » :
Initialisation : $u_0 = 1 \le 6$, donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $k$ un entier tel que $u_k \le 6$ ; alors $\dfrac{1}{2}u_k \le 3$, donc $\dfrac{1}{2}u_k + 3 \le 6$, c'est-à-dire $u_{k+1} \le 6$.
Conclusion : on écrit que $P(0)$ est vraie et que $P$ est héréditaire, donc que $u_n \le 6$ pour tout entier naturel $n$.

Sauter l'initialisation est l'erreur qui coûte le plus cher : la propriété « $4^n + 1$ est un multiple de $3$ » est parfaitement héréditaire, puisque $4^{k+1} + 1 = 4(4^k + 1) - 3$, et elle est pourtant fausse à tous les rangs, à commencer par $4^0 + 1 = 2$. Deuxième faute, de rédaction cette fois : écrire « supposons que $u_n \le 6$ pour tout $n$ », c'est supposer exactement ce que l'on cherche à démontrer. L'hypothèse de récurrence porte sur un seul rang fixé.

Minoration de $(1+a)^n$ pour un réel $a>0$ ; se démontre par récurrence et donne la limite de $q^n$.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Elle tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Les premiers termes ne pèsent donc rien dans une limite : seul compte le comportement au bout, ce qui explique que les théorèmes du chapitre se contentent d'hypothèses vraies à partir d'un certain rang.

Une suite converge quand elle admet une limite finie, et c'est le seul cas. Tout le reste s'appelle diverger, et recouvre deux situations très différentes : ou bien la suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou bien elle n'a aucune limite, comme $u_n = (-1)^n$ qui alterne entre $-1$ et $1$. Annoncer qu'une suite diverge ne dit donc pas qu'elle part vers l'infini, et dire qu'elle est bornée ne dit pas qu'elle converge.

Ces limites s'utilisent sans démonstration et servent de point de départ à tout calcul. Le rang, ses puissances et sa racine divergent vers $+\infty$, leurs inverses convergent vers $0$. Une suite constante converge vers sa valeur, ce qui sert dans les encadrements.

Les limites se combinent comme les opérations usuelles, sauf quatre formes indéterminées. Pour lever l'indétermination : factoriser par le terme de plus haut degré, ou multiplier par l'expression conjuguée (racines).

Devant une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, on simplifie, puis on conclut avec les limites de référence. Avec $u_n = \dfrac{3n^2 - 5n + 2}{2n^2 + 7}$ et $n \ge 1$ :
$u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \dfrac{7}{n^2}\right)}$
$u_n = \dfrac{3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}}{2 + \dfrac{7}{n^2}}$
Les termes en $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n^2}$ tendent vers $0$ : on écrit que $(u_n)$ converge vers $\dfrac{3}{2}$.

Théorème des gendarmes (encadrement) et théorème de comparaison, valables à partir d'un certain rang.

Dès qu'un terme oscille (un sinus, un cosinus, un $(-1)^n$), on l'encadre par des constantes, on répercute l'encadrement sur le reste de l'expression, puis on vérifie que les deux bornes ont la même limite. Avec $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$ pour $n \ge 1$ :
$-1 \le \sin n \le 1$
$-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}$ car $n > 0$
Les deux bornes tendent vers $0$ : on écrit que, d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers $0$.

La limite de $(q^n)$ dépend de la valeur du réel $q$.

Pour une relation $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \ne 1$, l'énoncé fait poser $v_n = u_n - \ell$, où $\ell$ est la solution de $\ell = a\ell + b$. On montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, on écrit son terme général, puis on revient à $u_n = v_n + \ell$. Avec $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, donc $\ell = 6$ :
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n$
$v_0 = 1 - 6 = -5$, donc $v_n = -5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
$u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, et comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on écrit que $(u_n)$ converge vers $6$.

Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge, sans que le théorème donne la limite. Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.