Dérivation

La pente (ou coefficient directeur) d'une droite indique de combien $y$ augmente quand $x$ avance de $1$. Pour une droite passant par deux points $A$ et $B$ :
1. On repère les abscisses des deux points.
2. On calcule leurs ordonnées (avec $f$ si les points sont sur la courbe).
3. On divise la différence des ordonnées par la différence des abscisses, dans le même ordre.
Avec $f(x) = x^2$ et les points d'abscisses $1$ et $3$ : $f(1) = 1$ et $f(3) = 9$. La sécante (la droite qui coupe la courbe en ces deux points) a pour pente $\dfrac{9 - 1}{3 - 1} = \dfrac{8}{2} = 4$. Ce quotient s'appelle le taux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $3$ ; on dit aussi taux de variation : c'est le même nombre. La carte « Taux d'accroissement et sécantes », un peu plus loin, l'écrit avec $a = 1$ et $h = 2$, car le second point a pour abscisse $a + h = 3$.
Sur la copie : la sécante passant par les points d'abscisses $1$ et $3$ a pour coefficient directeur $4$.

Attention : $f(a+h)$ n'est pas $f(a) + h$. Avec $f(x) = x^2$, $a = 3$ et $h = 1$ : $f(3+1) = f(4) = 16$, alors que $f(3) + 1 = 10$. De même, $x_{n+1}$ n'est pas $x_n + 1$. Pour la valeur absolue : si $h > 0$, $\lvert h \rvert = h$ et $\dfrac{\lvert h \rvert}{h} = 1$ ; si $h < 0$, $\lvert h \rvert = -h$ (par exemple $\lvert -0{,}1 \rvert = 0{,}1$) et $\dfrac{\lvert h \rvert}{h} = -1$.

Pour $h \neq 0$, le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est la pente de la sécante qui joint les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $a$ et $a+h$. Quand $h$ se rapproche de $0$, le second point glisse vers le premier et les sécantes se rapprochent d'une position limite : la tangente au point d'abscisse $a$. Le même taux s'écrit aussi avec deux abscisses $a$ et $x$ : les deux écritures donnent le même nombre dérivé.

On prend $f(x) = x^2$ et $a = 1$, et on calcule le taux d'accroissement $\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}$ pour des $h$ de plus en plus proches de $0$. Par exemple, pour $h = 0{,}1$ : $f(1{,}1) = 1{,}21$, donc le taux vaut $\dfrac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = \dfrac{0{,}21}{0{,}1} = 2{,}1$.



La colonne $h = 2$ est la sécante de pente $4$ de la carte « Rappel : la pente d'une droite, et celle d'une sécante ». Plus $h$ est proche de $0$ (qu'il soit positif ou négatif), plus le taux est proche de $2$ : les sécantes se rapprochent de la tangente au point d'abscisse $1$, dont la pente vaut $2$. Ce nombre s'appellera le nombre dérivé $f'(1)$.
En Python, la liste des pentes des sécantes pour des pas de plus en plus petits :

def f(x):
    return x**2
for h in [1, 0.1, 0.01, 0.001]:
    print(h, round((f(1 + h) - f(1)) / h, 6))

Lorsque le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ admet une limite finie quand $h \to 0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ ; c'est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ : on le lit sur la tangente, pas sur la courbe.
1. On repère deux points de la tangente dont les coordonnées se lisent bien (sur les nœuds du quadrillage).
2. On calcule $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre ces deux points (voir « Rappel : la pente d'une droite, et celle d'une sécante »). Si la tangente est horizontale, $f'(a) = 0$.
Exemple : la tangente au point $A(1\,;2)$ passe aussi par $B(3\,;6)$, donc $f'(1) = \dfrac{6 - 2}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2$.
Pour tracer la tangente au point $C(2\,;5)$ sachant que $f'(2) = -3$ : depuis $C$, on avance de $1$ vers la droite et on descend de $3$, ce qui donne le point $(3\,;2)$ ; on trace la droite qui passe par ces deux points.
Sur la copie : « Par lecture graphique, la tangente passe par $A(1\,;2)$ et $B(3\,;6)$, donc $f'(1) = 2$. »

On veut $f'(a)$ à partir de la définition, sans utiliser les formules de dérivation.
1. On calcule $f(a+h)$ et on développe.
2. On retranche $f(a)$ : les termes constants disparaissent.
3. On factorise par $h$, puis on simplifie le quotient par $h$.
4. On regarde ce qui reste quand $h$ tend vers $0$.
Avec $f(x) = x^2$ et $a = 3$ : $f(3+h) - f(3) = (9 + 6h + h^2) - 9 = 6h + h^2$, donc $\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{h(6 + h)}{h} = 6 + h$. On écrit sur la copie : ce taux tend vers $6$ quand $h$ tend vers $0$, donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3) = 6$.

