Développée, factorisée : deux formes d'une même expression
01
Une expression est sous forme développée quand elle est écrite comme une somme de termes, et sous forme factorisée quand elle est écrite comme un produit.
Développer, c'est passer du produit à la somme ;
factoriser, c'est le trajet inverse.
Réduire vient toujours après avoir développé : on regroupe les termes de même nature.
La distributivité vue en Quatrième reste l'outil de base.
À retenir
k(a+b)=ka+kb
lue de gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise
forme factoriseˊe(x+3)(x+4)=forme deˊveloppeˊex2+7x+12
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Propriété
La double distributivité
02
Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde : cela fait quatre produits, chacun avec son signe.
C'est la nouveauté de l'année, la Quatrième s'étant arrêtée à un seul facteur devant la parenthèse.
On développe d'abord, on réduit ensuite.
À retenir
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Méthode
Développer puis réduire : la rédaction attendue
03
Sur une copie, on écrit d'abord les quatre produits sans rien réduire
Puis : on réduit sur la ligne suivante.
Deux lignes, deux étapes : sauter la première fait perdre le point de méthode, et c'est là que naissent les erreurs de signe.
Le nom de l'expression est rappelé à gauche du signe égal à chaque ligne.
À retenir
A=(5x−1)(3x+3)
l'expression de départ, sous forme factorisée
A=15x2+15x−3x−3
Formulaire
Les trois identités remarquables
04
Ce sont trois développements de double distributivité que l'on connaît par cœur, parce qu'ils reviennent trop souvent pour être refaits à chaque fois.
Elles servent dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser.
Elles sont à savoir écrire sans hésiter en question de cours.
À retenir
(a+b)2=a2+2ab+b2
Propriété
D'où vient le carré d'une somme
05
(a+b)2 n'est qu'un produit :
c'est (a+b)(a+b)
La double distributivité donne a2+ab+ba+b2, et les deux produits croisés, égaux entre eux, se regroupent en 2ab.
Propriété
Le carré d'une différence
06
Même calcul avec un signe moins :
(a−b)(a−b) donne a2−ab−ba+b2
Propriété
La différence de deux carrés
07
Dans (a+b)(a−b), les deux produits croisés sont opposés :
+ab et −ab s'annulent
Il ne reste que a2−b2, deux termes seulement.
Piège
Piège : le double produit oublié
08
Un carré ne se distribue pas sur une somme : (a+b)2 n'est pas a2+b2, il manque le terme 2ab.
Piège
Piège : le moins devant une parenthèse
09
Quand on soustrait une expression développée, on change tous les signes de la parenthèse, pas seulement le premier.
La méthode sûre : développer chaque morceau en le gardant entre parenthèses, puis supprimer les parenthèses en changeant les signes du second.
C'est ici que se perdent le plus de points.
À retenir
B=(3x+1)2−(2x−3)2=(9x2+6x+1)−(4x2−12x+9)
Méthode
Factoriser : le facteur commun est une parenthèse
10
Avant de développer quoi que ce soit, on regarde si la même parenthèse figure dans les deux termes.
On la met alors en facteur, et ce qui reste s'écrit dans un crochet que l'on réduit ensuite.
Le crochet évite de mélanger les deux niveaux de parenthèses.
À retenir
C=(5x−1)(3x+3)−(5x−1)(6x+3)
Exemple
Un carré cache un facteur commun
11
(3x−5)2 est un produit :
c'est (3x−5)(3x−5)
Dans (3x−5)2−(3x−5)(5x−3), la parenthèse (3x−5) est donc bien présente dans les deux termes.
Méthode
Factoriser avec une identité reconnue à l'envers
12
Quand une expression est une différence dont les deux termes sont des carrés, on écrit chacun sous la forme d'un carré
Puis : on applique la troisième identité de droite à gauche.
Le premier carré peut être une parenthèse : on réduit alors chacun des deux facteurs obtenus.
À retenir
a2−b2=(a+b)(a−b)
Méthode
Vérifier : redévelopper, ou tester un nombre
13
Une factorisation se contrôle en redéveloppant : on doit retomber exactement sur l'expression de départ.
On peut aussi tester un nombre : les deux formes doivent donner la même image.
Pour calculer f(−1), on remplace x par −1entre parenthèses, dans la forme la plus commode.
