Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont les côtés de l'angle droit.
Le troisième, celui qui ne touche pas le sommet de l'angle droit, est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.
Dans un triangle rectangle en , les côtés de l'angle droit sont et , et l'hypoténuse est .
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux côtés de l'angle droit.
C'est le repère le plus rapide : le plus grand des trois côtés est l'hypoténuse, et l'angle droit se trouve en face de lui.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Si un triangle est rectangle
Alors : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.
Cette égalité s'appelle l'égalité de Pythagore.
On ne peut l'écrire que dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Le carré construit sur un côté a pour aire le carré de sa longueur.
Le théorème dit alors que les aires des deux petits carrés, mises ensemble, remplissent exactement le grand carré.
Avec les longueurs cm, cm et cm :
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
L'hypoténuse est toujours le côté formé par les deux autres lettres que celle du sommet de l'angle droit.
Si l'angle droit change de sommet, l'égalité change de forme.
On la réécrit à chaque exercice, au lieu de recopier une formule apprise par cœur.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Pour un nombre positif , il existe un seul nombre positif dont le carré vaut : c'est la racine carrée de , notée .
Par définition :
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Les carrés des nombres de à se retiennent : ils donnent la racine carrée sans calculatrice.
La plupart des autres racines ne sont pas des nombres décimaux : , ou ne s'écrivent pas exactement avec des chiffres après la virgule, la calculatrice n'en affiche qu'une valeur approchée.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On connaît les deux côtés de l'angle droit et on cherche l'hypoténuse : on additionne leurs carrés
Puis : on prend la racine carrée du résultat.
Dans rectangle en , avec cm et cm :
L'hypoténuse mesure cm.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse
Puis : on prend la racine carrée.
Dans rectangle en , avec cm et cm :
Le côté mesure cm.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On arrive à et on écrit tout d'un trait , ou bien on répond cm.
La ligne est tentante parce que la longueur cherchée apparaît juste après, et parce qu'on lit la suite de calculs comme une seule phrase.
Mais n'est pas une longueur : c'est l'aire du carré construit sur le côté, et est une égalité fausse.
Le geste : dès qu'une ligne se termine par un carré, on va à la ligne pour prendre la racine.
Une ligne pour , une ligne pour , jamais les deux dans la même chaîne de signes .
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
On additionne les carrés seulement quand le côté cherché est l'hypoténuse.
Dès que le côté cherché est un côté de l'angle droit, on soustrait.
Avec cm et cm, additionner donnerait
Donc : : un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, c'est impossible.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Un résultat se contrôle avant d'être écrit.
Une hypoténuse trouvée doit être plus grande que les deux autres côtés ;
un côté de l'angle droit trouvé doit être plus petit que l'hypoténuse.
Si ce n'est pas le cas, le calcul est faux, presque toujours parce que la somme et la différence ont été confondues.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand la racine carrée ne tombe pas juste, on écrit d'abord la valeur exacte, avec le signe racine, puis une valeur approchée arrondie donnée par la calculatrice.
Devant une valeur approchée, on écrit le signe et jamais le signe .
Dans rectangle en , avec cm et cm :
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Si, dans un triangle, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée
Alors : ce triangle n'est pas rectangle.
On teste toujours l'égalité avec le plus grand côté mis à part
Car : c'est lui qui serait l'hypoténuse : dans où est le plus grand côté, si
Alors :
On s'en sert quand un angle a l'air droit sur la figure mais n'est pas codé.
Elle ne sert qu'à cela : conclure qu'il n'y a pas d'angle droit.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On repère le plus grand côté
Puis : on calcule séparément les deux membres : d'un côté le carré du plus grand côté, de l'autre la somme des carrés des deux autres.
On compare, et on conclut.
Dans avec cm, cm et cm :
Les deux résultats sont différents
Donc :
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Si, dans un triangle, l'égalité de Pythagore est vérifiée
Alors : ce triangle est rectangle.
C'est le seul outil du chapitre qui permet de démontrer qu'un angle est droit.
Une figure qui en a l'air ne prouve rien : seul le calcul décide.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
On repère d'abord le plus grand côté
Car : c'est lui qui serait l'hypoténuse.
On calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres
Puis : on compare.
Dans avec cm, cm et cm :
Les deux résultats sont égaux
Donc :
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand il faut décider si un triangle est rectangle, la copie commence souvent par « D'après le théorème de Pythagore, ».
Le réflexe vient des exercices de calcul, où cette ligne est justement le bon départ.
Ici elle suppose vrai ce que l'on cherche à établir : le théorème direct réclame un angle droit connu d'avance, alors que la réciproque part des trois longueurs.
Le geste : tant que la conclusion n'est pas tirée, aucun signe entre les deux membres.
On calcule la somme des carrés des deux petits côtés sur une ligne, le carré du plus grand côté sur une autre, et on compare seulement à la fin.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand la réciproque permet de conclure, il reste à dire où est l'angle droit : il est toujours opposé au plus grand côté
Donc : au sommet qui n'est pas une extrémité de ce côté.
Dans , le plus grand côté est : l'angle droit est en .
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Une réponse complète suit toujours le même ordre : nommer le triangle et repérer l'angle droit (ou le plus grand côté), annoncer le théorème employé, écrire l'égalité, calculer, puis conclure par une phrase.
On écrit ces étapes même quand le calcul est facile : c'est la rédaction qui est notée.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Le schéma ci-dessous est une image : il montre la figure pour les valeurs de départ.
On repère d'abord le sommet de l'angle droit.
L'hypoténuse est le côté opposé à ce sommet : c'est le seul côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit.
Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.
L'hypoténuse est aussi le plus grand des trois côtés.
Le sommet de l'angle droit est .
Le côté opposé à est :
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Elle sert à remonter d'un carré à une longueur :
Alors :
Les côtés de l'angle droit sont et .
D'après le théorème de Pythagore : l'égalité s'écrit :
Le sommet de l'angle droit est .
Le côté opposé à est :
Les côtés de l'angle droit sont et .
D'après le théorème de Pythagore :
Le sommet de l'angle droit est .
Le côté opposé à est :
Les côtés de l'angle droit sont et .
D'après le théorème de Pythagore :
Dans l'égalité de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est toujours seul dans un membre, et c'est le plus grand des trois carrés.
Écrire pour un triangle rectangle en serait une erreur : cela reviendrait à prendre pour l'hypoténuse alors que ce côté touche le sommet de l'angle droit.
On connaît les deux côtés de l'angle droit et on cherche l'hypoténuse : on additionne les deux carrés
Puis : on prend la racine carrée.
Le triangle est rectangle en
Donc :
D'après le théorème de Pythagore :
est une longueur
Donc : est un nombre positif :
Car :
cm.
Le triangle est rectangle en
Donc :
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
cm.
Le triangle est rectangle en
Donc :
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc : : c'est la valeur exacte.
n'est pas un nombre décimal : on ne peut pas l'écrire exactement avec des chiffres après la virgule.
À la calculatrice, .
cm, soit cm.
Le triangle est rectangle en
Donc :
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc : : c'est la valeur exacte.
À la calculatrice, .
cm, soit cm.
Pour les questions c) et d), on n'écrit pas cm : c'est faux
Car :
On écrit cm, avec le signe .
Dans chaque cas, l'hypoténuse trouvée est bien plus grande que les deux autres côtés :
Ici, la longueur cherchée est un côté de l'angle droit.
On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse
Puis : on prend la racine carrée.
C'est une différence, jamais une somme.
Le triangle est rectangle en
Donc : son hypoténuse est , qui mesure cm.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
cm.
Le triangle est rectangle en
Donc : son hypoténuse est , qui mesure cm.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
cm.
Le triangle est rectangle en
Donc : son hypoténuse est , qui mesure cm.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
cm.
Le triangle est rectangle en
Donc : son hypoténuse est , qui mesure cm.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc : : c'est la valeur exacte.
À la calculatrice, .
cm, soit cm.
Dans la question a), un élève pressé écrit parfois
Puis :
C'est impossible : est un côté de l'angle droit, il ne peut pas être plus grand que l'hypoténuse, qui mesure cm.
Dans la question d), on vérifie de même : , l'hypoténuse reste bien le plus grand côté.