On cherche $f'(2)$ pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$, avec la carte « Calculer un nombre dérivé avec le taux ». Remplacer $h$ par $0$ tout de suite donnerait $\dfrac{0}{0}$, qui ne veut rien dire : on simplifie d'abord.
1. On écrit la différence : $f(2+h) - f(2) = \dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2}$.
2. On réduit au même dénominateur $2(2+h)$ : $\dfrac{2}{2(2+h)} - \dfrac{2+h}{2(2+h)} = \dfrac{2 - 2 - h}{2(2+h)} = \dfrac{-h}{2(2+h)}$.
3. Diviser par $h$, c'est multiplier par $\dfrac{1}{h}$ : $\dfrac{-h}{2(2+h)} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-1}{2(2+h)}$.
4. Quand $h$ tend vers $0$, le dénominateur $2(2+h)$ tend vers $2 \times 2 = 4$.
Sur la copie : le taux tend vers $-\dfrac{1}{4}$, donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$. On retrouvera ce résultat en une ligne avec la formule de dérivation de la fonction inverse.

Une fonction peut être définie en $a$ sans y être dérivable : il faut en plus que le taux d'accroissement admette une limite finie. Pour $f(x) = |x|$ en $0$, ce taux vaut $\dfrac{|h|}{h}$, c'est-à-dire $1$ quand $h > 0$ et $-1$ quand $h < 0$ : il n'a pas de limite, et la courbe présente un point anguleux, avec deux demi-tangentes de pentes $1$ et $-1$. La fonction racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable non plus : sa tangente y est verticale, et la formule $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ne vaut que sur $]0 ; +\infty[$.

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 0$, on ne peut prendre que $h > 0$ (la racine d'un nombre négatif n'existe pas). Comme $h = \sqrt{h} \times \sqrt{h}$, le taux se simplifie : $\dfrac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$.



Le taux grandit sans fin : il n'a pas de limite finie, donc pas de nombre dérivé en $0$. Sur le dessin, les sécantes se redressent jusqu'à la verticale : la tangente en $0$ est l'axe des ordonnées. Or une droite verticale n'a pas de coefficient directeur : entre deux de ses points, $x$ ne change pas, et on ne peut pas diviser par $0$.
Une demi-tangente est une tangente d'un seul côté du point. Pour $\lvert x \rvert$ en $0$ : à droite de $0$, la courbe suit la droite $y = x$ (pente $1$) ; à gauche, la droite $y = -x$ (pente $-1$).
Sur la copie : le taux $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ n'a pas de limite finie quand $h$ tend vers $0$, donc la racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

On refait le calcul de « Calculer un nombre dérivé avec le taux » avec un nombre $a$ quelconque au lieu de $3$.
Carré : $(a+h)^2 - a^2 = a^2 + 2ah + h^2 - a^2 = h(2a + h)$, donc le taux vaut $2a + h$, qui tend vers $2a$. Ainsi $f'(a) = 2a$ pour tout réel $a$ : $f'(3) = 6$, $f'(1) = 2$, $f'(-2) = -4$.
Inverse, pour $a \neq 0$ : $\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \dfrac{-h}{a(a+h)}$, donc le taux vaut $\dfrac{-1}{a(a+h)}$, qui tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$. Avec $a = 2$, on retrouve $-\dfrac{1}{4}$.
À chaque nombre, on associe ainsi son nombre dérivé : c'est une nouvelle fonction, la fonction dérivée, notée $x \mapsto 2x$ pour le carré (on lit « la fonction qui à $x$ associe $2x$ ») et $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ pour l'inverse.
Deux mots employés dans la carte « Fonction dérivée » : une fonction polynôme est une somme de termes de la forme nombre fois puissance de $x$, comme $4x^3 - 5x + 2$ ; une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, comme $\dfrac{2x+1}{x-3}$.

Quand $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$, et la fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$. Il faut distinguer $f'(a)$, qui est un nombre (la pente d'une tangente), et $f'$, qui est une fonction (celle dont on étudiera le signe). Une fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; une fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.

Dérivées des fonctions de référence ; la dérivée d'une constante est nulle.

La formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ vaut pour tout entier relatif $n$, exposants négatifs compris, sur un intervalle qui ne contient pas $0$ lorsque $n < 0$. Pour $n = -1$, on retrouve la dérivée de l'inverse. Le réflexe : réécrire $\dfrac{1}{x^n}$ sous la forme $x^{-n}$ avant de dériver.

Chaque ligne de puissance vient de $(x^n)' = nx^{n-1}$ : pour $n = 1$, on obtient $1 \times x^0 = 1$ ; pour $n = 3$, $3x^2$ ; pour $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, on obtient $-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$.



Une fonction affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ : sa courbe est une droite, qui a la même pente $m$ en chacun de ses points. Par exemple, $(5x - 7)' = 5$.

Règles de dérivation d'une somme, d'un produit et d'un quotient.

On dérive $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ en traitant chaque terme séparément :
$4x^3$ donne $4 \times 3x^2 = 12x^2$ ;
$-5x^2$ donne $-5 \times 2x = -10x$ ;
$7x$ donne $7$ (la pente de la droite d'équation $y = 7x$) ;
$-2$ donne $0$ (une constante ne varie pas).
Donc $f'(x) = 12x^2 - 10x + 7$, puis $f'(1) = 12 - 10 + 7 = 9$.
On dérive d'abord, on remplace ensuite. Remplacer d'abord donnerait $f(1) = 4 - 5 + 7 - 2 = 4$, un simple nombre, dont la dérivée vaut $0$ : c'est faux.
Même geste avec racine et inverse : $g(x) = 6\sqrt{x} + \dfrac{3}{x}$ donne $g'(x) = \dfrac{6}{2\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{3}{\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$.

On dérive $f(x) = (2x+1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ (la racine carrée n'est pas dérivable en $0$).
1. On pose $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \sqrt{x}$, donc $u'(x) = 2$ et $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
2. On applique $u'v + uv'$ : $f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x + 1) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x}}$.
3. On met au même dénominateur $2\sqrt{x}$, en utilisant $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$ : $2\sqrt{x} = \dfrac{2\sqrt{x} \times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x}{2\sqrt{x}}$.
4. On additionne les numérateurs : $f'(x) = \dfrac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.
Cette forme réduite sert à l'étude du signe : sur $]0\,;+\infty[$, numérateur et dénominateur sont strictement positifs, donc $f'(x) > 0$. La carte « Dérivée et sens de variation », plus loin, dira ce que ce signe apprend sur $f$.
Sur la copie : les lignes $u$, $u'$, $v$, $v'$, puis la formule, puis le calcul réduit.

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : avec $f(x) = x \times x = x^2$, la dérivée vaut $2x$, alors que le produit des dérivées donnerait $1 \times 1 = 1$. Même avertissement pour le quotient : ce n'est pas $\dfrac{u'}{v'}$. Dans la formule du quotient, l'ordre compte : le terme $u'v$ vient en premier et le signe moins porte sur $uv'$ ; on divise par $v^2$, jamais par $v$.

On dérive $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{x - 2}$ sur $]2\,;+\infty[$ (le dénominateur s'annule en $2$).
1. On pose $u(x) = x^2 - 3$ et $v(x) = x - 2$, donc $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
2. On remplace dans $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ en gardant des parenthèses : $f'(x) = \dfrac{2x(x - 2) - (x^2 - 3) \times 1}{(x - 2)^2}$.
3. On développe le numérateur ; le signe moins porte sur tout $u$ : $2x^2 - 4x - x^2 + 3 = x^2 - 4x + 3$.
4. On ne développe pas le dénominateur : $(x - 2)^2$ est un carré, donc positif, ce qui servira pour étudier le signe.
Donc $f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$. Sans parenthèses, on aurait écrit $-x^2 - 3$ au lieu de $-x^2 + 3$, et tout le résultat serait faux.
Sur la copie : les lignes $u$, $u'$, $v$, $v'$, puis la formule remplacée avec ses parenthèses, puis le numérateur réduit.

Pour l'inverse, la fonction $v$ ne doit pas s'annuler sur l'intervalle considéré. La règle de la composée affine n'est pas exigée en Première (elle l'est en Terminale), mais elle fait gagner du temps : on dérive la fonction extérieure en $ax+b$, puis on multiplie par le coefficient $a$ placé devant $x$. Avec $g(x) = \sqrt{x}$, la dérivée de $x \mapsto \sqrt{3x+1}$ vaut $\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;+\infty\right[$. Sans cette règle, on développe d'abord quand c'est possible : $(2x+1)^2 = 4x^2+4x+1$ a pour dérivée $8x+4$.