À retenir
(4x+6)(4x−6)=16x2−24x+24x−36=16x2−36
Propriété
L'équation produit
14
C'est la phrase à savoir réciter : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Elle transforme une équation où x apparaît au carré en deux équations du premier degré, que l'on sait résoudre depuis la Quatrième.
Elle ne s'applique que si un membre est un produit et l'autre zéro.
À retenir
A×B=0si et seulement siA=0 ou B=0
Méthode
Résoudre une équation produit : la rédaction
15
On cite la règle, on pose les deux équations côte à côte, on résout chacune comme en Quatrième
Puis : on conclut par une phrase.
Si l'équation n'est pas déjà un produit, on la factorise d'abord : on ne développe surtout pas.
À retenir
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
la phrase à écrire avant de séparer les deux cas
x−3=0ou2x+8=0
Piège
Piège : la règle ne vaut que pour zéro
16
La règle parle d'un produit égal à zéro, et de rien d'autre.
Devant (x−2)(x+5)=8, on n'a pas le droit d'écrire x−2=8
Car : 8 se décompose en produit d'une infinité de façons.
Définition
Les antécédents de 0 par une fonction
17
Quand l'expression porte un nom de fonction, résoudre f(x)=0 et chercher les antécédents de 0 par f sont exactement la même question, posée avec deux vocabulaires.
La réponse est la même liste de nombres, et la méthode aussi : factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.
À retenir
f(x)=0si et seulement sixest un anteˊceˊdent de 0 par f
Exemple
Le programme de calcul qui donne un carré
18
Un programme de calcul se traduit en partant de x, ligne par ligne.
Celui-ci mène à 9x2+30x+25, que l'on reconnaît comme (3x+5)2 : le résultat est donc toujours le carré d'un nombre entier quand on part d'un entier.
Exercices d'application
Exercice 1
Développer avec la double distributivité
Rappel de la règle : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. Chacun des deux termes de la première parenthèse multiplie chacun des deux termes de la seconde, ce qui donne quatre produits.
1. Développe puis réduis les quatre expressions suivantes. Écris la ligne des quatre produits avant de réduire.
A=(x+3)(x+7)
B=(2x−1)(3x+4)
C=(5x−2)(x−3)
D=(3x+4)(3x−4)
2. Vérifie ton développement de B pour x=1 : calcule la valeur de l'expression de départ, puis celle de l'expression réduite.
3. Léa écrit (2x+5)(3x+1)=6x2+5. Explique en une phrase ce qu'elle a oublié, puis donne le développement correct.
4. Développe aussi le produit (3x+4)(3x+4). Compare son résultat avec celui de D : que deviennent, dans chacun des deux cas, les deux produits du milieu ?
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un produit et une somme, mais un seul et même nombre pour chaque valeur de x
quatre produits : le premier terme avec les deux de droite, puis le second
(x+2)(x+5)=x2+5x+2x+10=x2+7x+10
les deux termes du milieu se regroupent à la réduction
(2x−3)(x−4)=2x2−8x−3x+12=2x2−11x+12
chaque signe voyage avec son terme, le produit de deux négatifs est positif
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
les quatre produits, écrits avant toute réduction
A=15x2+12x−3
seuls les termes en x se regroupent, le carré et le nombre restent seuls
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
le carré d'une somme : trois termes, dont le double produit
(a−b)2=a2−2ab+b2
le carré d'une différence : seul le double produit change de signe
(a+b)(a−b)=a2−b2
le seul des trois dont le résultat n'a que deux termes
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Le découpage d'un carré de côté a+b montre la même chose : deux carrés et deux rectangles identiques.
À retenir
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
le double produit vient des deux rectangles identiques
(3x+1)2=9x2+6x+1
ici a vaut 3x et b vaut 1, le double produit est deux fois 3x fois 1
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Seul le double produit est négatif : le dernier terme, lui, vient de (−b)×(−b), produit de deux facteurs identiques
Donc : positif.
Écrire −b2 à la fin est la faute la plus fréquente sur cette identité.
À retenir
(a−b)2=a2−2ab+b2
le terme en b au carré est toujours positif
(3x−5)2=9x2−30x+25
a vaut 3x et b vaut 5, le double produit fait deux fois 3x fois 5
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
C'est celle des trois que l'on reconnaît le plus souvent à l'envers : dès qu'une expression est une différence de deux carrés, elle se factorise.
