Le théorème de Pythagore et sa réciproque

On connaît les deux côtés de l'angle droit et on cherche l'hypoténuse : on additionne les deux carrés, puis on prend la racine carrée.

a) Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc son hypoténuse est $[BC]$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$AB^2 + AC^2 = BC^2$$
$$6^2 + 8^2 = BC^2$$
$$36 + 64 = BC^2$$
$$BC^2 = 100$$

$BC$ est une longueur, donc $BC$ est un nombre positif : $BC = \sqrt{100} = 10$, car $10^2 = 100$.

Conclusion : $BC = 10$ cm.

b) Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$, donc son hypoténuse est $[DF]$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$ED^2 + EF^2 = DF^2$$
$$9^2 + 12^2 = DF^2$$
$$81 + 144 = DF^2$$
$$DF^2 = 225$$

$DF$ est positif, donc $DF = \sqrt{225} = 15$, car $15^2 = 225$.

Conclusion : $DF = 15$ cm.

c) Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$, donc son hypoténuse est $[LM]$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$KL^2 + KM^2 = LM^2$$
$$5^2 + 7^2 = LM^2$$
$$25 + 49 = LM^2$$
$$LM^2 = 74$$

$LM$ est positif, donc $LM = \sqrt{74}$ : c'est la valeur exacte.

$\sqrt{74}$ n'est pas un nombre décimal : on ne peut pas l'écrire exactement avec des chiffres après la virgule. À la calculatrice, $\sqrt{74} \approx 8{,}602$.

Conclusion : $LM = \sqrt{74}$ cm, soit $LM \approx 8{,}6$ cm.

d) Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$, donc son hypoténuse est $[PR]$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$QP^2 + QR^2 = PR^2$$
$$4^2 + 6^2 = PR^2$$
$$16 + 36 = PR^2$$
$$PR^2 = 52$$

$PR$ est positif, donc $PR = \sqrt{52}$ : c'est la valeur exacte. À la calculatrice, $\sqrt{52} \approx 7{,}211$.

Conclusion : $PR = \sqrt{52}$ cm, soit $PR \approx 7{,}2$ cm.

À retenir. Pour les questions c) et d), on n'écrit pas $LM = 8{,}6$ cm : c'est faux, car $8{,}6 \times 8{,}6 = 73{,}96$ et non $74$. On écrit $LM \approx 8{,}6$ cm, avec le signe $\approx$.

Un contrôle rapide. Dans chaque cas, l'hypoténuse trouvée est bien plus grande que les deux autres côtés : $10 > 8$, $15 > 12$, $8{,}6 > 7$ et $7{,}2 > 6$. Si on trouvait une hypoténuse plus petite qu'un côté de l'angle droit, il y aurait forcément une erreur.

Ici, la longueur cherchée est un côté de l'angle droit. On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée. C'est une différence, jamais une somme.

a) Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc son hypoténuse est $[BC]$, qui mesure $13$ cm.

D'après le théorème de Pythagore :
$$AB^2 + AC^2 = BC^2$$
$$5^2 + AC^2 = 13^2$$
$$25 + AC^2 = 169$$
$$AC^2 = 169 - 25$$
$$AC^2 = 144$$

$AC$ est positif, donc $AC = \sqrt{144} = 12$, car $12^2 = 144$.

Conclusion : $AC = 12$ cm.

b) Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, donc son hypoténuse est $[EF]$, qui mesure $25$ cm.

D'après le théorème de Pythagore :
$$DE^2 + DF^2 = EF^2$$
$$20^2 + DF^2 = 25^2$$
$$400 + DF^2 = 625$$
$$DF^2 = 625 - 400$$
$$DF^2 = 225$$

$DF$ est positif, donc $DF = \sqrt{225} = 15$, car $15^2 = 225$.

Conclusion : $DF = 15$ cm.

c) Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, donc son hypoténuse est $[KM]$, qui mesure $10$ cm.

D'après le théorème de Pythagore :
$$KL^2 + LM^2 = KM^2$$
$$KL^2 + 6^2 = 10^2$$
$$KL^2 + 36 = 100$$
$$KL^2 = 100 - 36$$
$$KL^2 = 64$$

$KL$ est positif, donc $KL = \sqrt{64} = 8$, car $8^2 = 64$.