1. On simplifie si c'est possible : $x(x+1)$ se développe en $x^2 + x$, qui se dérive sans formule du produit.
2. On repère la dernière opération qu'on ferait pour calculer une image à la calculatrice : c'est elle qui choisit la formule (tableau ci-dessous).
3. On écrit $u$, $v$, $u'$ et $v'$ sur des lignes séparées, avant d'appliquer la formule.
Avec $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ : pour calculer $f(2)$, on fait $2^2 + 1 = 5$, puis on finit par $1$ divisé par $5$. C'est donc un inverse $\dfrac{1}{v}$ avec $v(x) = x^2 + 1$ (qui ne s'annule jamais) et $v'(x) = 2x$, d'où $f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$.
Sur la copie : « $f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ avec $v(x) = x^2 + 1$ », puis $v'$, puis la formule.

Un taux de variation est une variation moyenne ; le nombre dérivé est une variation instantanée.
Vitesse : un objet a parcouru $d(t) = 5t^2$ mètres au bout de $t$ secondes. Entre $t = 2$ et $t = 4$, sa vitesse moyenne vaut $\dfrac{d(4) - d(2)}{4 - 2} = \dfrac{80 - 20}{2} = 30$ m/s. Sa vitesse instantanée à l'instant $t = 2$ est $d'(2)$ : comme $d'(t) = 10t$, elle vaut $20$ m/s (ce qu'afficherait un compteur à cet instant).
Coût : fabriquer $q$ objets coûte $C(q) = q^2 + 10q + 50$ euros. Le coût marginal pour $q = 20$ est $C'(20)$ : comme $C'(q) = 2q + 10$, il vaut $50$ euros. Il donne une valeur approchée du coût du vingt et unième objet, qui vaut exactement $C(21) - C(20) = 701 - 650 = 51$ euros.
On répond toujours avec l'unité et une phrase qui replace le nombre dans le contexte.

Équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

La tangente au point $A(a\,;f(a))$ est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$. Comme toute droite non verticale, elle a une équation $y = mx + p$, ici avec $m = f'(a)$.
1. $A$ est sur la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $f(a) = f'(a) \times a + p$, d'où $p = f(a) - f'(a)\,a$.
2. On remplace $p$ : $y = f'(a)\,x + f(a) - f'(a)\,a$.
3. On factorise par $f'(a)$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Avec $f(x) = x^2$ en $a = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$, donc $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$. Contrôle : pour $x = 3$, on trouve $y = 18 - 9 = 9$, qui est bien $f(3)$.
À retenir : dans la formule, $f'(a)$ est la pente et $f(a)$ est l'ordonnée du point de contact.

On demande la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
1. On calcule $f(a)$.
2. On calcule l'expression de $f'(x)$ avec les formules de dérivation, puis $f'(a)$.
3. On remplace dans la formule, puis on réduit.
Avec $f(x) = x^2 - 3x + 1$ et $a = 2$ : $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$, $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 4 - 3 = 1$, d'où $y = 1 \times (x - 2) + (-1) = x - 3$. On écrit sur la copie : la tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = x - 3$. Contrôle rapide : pour $x = 2$, cette droite donne $y = -1$, qui est bien $f(2)$.

Près du point d'abscisse $a$, la courbe se confond presque avec sa tangente : pour $h$ proche de $0$, $f(a + h)$ est proche de $f(a) + f'(a)h$. La fonction affine $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ en $a$, et l'erreur commise devient négligeable devant $h$ quand $h$ se rapproche de $0$. Avec $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$ : $f(4) = 2$ et $f'(4) = \dfrac{1}{4}$, donc $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \dfrac{1}{4} \times 0{,}1 = 2{,}025$, pour une valeur exacte d'environ $2{,}0248$.

Pour approcher une solution de $f(x) = 0$, on remplace la courbe par sa tangente, et l'on prend le point où cette tangente coupe l'axe des abscisses ; puis on recommence à partir de ce point.
1. Choisir une valeur de départ $x_0$ proche de la solution.
2. Calculer $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, l'abscisse où la tangente au point d'abscisse $x_n$ coupe l'axe.
3. Répéter : dans les cas favorables, le nombre de décimales exactes double presque à chaque étape.
Avec $f(x) = x^2 - 2$ et $x_0 = 1$ : $x_1 = 1{,}5$, $x_2 \approx 1{,}4167$ et $x_3 \approx 1{,}41422$, valeur approchée de $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