À retenir
(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2
les deux termes du milieu disparaissent
(4x+6)(4x−6)=16x2−36
a vaut 4x, et son carré vaut 16x2 : le 4 passe au carré lui aussi
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Un essai avec deux nombres suffit à s'en convaincre, et c'est ce test qu'il faut avoir en tête au moment d'écrire.
À retenir
aˋ ne pas eˊcrire : (a+b)2=a2+b2
l'erreur nommée : le double produit a disparu
(3+4)2=72=49alors que32+42=25
(3+4)2=32+2×3×4+42=9+24+16=49
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
on garde la parenthèse tant que les signes n'ont pas été changés
B=9x2+6x+1−4x2+12x−9=5x2+18x−8
les trois signes du second morceau changent, y compris celui du terme en x
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
le facteur commun est la parenthèse 5x moins 1
C=(5x−1)[(3x+3)−(6x+3)]
on met en facteur, tout le reste va dans le crochet
C=(5x−1)(3x+3−6x−3)=−3x(5x−1)
on soustrait tout le second facteur, et le crochet se réduit à un seul terme
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On l'écrit une fois devant, et ce que le carré laisse dans le crochet, c'est une copie de lui-même.
À retenir
D=(3x−5)2−(3x−5)(5x−3)=(3x−5)[(3x−5)−(5x−3)]
le carré fournit le facteur commun et laisse une copie dans le crochet
D=(3x−5)(3x−5−5x+3)=(3x−5)(−2x−2)
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
l'identité lue de droite à gauche : une différence, jamais une somme
16x2−36=(4x)2−62=(4x+6)(4x−6)
on écrit d'abord les deux carrés, l'identité vient ensuite
(5x−7)2−25=(5x−7)2−52=(5x−2)(5x−12)
on ajoute 5 dans un facteur, on l'enlève dans l'autre, puis on réduit
ni x2+9 ni x2−3 ne se factorisent en Troisieˋme
une somme ne se factorise pas ainsi, et 3 n'est pas un carré
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
on retrouve le départ : la factorisation est juste
f(x)=16x2−36;f(−1)=16×(−1)2−36=−20
les parenthèses autour du nombre négatif sont obligatoires
f(−1)=(4×(−1)+6)(4×(−1)−6)=2×(−10)=−20
la forme factorisée donne la même image, comme prévu
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
la règle du cours, dans les deux sens
(x−3)(2x+8)=0 donne x−3=0 ou 2x+8=0
deux équations du premier degré, à résoudre séparément
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
les deux équations posées côte à côte, chacune sa colonne
x=3oux=−4
il y a donc deux solutions : 3 et moins 4
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Second réflexe à corriger : quand le second membre n'est pas nul, on ne garde pas la forme factorisée telle quelle.
On développe alors, on ramène tout d'un côté pour retrouver un zéro
Puis : on refactorise : c'est ce que fait l'exercice 6 avec (y+4)(y−4)=65.
À retenir
aˋ ne pas eˊcrire : (x−2)(x+5)=8⇒x−2=8
l'erreur nommée : la règle exige un zéro dans le second membre
(x−2)(x+5)=0⇒x−2=0 ou x+5=0
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
deux façons de poser la même question
f(x)=(x−3)(2x+8):les anteˊceˊdents de 0 sont 3 et −4
les solutions de l'équation, simplement renommées
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Les essais font deviner la conjecture, seule la forme factorisée la démontre.
À retenir
x→9x→9x+30→(9x+30)×x→9x2+30x+25
chaque ligne du programme traduite en x, la parenthèse étant obligatoire
9x2+30x+25=(3x)2+2×3x×5+52=(3x+5)2
pour x=2:9×4+60+25=121=112
un essai ne prouve rien, mais il vérifie
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Voir le corrigé
1.
Dans chaque cas, on écrit d'abord les quatre produits, chacun avec son signe
Puis : on réduit.
Expression $A$.
A=(x+3)(x+7)
A=x×x+x×7+3×x+3×7
A=x2+7x+3x+21
Les deux termes en x se regroupent :
7x+3x=10x
A=x2+10x+21.
Expression $B$.
B=(2x−1)(3x+4)
Le second terme de la première parenthèse est −1 : c'est lui, avec son signe, qui multiplie.
B=2x×3x+2x×4+(−1)×3x+(−1)×4
B=6x2+8x−3x−4
B=6x2+5x−4.
Expression $C$.