Conclusion : $KL = 8$ cm.

d) Le triangle $PQR$ est rectangle en $P$, donc son hypoténuse est $[QR]$, qui mesure $9$ cm.

D'après le théorème de Pythagore :
$$PQ^2 + PR^2 = QR^2$$
$$4^2 + PR^2 = 9^2$$
$$16 + PR^2 = 81$$
$$PR^2 = 81 - 16$$
$$PR^2 = 65$$

$PR$ est positif, donc $PR = \sqrt{65}$ : c'est la valeur exacte. À la calculatrice, $\sqrt{65} \approx 8{,}062$.

Conclusion : $PR = \sqrt{65}$ cm, soit $PR \approx 8{,}1$ cm.

L'erreur à éviter absolument. Dans la question a), un élève pressé écrit parfois $AC^2 = 25 + 169 = 194$, puis $AC \approx 13{,}9$ cm. C'est impossible : $[AC]$ est un côté de l'angle droit, il ne peut pas être plus grand que l'hypoténuse, qui mesure $13$ cm. Le bon réflexe : repérer l'hypoténuse d'abord. Si c'est elle qui est connue, on soustrait. Si c'est elle qui est cherchée, on additionne.

Dans la question d), on vérifie de même : $8{,}1 < 9$, l'hypoténuse reste bien le plus grand côté.

La méthode, toujours la même. On repère le plus grand côté : si le triangle est rectangle, c'est lui l'hypoténuse. On calcule ensuite séparément deux nombres : la somme des carrés des deux petits côtés d'un côté, le carré du plus grand côté de l'autre. Puis on compare.

a) Triangle $ABC$ : $AB = 9$, $AC = 12$, $BC = 15$.

Le plus grand côté est $[BC]$.

$AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$BC^2 = 15^2 = 225$

On constate que $AB^2 + AC^2 = BC^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté $[BC]$, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

b) Triangle $DEF$ : $DE = 7$, $EF = 8$, $DF = 11$.

Le plus grand côté est $[DF]$.

$DE^2 + EF^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$

$DF^2 = 11^2 = 121$

On constate que $113 \neq 121$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle.

c) Triangle $GHK$ : $GH = 16$, $HK = 30$, $GK = 34$.

Le plus grand côté est $[GK]$.

$GH^2 + HK^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$

$GK^2 = 34^2 = 1156$

On constate que $GH^2 + HK^2 = GK^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHK$ est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté $[GK]$, donc le triangle $GHK$ est rectangle en $H$.

d) Triangle $MNP$ : $MN = 5$, $NP = 6$, $MP = 8$.

Le plus grand côté est $[MP]$.

$MN^2 + NP^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$

$MP^2 = 8^2 = 64$

On constate que $61 \neq 64$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ n'est pas rectangle.

Les deux nombres sont proches, mais cela ne change rien : proche ne veut pas dire égal. Un dessin ne suffirait pas pour trancher, seul le calcul le permet.

e) Triangle $RST$ : $RS = 2{,}5$, $ST = 6$, $RT = 6{,}5$.

Le plus grand côté est $[RT]$.

$RS^2 + ST^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25$

$RT^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25$

On constate que $RS^2 + ST^2 = RT^2$ : l'égalité de Pythagore est vérifiée.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté $[RT]$, donc le triangle $RST$ est rectangle en $S$.

Ne pas confondre les deux sens. Le théorème de Pythagore part d'un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle, pour calculer une longueur. La réciproque et la contraposée partent des trois longueurs, pour décider si le triangle est rectangle. Dans ces cinq questions, on n'écrit donc jamais l'égalité $AB^2 + AC^2 = BC^2$ comme point de départ : ce serait supposer vrai ce qu'il faut justement établir. On calcule les deux membres séparément, puis on compare.

1. La diagonale prévue par le plan.

D'après le plan, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Son hypoténuse est donc $[AC]$, le côté opposé à $B$.