$f'(x)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $x$. Si, sur un intervalle, toutes les tangentes ont une pente positive, la courbe monte, comme une route qui grimpe en chacun de ses points ; si elles ont toutes une pente négative, la courbe descend.
Avec $f(x) = x^2$ et $f'(x) = 2x$ :



On retrouve ce qu'on sait depuis la Seconde : la fonction carré décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$. En $0$, la courbe cesse de descendre et commence à monter : la tangente y est horizontale et $f'(0) = 0$. C'est général : pour une fonction dérivable, en un extremum (maximum ou minimum) qui n'est pas une borne de l'intervalle, le nombre dérivé vaut $0$. La phrase lue à l'envers, « si $f'(c) = 0$, alors il y a un extremum en $c$ », s'appelle la réciproque : elle est fausse (carte « Dérivée nulle ne veut pas dire extremum »).

Sur un intervalle $I$ : si $f' \ge 0$, $f$ est croissante ; si $f' \le 0$, $f$ est décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $c$, alors $f$ admet un extremum local en $c$ : un maximum ou un minimum sur un intervalle autour de $c$, pas forcément sur tout l'ensemble de définition.

Ces énoncés valent sur un intervalle $I$, jamais sur une réunion d'intervalles. Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en quelques points isolés où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; si $f'$ est nulle sur $I$ tout entier, alors $f$ est constante sur $I$. La fonction inverse montre pourquoi l'hypothèse compte : sa dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$ est strictement négative en tout point où elle est définie, pourtant la fonction n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$, mais seulement sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$ séparément.

On étudie $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ sur $\mathbb{R}$.
1. On dérive : $f'(x) = -4x + 8$, une expression affine.
2. On résout $f'(x) > 0$ : $-4x + 8 > 0$, puis $-4x > -8$, puis $x < 2$ ; de même $f'(x) < 0$ pour $x > 2$. En divisant par $-4$, un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
3. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$ et décroissante sur $[2\,;+\infty[$, avec un maximum en $2$ égal à $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$.
4. On contrôle avec le signe de $a$ : ici $a = -2 < 0$, la parabole est tournée vers le bas et son sommet est un maximum (avec $a > 0$, elle serait tournée vers le haut, avec un minimum). L'abscisse du sommet vaut aussi $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{-4} = 2$.
Sur la copie : $f$ admet sur $\mathbb{R}$ un maximum égal à $5$, atteint en $x = 2$.

On cherche le signe du produit $x(x - 1)(x + 1)$, qu'on retrouvera dans la carte « Étudier la position relative de deux courbes ».
1. On cherche où chaque facteur s'annule : $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$. On range ces valeurs dans l'ordre croissant sur la première ligne.
2. Une ligne par facteur. Un facteur affine $mx + p$ a le signe de $m$ à droite de la valeur où il s'annule, le signe contraire à gauche. Ici $m = 1$ pour les trois facteurs : $-$ puis $+$.
3. Dernière ligne : la règle des signes, colonne par colonne. Un nombre pair de signes $-$ donne $+$, un nombre impair donne $-$.



Sur la copie : le tableau, puis « le produit est strictement positif sur $]-1\,;0[$ et sur $]1\,;+\infty[$ ».

On veut les variations d'une fonction sur un intervalle.
1. On dérive, puis on factorise $f'$.
2. On étudie le signe de $f'$ dans un tableau.
3. On reporte les flèches et on calcule les valeurs remarquables aux points où le signe change.
Avec $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$, donc $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; -1[$ et sur $]3 ; +\infty[$, et $f'(x) < 0$ sur $]-1 ; 3[$. Avec $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ et $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$, on écrit sur la copie : $f$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 3]$, croissante sur $[3 ; +\infty[$, avec un maximum local égal à $10$ en $-1$ et un minimum local égal à $-22$ en $3$.

On reprend $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ de la carte « Dresser un tableau de variations », avec $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
1. Racines de $f'$ : $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144 = 12^2$, donc $x_1 = \dfrac{6 - 12}{6} = -1$ et $x_2 = \dfrac{6 + 12}{6} = 3$.
2. Signe : un trinôme a le signe de $a$ (ici $3$, positif) à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.
3. On remplit le tableau ci-dessous, avec $f(-1) = 10$ et $f(3) = -22$ au bout des flèches.
Un extremum est un maximum ou un minimum. Ici $10$ est un maximum local : la plus grande valeur de $f$ près de $-1$, mais pas sur tout $\mathbb{R}$, puisque $f(6) = 59$. De même, $-22$ est un minimum local.