C=(5x−2)(x−3)
C=5x×x+5x×(−3)+(−2)×x+(−2)×(−3)
C=5x2−15x−2x+6
C=5x2−17x+6.
Attention au dernier produit :
(−2)×(−3)=+6
Car : deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
Expression $D$.
D=(3x+4)(3x−4)
D=3x×3x+3x×(−4)+4×3x+4×(−4)
D=9x2−12x+12x−16
Les deux termes du milieu sont opposés :
−12x+12x=0
D=9x2−16.
2.
Vérification de B pour x=1.
Expression de départ :
(2×1−1)(3×1+4)=1×7=7
Expression réduite :
6×12+5×1−4=6+5−4=7
Les deux calculs donnent 7.
Une vérification ne démontre pas le développement, mais un essai qui ne colle pas signale à coup sûr une erreur.
3.
Léa n'a écrit que deux produits sur quatre : celui des deux premiers termes, 2x×3x=6x2, et celui des deux derniers, 5×1=5.
Elle a oublié les deux produits croisés 2x×1 et 5×3x.
(2x+5)(3x+1)=2x×3x+2x×1+5×3x+5×1
=6x2+2x+15x+5
=6x2+17x+5
Contrôle pour x=1 : l'expression de départ vaut 7×4=28, et 6+17+5=28, alors que la réponse de Léa donnerait 11.
4.
Développons (3x+4)(3x+4).
(3x+4)(3x+4)=9x2+12x+12x+16=9x2+24x+16
Comparaison des deux situations.
Dans D=(3x+4)(3x−4), les deux produits du milieu sont opposés (−12x et +12x) : ils se suppriment, et il ne reste que 9x2−16, c'est-à-dire une différence de deux carrés.
Dans (3x+4)(3x+4), les deux produits du milieu sont égaux (+12x et +12x) : ils s'ajoutent et donnent le double 24x.
Les réponses sont donc A=x2+10x+21,B=6x2+5x−4,C=5x2−17x+6,D=9x2−16, et (3x+4)(3x+4)=9x2+24x+16.
Exercice 2
Les trois identités remarquables
1. Question de cours. Recopie et complète les trois identités remarquables, valables pour deux nombres a et b quelconques.
(a+b)2=…
(a−b)2=…
(a+b)(a−b)=…
2. Développe et réduis les quatre expressions suivantes. Pour chacune, précise l'identité utilisée et ce que valent a et b.
E=(x+8)2
F=(3x−5)2
G=(4x+7)(4x−7)
H=(10−3x)2
3. Les identités servent aussi à calculer de tête. Calcule 1012, puis 99×101, en écrivant à chaque fois l'identité utilisée.
4. Tom écrit (x+6)2=x2+36. Trouve un nombre qui prouve que son égalité est fausse, puis écris le développement correct et nomme le terme qu'il a oublié.
Voir le corrigé
1.
Les trois identités du cours.
(a+b)2=a2+2ab+b2
Exercice 3
Facteur commun ou identité remarquable ?
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. Deux outils sont possibles : mettre en évidence un facteur commun, qui peut être une parenthèse entière, ou reconnaître une identité remarquable lue de droite à gauche.
1. Pour chacune des quatre expressions, indique l'outil à utiliser : facteur commun (lequel ?) ou identité remarquable (laquelle ?). Ne calcule pas encore.
A=(5x−1)(3x+3)−(5x−1)(6x+3)
B=16x2−36
C=(4x−1)2−(4x−1)(3x+1)
D=(5x−7)2−25
2. Factorise les quatre expressions. Pour A et C, écris le crochet avant de le réduire.
3. Vérifie ta factorisation de B en développant le produit obtenu.
4. Développe et réduis A, puis calcule la valeur de A pour x=2 de deux façons : avec la forme factorisée, puis avec la forme développée.
Voir le corrigé
1.
Le repérage, avant tout calcul.
A : les deux termes sont des produits, et tous les deux contiennent la parenthèse (5x−1).
Le facteur commun est (5x−1).
B : c'est une différence de deux carrés
Exercice 4
Factoriser pour résoudre : les antécédents de 0
On considère les trois expressions suivantes, définies pour tout nombre x :
f(x)=(2x−6)(x+4)
g(x)=9x2−49
h(x)=(x+5)2−(x+5)(3x−1)
La règle du cours : un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
1. Résous f(x)=0. Écris les deux équations du premier degré, résous-les l'une après l'autre, puis conclus par une phrase.