D'après le théorème de Pythagore :
$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$
$$120^2 + 90^2 = AC^2$$
$$14\,400 + 8\,100 = AC^2$$
$$AC^2 = 22\,500$$

$AC$ est une longueur, donc $AC$ est positif : $AC = \sqrt{22\,500} = 150$, car $150^2 = 22\,500$.

Conclusion : la diagonale du panneau doit mesurer $150$ cm.

2. Le contrôle de l'équerre.

On ne sait plus si l'angle du sommet $B$ est droit : c'est justement la question. On connaît les trois longueurs du triangle $ABC$ : $AB = 120$ cm, $BC = 90$ cm et $AC = 153$ cm. Le plus grand côté est $[AC]$.

On calcule les deux membres séparément.

$AB^2 + BC^2 = 120^2 + 90^2 = 14\,400 + 8\,100 = 22\,500$

$AC^2 = 153^2 = 23\,409$

On constate que $22\,500 \neq 23\,409$ : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée.

D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n'est pas rectangle. Comme le plus grand côté est $[AC]$, l'angle qui aurait dû être droit est celui du sommet $B$.

Conclusion : le coin du panneau au sommet $B$ n'est pas un angle droit, le panneau assemblé n'est donc pas un rectangle. La diagonale mesure $153$ cm au lieu des $150$ cm prévus : Léa doit reprendre son assemblage.

Pourquoi les menuisiers mesurent la diagonale. Avec un mètre ruban, il est difficile de vérifier un angle droit sur une grande pièce. Mesurer la diagonale, c'est bien plus fiable : si les deux côtés sont bons et que la diagonale tombe juste, alors l'égalité de Pythagore est vérifiée et la réciproque garantit que le coin est droit.

1. La longueur de la barre $[AC]$.

On travaille dans le triangle $ABC$, qui est rectangle en $B$. Son hypoténuse est donc $[AC]$, le côté opposé à $B$. On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche l'hypoténuse : on additionne.

D'après le théorème de Pythagore :
$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$
$$12^2 + 9^2 = AC^2$$
$$144 + 81 = AC^2$$
$$AC^2 = 225$$

$AC$ est positif, donc $AC = \sqrt{225} = 15$, car $15^2 = 225$.

Conclusion : la barre $[AC]$ mesure $15$ cm.

2. La longueur $AD$.

On change de triangle. On travaille maintenant dans le triangle $ACD$, qui est rectangle en $C$. Son hypoténuse est donc $[AD]$, le côté opposé à $C$. Les côtés de l'angle droit sont $[CA]$ et $[CD]$.

La question 1 a donné $AC = 15$ cm : c'est la valeur exacte, on peut donc l'utiliser en toute confiance.

D'après le théorème de Pythagore :
$$CA^2 + CD^2 = AD^2$$
$$15^2 + 8^2 = AD^2$$
$$225 + 64 = AD^2$$
$$AD^2 = 289$$

$AD$ est positif, donc $AD = \sqrt{289} = 17$, car $17^2 = 289$.

Conclusion : $AD = 17$ cm.

3. Le périmètre du quadrilatère $ABCD$.

Le périmètre est la somme des longueurs des quatre côtés du quadrilatère : $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. La barre $[AC]$ n'est pas un côté du quadrilatère, c'est une diagonale : elle ne compte pas dans le périmètre.

$$AB + BC + CD + DA = 12 + 9 + 8 + 17 = 46$$

Conclusion : le périmètre du quadrilatère $ABCD$ est de $46$ cm.

Ce qu'il faut avoir compris. Dans un problème en deux étapes, la longueur trouvée à la première question est la clé de la seconde. Le côté $[AC]$ change de rôle en cours de route : hypoténuse dans le triangle $ABC$, il devient un côté de l'angle droit dans le triangle $ACD$. C'est pour cela qu'il faut, à chaque étape, redire dans quel triangle on travaille et où se trouve l'angle droit.

Un conseil. Si la première étape avait donné une valeur approchée, il faudrait garder la valeur exacte (la racine carrée ou le carré) pour la seconde étape, et n'arrondir qu'à la toute fin. Arrondir trop tôt fausse le résultat final.