Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle rectangle, les deux côtés qui forment l'angle droit sont les côtés de l'angle droit. Le troisième, celui qui ne touche pas le sommet de l'angle droit, est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, les côtés de l'angle droit sont $[AB]$ et $[AC]$, et l'hypoténuse est $[BC]$.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux côtés de l'angle droit. C'est le repère le plus rapide : le plus grand des trois côtés est l'hypoténuse, et l'angle droit se trouve en face de lui.

Si un triangle est rectangle, alors la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. Cette égalité s'appelle l'égalité de Pythagore. On ne peut l'écrire que dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle.

Le carré construit sur un côté a pour aire le carré de sa longueur. Le théorème dit alors que les aires des deux petits carrés, mises ensemble, remplissent exactement le grand carré. Avec les longueurs $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm :
$3^2 + 4^2 = 9 + 16$
$3^2 + 4^2 = 25$
$5^2 = 25$

L'hypoténuse est toujours le côté formé par les deux autres lettres que celle du sommet de l'angle droit. Si l'angle droit change de sommet, l'égalité change de forme. On la réécrit à chaque exercice, au lieu de recopier une formule apprise par cœur.

Pour un nombre positif $a$, il existe un seul nombre positif dont le carré vaut $a$ : c'est la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$. Par définition, $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$. Elle sert à remonter d'un carré à une longueur : si $BC^2 = 100$, alors $BC = 10$.

Les carrés des nombres de $1$ à $13$ se retiennent : ils donnent la racine carrée sans calculatrice. La plupart des autres racines ne sont pas des nombres décimaux : $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{74}$ ne s'écrivent pas exactement avec des chiffres après la virgule, la calculatrice n'en affiche qu'une valeur approchée.

On connaît les deux côtés de l'angle droit et on cherche l'hypoténuse : on additionne leurs carrés, puis on prend la racine carrée du résultat. Dans $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
$BC = 10$
L'hypoténuse $[BC]$ mesure $10$ cm.

On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée. Dans $DEF$ rectangle en $D$, avec $EF = 13$ cm et $DE = 5$ cm :
$DE^2 + DF^2 = EF^2$
$5^2 + DF^2 = 13^2$
$DF^2 = 169 - 25$
$DF^2 = 144$
$DF = 12$
Le côté $[DF]$ mesure $12$ cm.

On arrive à $BC^2 = 169$ et on écrit tout d'un trait $BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13$, ou bien on répond $BC = 169$ cm. La ligne est tentante parce que la longueur cherchée apparaît juste après, et parce qu'on lit la suite de calculs comme une seule phrase.
Mais $169$ n'est pas une longueur : c'est l'aire du carré construit sur le côté, et $169 = 13$ est une égalité fausse.
Le geste : dès qu'une ligne se termine par un carré, on va à la ligne pour prendre la racine. Une ligne pour $BC^2$, une ligne pour $BC$, jamais les deux dans la même chaîne de signes $=$.

C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. On additionne les carrés seulement quand le côté cherché est l'hypoténuse. Dès que le côté cherché est un côté de l'angle droit, on soustrait. Avec $EF = 13$ cm et $DE = 5$ cm, additionner donnerait $DF^2 = 194$, donc $DF \approx 13{,}9$ : un côté de l'angle droit plus long que l'hypoténuse, c'est impossible.

Un résultat se contrôle avant d'être écrit. Une hypoténuse trouvée doit être plus grande que les deux autres côtés ; un côté de l'angle droit trouvé doit être plus petit que l'hypoténuse. Si ce n'est pas le cas, le calcul est faux, presque toujours parce que la somme et la différence ont été confondues.

Quand la racine carrée ne tombe pas juste, on écrit d'abord la valeur exacte, avec le signe racine, puis une valeur approchée arrondie donnée par la calculatrice. Devant une valeur approchée, on écrit le signe $\approx$ et jamais le signe $=$. Dans $RST$ rectangle en $R$, avec $RS = 5$ cm et $RT = 7$ cm :
$ST^2 = 5^2 + 7^2$
$ST^2 = 25 + 49$
$ST^2 = 74$
$ST = \sqrt{74}$
$ST \approx 8{,}6$

Si, dans un triangle, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, alors ce triangle n'est pas rectangle. On teste toujours l'égalité avec le plus grand côté mis à part, car c'est lui qui serait l'hypoténuse : dans $KLM$ où $[KM]$ est le plus grand côté, si $KM^2 \neq KL^2 + LM^2$, alors $KLM$ n'est pas rectangle. On s'en sert quand un angle a l'air droit sur la figure mais n'est pas codé. Elle ne sert qu'à cela : conclure qu'il n'y a pas d'angle droit.

On repère le plus grand côté, puis on calcule séparément les deux membres : d'un côté le carré du plus grand côté, de l'autre la somme des carrés des deux autres. On compare, et on conclut. Dans $KLM$ avec $KL = 4$ cm, $LM = 5$ cm et $KM = 6$ cm :
$KM^2 = 6^2$
$KM^2 = 36$
$KL^2 + LM^2 = 4^2 + 5^2$
$KL^2 + LM^2 = 41$
Les deux résultats sont différents, donc $KLM$ n'est pas rectangle.

Si, dans un triangle, l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors ce triangle est rectangle. C'est le seul outil du chapitre qui permet de démontrer qu'un angle est droit. Une figure qui en a l'air ne prouve rien : seul le calcul décide.

On repère d'abord le plus grand côté, car c'est lui qui serait l'hypoténuse. On calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres, puis on compare. Dans $GHI$ avec $GH = 4{,}5$ cm, $HI = 6$ cm et $GI = 7{,}5$ cm :
$GI^2 = 7{,}5^2$
$GI^2 = 56{,}25$
$GH^2 + HI^2 = 4{,}5^2 + 6^2$
$GH^2 + HI^2 = 20{,}25 + 36$
$GH^2 + HI^2 = 56{,}25$
Les deux résultats sont égaux, donc $GHI$ est rectangle.

Quand il faut décider si un triangle est rectangle, la copie commence souvent par « D'après le théorème de Pythagore, $AB^2 + AC^2 = BC^2$ ». Le réflexe vient des exercices de calcul, où cette ligne est justement le bon départ.
Ici elle suppose vrai ce que l'on cherche à établir : le théorème direct réclame un angle droit connu d'avance, alors que la réciproque part des trois longueurs.
Le geste : tant que la conclusion n'est pas tirée, aucun signe $=$ entre les deux membres. On calcule la somme des carrés des deux petits côtés sur une ligne, le carré du plus grand côté sur une autre, et on compare seulement à la fin.

Quand la réciproque permet de conclure, il reste à dire où est l'angle droit : il est toujours opposé au plus grand côté, donc au sommet qui n'est pas une extrémité de ce côté. Dans $GHI$, le plus grand côté est $[GI]$ : l'angle droit est en $H$.

Une réponse complète suit toujours le même ordre : nommer le triangle et repérer l'angle droit (ou le plus grand côté), annoncer le théorème employé, écrire l'égalité, calculer, puis conclure par une phrase. On écrit ces étapes même quand le calcul est facile : c'est la rédaction qui est notée.