2. Vérifie tes deux solutions en calculant f(3) et f(−4).
3. Factorise g(x), puis détermine les antécédents de 0 par g.
4. Factorise h(x), puis résous h(x)=0.
5. Développe f(x). Explique alors, en une ou deux phrases, pourquoi développer est ici le mauvais chemin pour résoudre f(x)=0.
Voir le corrigé
1.
L'expression f(x) est déjà un produit de deux facteurs :
(2x−6) et (x+4)
(2x−6)(x+4)=0
Exercice 5
Un programme de calcul : conjecturer, puis démontrer
Voici un programme de calcul.
Choisir un nombre Multiplier le tout par 4 Ajouter 12 Multiplier le tout par le nombre de départ Ajouter 9
1. Applique ce programme au nombre 1, puis au nombre 2, puis au nombre 5. Écris le détail de chaque étape.
2. Que remarques-tu sur les trois résultats obtenus ? Formule une conjecture.
3. On appelle x le nombre choisi au départ. Traduis chaque étape par une expression littérale, puis développe et réduis la dernière.
4. Reconnais une identité remarquable dans l'expression obtenue et écris-la sous la forme d'un carré. Ta conjecture est-elle démontrée ?
5. Marion a écrit dans Scratch le script ci-dessous, qui applique le même programme au nombre 10. Sans dérouler les blocs un à un, prévois ce que le lutin dira, et explique comment la forme factorisée permet de le trouver.
6. Ce programme peut-il donner 0 ? Écris l'équation correspondante et résous-la. Peut-il donner un résultat négatif ? Justifie ta réponse.
Voir le corrigé
1.
Les trois essais, étape par étape.
Avec 1 :
1×4=4
Puis :
4+12=16
Puis :
16×1=16
Exercice 6
Le jardin de Marc : autant d'un côté, autant de l'autre ?
Le jardin de Marc est un carré de côté x mètres, où x est un nombre supérieur à 4.
Marc décide de le modifier : il allonge un côté de 4 mètres, puis il raccourcit de 4 mètres le côté perpendiculaire. Son jardin devient donc un rectangle de longueur x+4 mètres et de largeur x−4 mètres.
Marc affirme : « Mon jardin a toujours la même aire, puisque ce que j'ajoute d'un côté, je l'enlève de l'autre. »
1. Exprime en fonction de x l'aire du jardin carré, puis l'aire du nouveau jardin sous la forme d'un produit. Développe ensuite ce produit à l'aide d'une identité remarquable.
2. Marc a-t-il raison ? Rédige une réponse qui compare les deux aires et qui précise, s'il y a lieu, de combien l'aire a changé.
3. Calcule les deux aires pour x=20, puis pour x=7. Tes résultats confirment-ils la réponse de la question 2 ?
4. Le voisin de Marc a transformé son jardin de la même façon : il est parti d'un carré de côté y mètres, avec y supérieur à 4, et son rectangle a une aire de 65 mètres carrés. Traduis cette phrase par une équation, ramène-la à une équation produit, puis résous-la. Combien mesurait le côté du carré de départ ?
5. On oublie un instant la condition « x supérieur à 4 ». Résous l'équation (x+4)(x−4)=0, puis explique pourquoi aucune de ses deux solutions ne convient à la situation de Marc.
Voir le corrigé
1.
Le jardin de départ est un carré de côté x mètres : son aire vaut x×x, c'est-à-dire x2 mètres carrés.
Le nouveau jardin est un rectangle de longueur x+4 et de largeur x−4 : son aire s'écrit (x+4)(x−4) mètres carrés.
le crochet réduit donne un facteur du premier degré
avec zéro à droite, et seulement là, la règle s'applique
on contrôle le double produit avant de conclure
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a+b)(a−b)=a2−b2
Chacune se retrouve par une double distributivité.
Par exemple (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2, et les deux produits croisés, égaux, donnent 2ab.
La figure du corrigé en donne la lecture par les aires : le carré de côté a+b se découpe en un carré d'aire a2, deux rectangles d'aire ab chacun et un carré d'aire b2.
2.
Les quatre développements.
E=(x+8)2 : première identité, avec a=x et b=8.
E=x2+2×x×8+82
E=x2+16x+64
F=(3x−5)2 : deuxième identité, avec a=3x et b=5.
