Fractions et nombres décimaux

On garde alors l'autre sens du produit, celui de l'aire d'un rectangle : $2{,}4 \times 1{,}5$ est l'aire du rectangle ci-dessous, qui mesure $2{,}4$ cm de longueur et $1{,}5$ cm de largeur.

Ce rectangle existe bel et bien

Donc : le produit a un sens : il vaut $3{,}6$, et l'aire du rectangle est de $3{,}6$ centimètres carrés.

• C'est logique : $0{,}1$ est un dixième, $0{,}01$ un centième et $0{,}001$ un millième

  Donc : on n'en prend qu'un dixième, un centième ou un millième.

• La virgule se déplace donc vers la gauche de $1$, $2$ ou $3$ rangs, et on ajoute des zéros quand les chiffres manquent.

s'il est $5$, $6$, $7$, $8$ ou $9$, on lui ajoute $1$.

4) On efface tous les chiffres qui suivent le rang demandé.

Ici le $6$ appartient au second groupe

Donc :

Sur la copie, on écrit le résultat avec le signe $\approx$, qui se lit « environ égal ».

• Réflexes de calcul
• Distance, cercles et construction de triangles

· $0{,}205$ : partie entière $0$, partie décimale $205$, qui vaut $205$ millièmes.

· $12{,}04$ : partie entière $12$, partie décimale $04$, qui vaut $4$ centièmes.

· $6{,}0308$ : partie entière $6$, partie décimale $0308$, qui vaut $308$ dix-millièmes.

On regarde le rang du dernier chiffre : il donne le dénominateur.

On recopie ensuite tous les chiffres du nombre, sans la virgule, au numérateur.

· $4{,}73$ : le dernier chiffre est au rang des centièmes

Donc :

· $0{,}205$ : dernier chiffre au rang des millièmes

Donc :

· $12{,}04$ : dernier chiffre au rang des centièmes

Donc :

· $6{,}0308$ : dernier chiffre au rang des dix-millièmes

Donc :

On garde la partie entière telle quelle, et la partie décimale devient la fraction.

· $4{,}73 = 4 + \dfrac{73}{100}$

· $0{,}205 = 0 + \dfrac{205}{1\,000} = \dfrac{205}{1\,000}$

· $12{,}04 = 12 + \dfrac{4}{100}$

· $6{,}0308 = 6 + \dfrac{308}{10\,000}$

Dans chaque cas, la fraction écrite est bien inférieure à $1$

Car : son numérateur est plus petit que son dénominateur.

On place chaque chiffre de la partie décimale à son rang.

Pour $4{,}73$ : $7$ est au rang des dixièmes, $3$ au rang des centièmes.

$4{,}73 = 4 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{100}$

Pour $6{,}0308$ : $0$ dixième, $3$ centièmes, $0$ millième, $8$ dix-millièmes.

$6{,}0308 = 6 + \dfrac{0}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{0}{1\,000} + \dfrac{8}{10\,000}$, ce qui s'écrit plus simplement $6 + \dfrac{3}{100} + \dfrac{8}{10\,000}$.

Attention : les rangs vides n'apportent rien à la somme, mais leurs zéros doivent absolument rester dans l'écriture à virgule, sinon les autres chiffres changent de rang.

· $\dfrac{917}{100} = 9{,}17$ : un dénominateur $100$ demande deux chiffres après la virgule, on part donc de la droite de $917$ et on compte deux chiffres.

· $\dfrac{45}{10} = 4{,}5$ : un dénominateur $10$ demande un seul chiffre après la virgule.

· $8 + \dfrac{5}{1\,000} = 8{,}005$ : le $5$ doit occuper le rang des millièmes, c'est-à-dire le troisième après la virgule.

On complète donc les dixièmes et les centièmes par des zéros.

· $3 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{7}{1\,000} = 3{,}207$ : $2$ au rang des dixièmes, rien au rang des centièmes (on écrit $0$), $7$ au rang des millièmes.

· $\dfrac{6\,000}{1\,000} = 6$.

C'est $\dfrac{6\,000}{1\,000}$.

Il représente $6\,000$ millièmes

Or : $1\,000$ millièmes forment une unité : il y a donc exactement $6$ unités, et rien de plus.

On peut aussi l'écrire $6{,}000$, puis remarquer que les zéros inutiles à droite de la partie décimale ne changent pas le nombre :

c) Aucune unité n'est annoncée : la partie entière est nulle.

« centièmes » demande deux chiffres

Donc :

d) Ici tout est compté en centièmes :

Comme $100$ centièmes font une unité : $1\,800$ centièmes font $18$ unités, et il reste $6$ centièmes.

On écrit $18{,}06$.

e) « millièmes » demande trois chiffres après la virgule, et $40$ millièmes s'écrit $040$ : on obtient $12{,}040$, c'est-à-dire $12{,}04$

Car : le zéro final ne change pas le nombre.

f) « dix-millièmes » demande quatre chiffres après la virgule.

Le $9$ occupe le quatrième rang, les trois premiers sont vides :

On lit la partie entière, puis toute la partie décimale d'un seul bloc, en donnant le nom du rang du dernier chiffre.

· $6{,}08$ : le dernier chiffre est au rang des centièmes, la partie décimale vaut $8$ centièmes.

On lit « six unités et huit centièmes ».

· $0{,}7$ : « sept dixièmes ».

· $40{,}305$ : le dernier chiffre est au rang des millièmes.

On lit « quarante unités et trois-cent-cinq millièmes ».

