Le théorème de Pythagore et sa réciproque

• Par définition :

  $\displaystyle \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$

• Elle sert à remonter d'un carré à une longueur :

  si $BC^2 = 100$

  Alors :

  $\displaystyle BC = 10$

L'hypoténuse $[BC]$ mesure $10$ cm.

Le côté $[DF]$ mesure $12$ cm.

• La ligne est tentante parce que la longueur cherchée apparaît juste après, et parce qu'on lit la suite de calculs comme une seule phrase.

Mais $169$ n'est pas une longueur : c'est l'aire du carré construit sur le côté, et $169 = 13$ est une égalité fausse.

Le geste : dès qu'une ligne se termine par un carré, on va à la ligne pour prendre la racine.

Une ligne pour $BC^2$, une ligne pour $BC$, jamais les deux dans la même chaîne de signes $=$.

Donc : $DF \approx 13{,}9$ : un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, c'est impossible.

Alors :

Les deux résultats sont différents

Donc :

Les deux résultats sont égaux

Donc :

Le geste : tant que la conclusion n'est pas tirée, aucun signe $=$ entre les deux membres.

On calcule la somme des carrés des deux petits côtés sur une ligne, le carré du plus grand côté sur une autre, et on compare seulement à la fin.

• Prép Brevet
• Les fractions : produit en croix, produit et quotient

$BC$ est une longueur

Donc : $BC$ est un nombre positif :

Car :

D'après le théorème de Pythagore :

$DF$ est positif

Donc :

Car :

D'après le théorème de Pythagore :

$LM$ est positif

Donc : $LM = \sqrt{74}$ : c'est la valeur exacte.

$\sqrt{74}$ n'est pas un nombre décimal : on ne peut pas l'écrire exactement avec des chiffres après la virgule.

À la calculatrice, $\sqrt{74} \approx 8{,}602$.

D'après le théorème de Pythagore :

$PR$ est positif

Donc : $PR = \sqrt{52}$ : c'est la valeur exacte.

À la calculatrice, $\sqrt{52} \approx 7{,}211$.

$AC$ est positif

Donc :

Car :

D'après le théorème de Pythagore :

$DF$ est positif

Donc :

Car :

D'après le théorème de Pythagore :

$KL$ est positif

Donc :

Car :

D'après le théorème de Pythagore :

$PR$ est positif

Donc : $PR = \sqrt{65}$ : c'est la valeur exacte.

À la calculatrice, $\sqrt{65} \approx 8{,}062$.

Dans la question d), on vérifie de même : $8{,}1 < 9$, l'hypoténuse reste bien le plus grand côté.

$BC^2 = 15^2 = 225$

On constate que $AB^2 + AC^2 = BC^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle $ABC$ est rectangle.

L'angle droit est opposé au plus grand côté $[BC]$

Donc : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Le plus grand côté est $[DF]$.

$DE^2 + EF^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$

$DF^2 = 11^2 = 121$

On constate que $113 \neq 121$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle $DEF$ n'est pas rectangle.

Le plus grand côté est $[GK]$.

$GH^2 + HK^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$

$GK^2 = 34^2 = 1156$

On constate que $GH^2 + HK^2 = GK^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle $GHK$ est rectangle.

L'angle droit est opposé au plus grand côté $[GK]$

Donc : le triangle $GHK$ est rectangle en $H$.

Le plus grand côté est $[MP]$.

$MN^2 + NP^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$

$MP^2 = 8^2 = 64$

On constate que $61 \neq 64$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle $MNP$ n'est pas rectangle.

Les deux nombres sont proches, mais cela ne change rien : proche ne veut pas dire égal.

Un dessin ne suffirait pas pour trancher, seul le calcul le permet.

Le plus grand côté est $[RT]$.

$RS^2 + ST^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25$

$RT^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25$

On constate que $RS^2 + ST^2 = RT^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle $RST$ est rectangle.

L'angle droit est opposé au plus grand côté $[RT]$

Donc : le triangle $RST$ est rectangle en $S$.

$AC$ est une longueur

Donc : $AC$ est positif :

Car :

On ne sait plus si l'angle du sommet $B$ est droit : c'est justement la question.

On connaît les trois longueurs du triangle $ABC$ : $AB = 120$ cm, $BC = 90$ cm et $AC = 153$ cm.

Le plus grand côté est $[AC]$.

On calcule les deux membres séparément.

$AB^2 + BC^2 = 120^2 + 90^2 = 14\,400 + 8\,100 = 22\,500$

$AC^2 = 153^2 = 23\,409$

On constate que $22\,500 \neq 23\,409$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore : le triangle $ABC$ n'est pas rectangle.

Comme le plus grand côté est $[AC]$, l'angle qui aurait dû être droit est celui du sommet $B$.

$AC$ est positif

Donc :

Car :

On change de triangle.

On travaille maintenant dans le triangle $ACD$, qui est rectangle en $C$.

Son hypoténuse est donc $[AD]$, le côté opposé à $C$.

Les côtés de l'angle droit sont $[CA]$ et $[CD]$.

La question 1 a donné $AC = 15$ cm : c'est la valeur exacte, on peut donc l'utiliser en toute confiance.

D'après le théorème de Pythagore :

$AD$ est positif

Donc :

Car :

Le périmètre est la somme des longueurs des quatre côtés du quadrilatère :

La barre $[AC]$ n'est pas un côté du quadrilatère, c'est une diagonale : elle ne compte pas dans le périmètre.