F=(3x)2−2×3x×5+52
F=9x2−30x+25
Attention à (3x)2 : le carré porte sur le facteur 3 comme sur la lettre
Donc :
(3x)2=9x2, et non 3x2
G=(4x+7)(4x−7) : troisième identité, avec a=4x et b=7.
G=(4x)2−72
G=16x2−49
H=(10−3x)2 : deuxième identité, avec cette fois a=10 et b=3x
Car : c'est 10 qui est écrit en premier.
H=102−2×10×3x+(3x)2
H=100−60x+9x2
3.
Calcul de 1012.
On écrit 101=100+1 et on utilise la première identité, avec a=100 et b=1.
1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12=10000+200+1
1012=10201
Calcul de 99×101.
On écrit 99=100−1 et 101=100+1, ce qui donne la troisième identité, avec a=100 et b=1.
99×101=(100−1)(100+1)=1002−12=10000−1
99×101=9999
4.
Essayons x=1.
D'un côté :
(1+6)2=72=49
De l'autre :
12+36=1+36=37
Comme 49=37 : l'égalité de Tom est fausse : un seul contre-exemple suffit à le prouver.
Le développement correct est
(x+6)2=x2+2×x×6+62=x2+12x+36
Tom a oublié le double produit2×x×6=12x.
Le carré d'une somme n'est jamais la somme des carrés.
Car :
16x2=(4x)2 et 36=62
C'est la troisième identité, lue à l'envers.
C : le premier terme est (4x−1)2=(4x−1)(4x−1)
Donc : les deux termes contiennent (4x−1).
Le facteur commun est (4x−1).
D : c'est encore une différence de deux carrés, celui de la parenthèse (5x−7) et celui de 5, puisque 25=52.
C'est la troisième identité.
2.
Les quatre factorisations.
Expression $A$.
On met (5x−1) en facteur et on garde le reste dans un crochet.
A=(5x−1)[(3x+3)−(6x+3)]
On réduit le crochet, en changeant les deux signes de la parenthèse retranchée.
(3x+3)−(6x+3)=3x+3−6x−3=−3x
A=(5x−1)×(−3x), que l'on écrit A=−3x(5x−1).
Expression $B$.
On écrit les deux carrés.
B=16x2−36=(4x)2−62
Avec a=4x et b=6 :
a2−b2=(a+b)(a−b)
B=(4x+6)(4x−6).
Expression $C$.
Le facteur commun est (4x−1).
C=(4x−1)[(4x−1)−(3x+1)]
On réduit le crochet :
4x−1−3x−1=x−2
C=(4x−1)(x−2).
Expression $D$.
On écrit les deux carrés, celui de la parenthèse et celui de 5.
D=(5x−7)2−52
Avec a=5x−7 et b=5 :
D=[(5x−7)+5][(5x−7)−5]
On réduit chaque crochet :
5x−7+5=5x−2 et 5x−7−5=5x−12
D=(5x−2)(5x−12).
3.
Vérification de B par développement.
(4x+6)(4x−6)=16x2−24x+24x−36=16x2−36
On retrouve l'expression de départ : la factorisation est juste.
On pourrait encore mettre 2 en facteur dans chaque parenthèse et écrire 4(2x+3)(2x−3), mais la forme attendue ici est celle que donne directement l'identité.
4.
Développement de A.
(5x−1)(3x+3)=15x2+15x−3x−3=15x2+12x−3
(5x−1)(6x+3)=30x2+15x−6x−3=30x2+9x−3
A=(15x2+12x−3)−(30x2+9x−3)
La seconde parenthèse est retranchée : ses trois signes changent.
A=15x2+12x−3−30x2−9x+3
A=−15x2+3x
Contrôle : la forme factorisée redonne bien cette expression, puisque −3x(5x−1)=−15x2+3x.
Valeur pour x=2.
Avec la forme factorisée :
A=−3×2×(5×2−1)=−6×9=−54
Avec la forme développée :
A=−15×22+3×2=−60+6=−54
Les deux chemins donnent −54 : les deux écritures sont bien celles d'une même expression.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul
Donc :
2x−6=0 ou x+4=0
On résout ces deux équations du premier degré séparément.
Premier facteur :
2x−6=0
Donc : 2x=6 en ajoutant 6 aux deux membres
Donc :
x=26=3
Second facteur :
x+4=0
Donc : x=−4 en enlevant 4 aux deux membres.