· $2{,}0071$ : le dernier chiffre est au rang des dix-millièmes, la partie décimale $0071$ vaut $71$ dix-millièmes.

On lit « deux unités et soixante-et-onze dix-millièmes ».

Le premier chiffre après la virgule est celui des dixièmes : dans $5{,}07$, c'est un $0$.

Ce nombre n'a donc aucun dixième, et le $7$ se trouve au rang suivant, celui des centièmes.

L'élève a sauté le zéro et lu le $7$ comme s'il était collé à la virgule.

La bonne lecture est : « cinq unités et sept centièmes ».

Sa lecture, « cinq unités et sept dixièmes », correspond au nombre $5{,}7$.

Ces deux nombres sont très différents : $5{,}7 = 5{,}70$, soit soixante-dix centièmes, contre sept centièmes seulement pour $5{,}07$.

a) Vrai. Les deux nombres ont la même partie entière $3$, le même chiffre $4$ au rang des dixièmes, et aucun centième.

Le zéro écrit tout à droite de la partie décimale n'ajoute rien :

b) Faux. Ici le zéro est placé entre la virgule et un chiffre significatif : il décale le $4$ d'un rang.

Dans $3{,}04$, le $4$ est au rang des centièmes, alors que dans $3{,}4$ il est au rang des dixièmes.

En complétant, on compare $3{,}04$ et $3{,}40$ :

c) Vrai. Même partie entière $0$, même chiffre $2$ aux dixièmes, aucun centième dans les deux cas.

d) Vrai. Ajouter un zéro à droite de la partie décimale ne change pas le nombre :

e) Faux. $9{,}1$ possède $1$ dixième, tandis que $9{,}01$ possède $0$ dixième et $1$ centième.

En complétant, on compare $9{,}10$ et $9{,}01$ :

On compte ensuite les graduations à partir de celle étiquetée $2$.

· $M$ est $3$ graduations plus loin :

· $N$ est $8$ graduations plus loin :

$2{,}7$ se lit « $2$ unités et $7$ dixièmes ».

Il faut donc compter $7$ graduations après celle qui porte l'étiquette $2$ : $P$ se place sur la septième graduation, juste avant $N$ (car $2{,}7 < 2{,}8$).

La portion représentée va de $2{,}3$ à $2{,}4$ : elle mesure un dixième.

Ce dixième est partagé en $10$ parts égales, et $10$ centièmes font justement un dixième.

Chaque part vaut donc un centième :

$Q$ est $6$ graduations après $2{,}3$, on ajoute $6$ centièmes :

Pour $R$, d'abscisse $2{,}38$, on compte $8$ centièmes après $2{,}3$ : $R$ se place sur la huitième graduation

Donc :

Méthode : on compare d'abord les parties entières.

Si elles sont égales, on compare les chiffres rang par rang après la virgule, en commençant par les dixièmes.

Compléter les parties décimales par des zéros pour qu'elles aient la même longueur aide beaucoup.

a) Parties entières égales ($5$).

Dixièmes :

Donc :

b) $9{,}2$ et $9{,}20$ ont la même partie entière, le même chiffre $2$ aux dixièmes, et aucun centième.

Donc :

c) Parties entières égales ($3$).

Dixièmes :

Donc :

d) Parties entières égales ($14$).

Dixièmes :

Donc :

e) Parties entières égales ($0$).

Dixièmes :

Donc :

f) Parties entières égales ($6$).

Dixièmes : $4$ et $4$, égalité, on passe au rang suivant.

Centièmes :

Donc :

Toutes les parties entières valent $7$.

On complète les parties décimales à trois chiffres pour comparer sans se tromper :

$7{,}800$ ; $7{,}080$ ; $7{,}801$ ; $7{,}790$ ; $7{,}081$.

Aux dixièmes, deux nombres ont $0$ ($7{,}080$ et $7{,}081$) : ce sont les deux plus petits.

Entre eux, les centièmes sont égaux ($8$), et les millièmes valent $0$ contre $1$

Donc :

Restent $7{,}790$, $7{,}800$ et $7{,}801$.

Aux dixièmes : $7$ pour le premier, $8$ pour les deux autres

Donc : $7{,}79$ est le plus petit des trois.

Entre $7{,}800$ et $7{,}801$, seuls les millièmes diffèrent :

On obtient :

Même méthode, avec trois chiffres après la virgule :

$2{,}500$ ; $2{,}450$ ; $2{,}505$ ; $2{,}050$ ; $2{,}540$.

Aux dixièmes :

$4$ pour $2{,}450$ ;

$0$ pour $2{,}050$.

Parmi les trois premiers, on compare les centièmes : $4$ pour $2{,}540$, $0$ pour les deux autres

Donc : $2{,}54$ est le plus grand.

Puis, entre $2{,}500$ et $2{,}505$, les millièmes valent $0$ contre $5$

Donc :

On obtient :

La partie entière donne directement l'entier de gauche ;

on ajoute $1$ pour obtenir celui de droite.

$7 < 7{,}801 < 8$

$2 < 2{,}05 < 3$

$0 < 0{,}64 < 1$

$15 < 15{,}9 < 16$

Le nombre de chiffres après la virgule ne dit rien de la taille d'un nombre : $3{,}125$ compte simplement ses centièmes et ses millièmes, ce qui n'en fait pas un grand nombre.

On compare comme d'habitude.

Les parties entières sont égales ($3$).

Au rang des dixièmes, $3{,}125$ a un $1$ et $3{,}4$ a un $4$ : comme $1 < 4$, on conclut $3{,}125 < 3{,}4$.