On repère le plus grand côté : si le triangle est rectangle, c'est lui l'hypoténuse.
On calcule ensuite séparément deux nombres : la somme des carrés des deux petits côtés d'un côté, le carré du plus grand côté de l'autre.
Puis : on compare.
Le plus grand côté est .
On constate que : l'égalité de Pythagore est vérifiée.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au plus grand côté
Donc : le triangle est rectangle en .
Le plus grand côté est .
On constate que : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle n'est pas rectangle.
Le plus grand côté est .
On constate que : l'égalité de Pythagore est vérifiée.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au plus grand côté
Donc : le triangle est rectangle en .
Le plus grand côté est .
On constate que : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle n'est pas rectangle.
Les deux nombres sont proches, mais cela ne change rien : proche ne veut pas dire égal.
Un dessin ne suffirait pas pour trancher, seul le calcul le permet.
Le plus grand côté est .
On constate que : l'égalité de Pythagore est vérifiée.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est rectangle.
L'angle droit est opposé au plus grand côté
Donc : le triangle est rectangle en .
Le théorème de Pythagore part d'un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle, pour calculer une longueur.
La réciproque et la contraposée partent des trois longueurs, pour décider si le triangle est rectangle.
Dans ces cinq questions, on n'écrit donc jamais l'égalité comme point de départ : ce serait supposer vrai ce qu'il faut justement établir.
On calcule les deux membres séparément
D'après le plan : le triangle est rectangle en .
Son hypoténuse est donc , le côté opposé à .
D'après le théorème de Pythagore :
est une longueur
Donc : est positif :
Car :
la diagonale du panneau doit mesurer cm.
On ne sait plus si l'angle du sommet est droit : c'est justement la question.
On connaît les trois longueurs du triangle : cm, cm et cm.
Le plus grand côté est .
On calcule les deux membres séparément.
On constate que : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle n'est pas rectangle.
Comme le plus grand côté est , l'angle qui aurait dû être droit est celui du sommet .
le coin du panneau au sommet n'est pas un angle droit, le panneau assemblé n'est donc pas un rectangle.
La diagonale mesure cm au lieu des cm prévus : Léa doit reprendre son assemblage.
Avec un mètre ruban, il est difficile de vérifier un angle droit sur une grande pièce.
Mesurer la diagonale, c'est bien plus fiable : si les deux côtés sont bons et que la diagonale tombe juste
Alors : l'égalité de Pythagore est vérifiée et la réciproque garantit que le coin est droit.
On travaille dans le triangle , qui est rectangle en .
Son hypoténuse est donc , le côté opposé à .
On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche l'hypoténuse : on additionne.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
la barre mesure cm.
On change de triangle.
On travaille maintenant dans le triangle , qui est rectangle en .
Son hypoténuse est donc , le côté opposé à .
Les côtés de l'angle droit sont et .
La question 1 a donné cm : c'est la valeur exacte, on peut donc l'utiliser en toute confiance.
D'après le théorème de Pythagore :
est positif
Donc :
Car :
cm.
Le périmètre est la somme des longueurs des quatre côtés du quadrilatère :
La barre n'est pas un côté du quadrilatère, c'est une diagonale : elle ne compte pas dans le périmètre.
le périmètre du quadrilatère est de cm.
Dans un problème en deux étapes, la longueur trouvée à la première question est la clé de la seconde.
Le côté change de rôle en cours de route : hypoténuse dans le triangle , il devient un côté de l'angle droit dans le triangle .
C'est pour cela qu'il faut, à chaque étape, redire dans quel triangle on travaille et où se trouve l'angle droit.
Si la première étape avait donné une valeur approchée, il faudrait garder la valeur exacte (la racine carrée ou le carré) pour la seconde étape, et n'arrondir qu'à la toute fin.
Arrondir trop tôt fausse le résultat final.
Si on trouvait une hypoténuse plus petite qu'un côté de l'angle droit, il y aurait forcément une erreur.
Le bon réflexe : repérer l'hypoténuse d'abord.
Si c'est elle qui est connue, on soustrait.
Si c'est elle qui est cherchée, on additionne.
Puis : on compare.