Il y a donc deux solutions :
3 et −4
2.
Vérification.
f(3)=(2×3−6)(3+4)=0×7=0
f(−4)=(2×(−4)−6)(−4+4)=(−14)×0=0
Dans chaque cas, un des deux facteurs vaut 0
Donc : le produit vaut 0 : les deux solutions sont confirmées.
3.
On reconnaît une différence de deux carrés :
9x2=(3x)2 et 49=72
g(x)=(3x)2−72=(3x+7)(3x−7)
On résout g(x)=0.
(3x+7)(3x−7)=0 donne 3x+7=0 ou 3x−7=0.
Premier facteur :
3x+7=0
Donc :
3x=−7
Donc :
x=−37
Car : −37 est le nombre qui, multiplié par 3, donne −7.
Second facteur :
3x−7=0
Donc :
3x=7
Donc :
x=37
Les antécédents de 0 par g sont donc −37 et 37.
Chercher les antécédents de 0 par g ou résoudre g(x)=0, c'est exactement la même chose : ce sont deux façons de poser la même question.
4.
Dans h(x), les deux termes contiennent la parenthèse (x+5), puisque (x+5)2=(x+5)(x+5).
h(x)=(x+5)[(x+5)−(3x−1)]
On réduit le crochet :
x+5−3x+1=−2x+6
h(x)=(x+5)(−2x+6)
On résout h(x)=0 :
x+5=0 ou −2x+6=0
Premier facteur :
x+5=0
Donc :
x=−5
Second facteur :
−2x+6=0
Donc :
−2x=−6
Donc :
x=−2−6=3
Il y a donc deux solutions :
−5 et 3
Vérification pour x=3 :
h(3)=(3+5)2−(3+5)(3×3−1)=64−8×8=0
5.
En développant, f(x)=(2x−6)(x+4)=2x2+8x−6x−24=2x2+2x−24.
L'équation 2x2+2x−24=0 n'est plus du premier degré : aucune des techniques connues ne s'applique à elle, puisqu'on ne peut pas isoler x.
Seule la forme factorisée permet d'utiliser la règle du produit nul.
C'est pourquoi, devant une équation de ce type, on cherche toujours à factoriser, et jamais à développer.
Puis :
16+9=25
Avec 2 :
2×4=8
Puis :
8+12=20
Puis :
20×2=40
Puis :
40+9=49
Avec 5 :
5×4=20
Puis :
20+12=32
Puis :
32×5=160
Puis :
160+9=169
2.
Les trois résultats sont 25,49 et 169.
Or : 25=52,49=72 et 169=132 : ce sont tous les trois des carrés d'entiers.
Conjecture : en partant d'un nombre entier, ce programme donne toujours le carré d'un entier.
3.
On appelle x le nombre choisi.
Étape 1, choisir un nombre :
x
Étape 2, multiplier le tout par 4 :
4x
Étape 3, ajouter 12 :
4x+12
Étape 4, multiplier le tout par le nombre de départ :
x(4x+12)
La parenthèse est indispensable
Car : c'est la somme entière qui est multipliée.
x(4x+12)=x×4x+x×12=4x2+12x
Étape 5, ajouter 9 :
4x2+12x+9
L'expression du programme est donc P(x)=4x2+12x+9.
4.
On cherche à reconnaître a2+2ab+b2.
Le premier terme est un carré :
4x2=(2x)2
Donc :
a=2x
Le dernier terme est un carré :
9=32
Donc :
b=3
On vérifie le double produit : 2×2x×3=12x, qui est bien le terme du milieu.
P(x)=(2x+3)2
La conjecture est démontrée : quel que soit le nombre choisi, le résultat est le carré de 2x+3.
Et si x est un entier
Alors :
2x+3 est un entier
Donc : le résultat est le carré d'un entier.
On retrouve d'ailleurs les essais de la question 1 : pour x=1,2x+3=5 et le résultat est 52=25 ;
pour x=2,2x+3=7 et le résultat est 49 ;
pour x=5,2x+3=13 et le résultat est 169.
5.
Le script part de 10
Donc :
x=10
2x+3=2×10+3=23
Le résultat est donc 232=529 : le lutin dira 529.
Une fois la forme factorisée obtenue, on répond par un seul calcul, sans repasser par les quatre étapes.
On peut le contrôler en déroulant le script :
10×4=40
Puis :
40+12=52
Puis :
52×10=520
Puis :
520+9=529
6.
Le programme donne 0 lorsque P(x)=0, c'est-à-dire
(2x+3)2=0
Or : (2x+3)2=(2x+3)(2x+3) : c'est un produit de deux facteurs, nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Ici, les deux facteurs sont identiques
Donc : les deux équations à résoudre sont la même.
2x+3=0
Donc :
2x=−3
Donc :
x=−23, c'est-à-dire −1,5
Il y a donc une seule solution :
−1,5
Vérification en déroulant le programme :
−1,5×4=−6
Puis :
−6+12=6
Puis :
6×(−1,5)=−9
Puis :
−9+9=0
Le programme ne peut pas donner de résultat négatif : son résultat s'écrit (2x+3)2, et un carré est toujours positif ou nul.
Le résultat est donc toujours supérieur ou égal à 0, et il ne vaut 0 que pour x=−1,5.
C'est la troisième identité remarquable, avec a=x et b=4.
(x+4)(x−4)=x2−42=x2−16
2.
Marc a tort.
L'aire du carré vaut x2 et celle du rectangle vaut x2−16 : la seconde est plus petite que la première de 16, et cela quelle que soit la valeur de x.
En transformant son jardin, Marc perd donc 16 mètres carrés.
On peut retrouver ce nombre sans développer le produit, en suivant les deux transformations.
En allongeant un côté de 4 mètres, Marc ajoute une bande de 4 mètres de large sur une longueur de x mètres, soit 4x mètres carrés.
En raccourcissant ensuite le côté perpendiculaire de 4 mètres, il retire une bande de 4 mètres de large sur toute la longueur du nouveau côté, qui mesure x+4 mètres, soit 4(x+4)=4x+16 mètres carrés.
Il retire donc 16 mètres carrés de plus qu'il n'en a ajouté.
L'erreur de raisonnement de Marc est là : les 4 mètres ajoutés et les 4 mètres retirés ne portent pas sur des longueurs égales.
3.
Pour x=20.
Aire du carré :
202=400 mètres carrés
Aire du rectangle :
(20+4)(20−4)=24×16=384 mètres carrés
On retrouve 400−16=384.
Pour x=7.
Aire du carré :
72=49 mètres carrés
Aire du rectangle :
(7+4)(7−4)=11×3=33 mètres carrés
On retrouve 49−16=33.
Dans les deux cas, l'écart vaut exactement 16 mètres carrés, comme la question 2 l'annonçait : cet écart ne dépend pas de la taille du jardin.
4.
L'aire du rectangle du voisin vaut (y+4)(y−4), et cette aire vaut 65.
L'équation est donc
(y+4)(y−4)=65
On ne peut pas appliquer ici la règle du produit nul : elle ne vaut que pour un produit égal à 0, et celui-ci vaut 65.
On développe donc le premier membre avec l'identité :
y2−16=65
On enlève 65 aux deux membres pour se ramener à une expression égale à 0 :
y2−16−65=0, c'est-à-dire y2−81=0.
On reconnaît une différence de deux carrés
Car : 81=92 : on factorise pour obtenir une équation produit.
(y+9)(y−9)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
Premier facteur :
y+9=0
Donc :
y=−9
Second facteur :
y−9=0
Donc :
y=9
L'équation a deux solutions, −9 et 9.
Mais y est la longueur du côté d'un carré : c'est un nombre positif, et l'énoncé précise de plus que y est supérieur à 4.
La solution −9 est donc à écarter.
Le carré de départ du voisin mesurait 9 mètres de côté.
Vérification :
(9+4)(9−4)=13×5=65 mètres carrés
5.
L'expression (x+4)(x−4) est déjà un produit.
(x+4)(x−4)=0 donne x+4=0 ou x−4=0, c'est-à-dire x=−4 ou x=4.
Aucune des deux ne convient à la situation.
La solution −4 est un nombre négatif : un côté de carré ne peut pas mesurer −4 mètres.
La solution 4 donnerait une largeur x−4=0 : le rectangle serait aplati, il n'y aurait plus de jardin du tout.
C'est d'ailleurs pourquoi l'énoncé impose x supérieur à 4.
Une équation peut donc avoir des solutions parfaitement correctes du point de vue du calcul, mais impossibles dans la situation concrète : il faut toujours revenir à l'énoncé avant de conclure.
