Suites numériques

$(u_n)$, avec parenthèses, désigne toute la suite ; $u_n$, sans parenthèses, désigne un seul terme, celui de rang $n$, et se lit « u indice n ». $u_{n+1}$ se lit « u indice n plus un » (le « plus un » est dans l'indice) : c'est le terme suivant, à ne pas confondre avec $u_n + 1$. Pour l'obtenir, on remplace $n$ par $(n+1)$ partout : avec $u_n = n^2$, on a $u_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, alors que $u_n + 1 = n^2 + 1$.
$\forall n \in \mathbb{N}$ se lit « pour tout entier naturel $n$ ». $u_n \to \ell$ se lit « $u_n$ tend vers $\ell$ ». $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ se lit « limite de $u_n$ quand $n$ tend vers plus l'infini ».

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison) pour passer d'un terme au suivant, et géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre $q$ (sa raison). La relation $u_{n+1} = \dots$ s'appelle une relation de récurrence ; la formule qui donne $u_n$ directement en fonction de $n$ s'appelle la forme explicite. Une hausse de $5\ \%$ revient à multiplier par $1{,}05$, une baisse de $20\ \%$ à multiplier par $0{,}8$. Exemple : $u_0 = 200$ et une hausse de $5\ \%$ par an donnent une suite géométrique de raison $1{,}05$, donc $u_n = 200 \times 1{,}05^n$ et $u_3 = 200 \times 1{,}157625 = 231{,}525$. Si la suite commence au rang $1$, la forme explicite devient $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Toutes les récurrences d'inégalités et tous les encadrements reposent sur ces règles.
Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres : le sens ne change pas.
Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif : le sens ne change pas. Par un nombre strictement négatif : le sens s'inverse, car $2 < 3$ mais $-2 > -3$.
Appliquer aux deux membres une fonction croissante sur un intervalle qui les contient (racine carrée, ou carré sur $[0\,;+\infty[$) conserve le sens ; une fonction décroissante sur un tel intervalle l'inverse : $2 < 3$ mais $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}$. Hors de cet intervalle, rien ne marche : $-3 < 2$ mais $(-3)^2 = 9 > 4$.
Exemple : si $0 \le u_k \le 4$ et $u_{k+1} = 5 - \dfrac{1}{2}u_k$, on multiplie par $-\dfrac{1}{2}$, ce qui inverse le sens : $-2 \le -\dfrac{1}{2}u_k \le 0$. On ajoute $5$ : $3 \le u_{k+1} \le 5$.

Le réflexe est le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ : positive pour tout $n$, la suite est croissante ; négative, elle est décroissante. Quand tous les termes sont strictement positifs, on peut à la place comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. Avec $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ :
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1}$
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$
Cette différence est strictement positive : on écrit que $(u_n)$ est strictement croissante.

Énoncé : étudier le sens de variation de $u_n = \dfrac{2^n}{n}$ pour $n \ge 1$. Tous les termes sont strictement positifs et il y a une puissance : on compare le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
$u_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{n+1} \times \dfrac{n}{2^n}$ (diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse)
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2n}{n+1}$ car $\dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$
$\dfrac{2n}{n+1} \ge 1 \iff 2n \ge n + 1 \iff n \ge 1$ (on a multiplié par $n + 1 > 0$)
C'est vrai pour tout $n \ge 1$ : la suite est croissante. Contrôle : $u_1 = 2$, $u_2 = 2$, $u_3 = \dfrac{8}{3}$ (le quotient vaut $1$ pour $n = 1$, d'où l'égalité $u_1 = u_2$).

Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ : initialisation (vérifier $P(n_0)$), hérédité (supposer $P(k)$ vraie et en déduire $P(k+1)$), conclusion. Les deux étapes sont indispensables.

On nomme d'abord la propriété $P(n)$ à démontrer, puis on écrit les trois blocs dans l'ordre. Soit $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, et $P(n)$ la propriété « $u_n \le 6$ » :
Initialisation : $u_0 = 1 \le 6$, donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $k$ un entier tel que $u_k \le 6$ ; alors $\dfrac{1}{2}u_k \le 3$, donc $\dfrac{1}{2}u_k + 3 \le 6$, c'est-à-dire $u_{k+1} \le 6$.
Conclusion : on écrit que $P(0)$ est vraie et que $P$ est héréditaire, donc que $u_n \le 6$ pour tout entier naturel $n$.

Devant l'hérédité, on ne part jamais de l'hypothèse seule : on part de la relation de l'énoncé.
1. Écrire l'hypothèse : $P(k)$ est vraie pour un entier $k$ fixé.
2. Écrire le but $P(k+1)$ en remplaçant $k$ par $k+1$.
3. Partir de $u_{k+1} = \dots$ (la relation de récurrence) et y remplacer $u_k$ grâce à l'hypothèse.
4. Transformer jusqu'à retrouver exactement le but.
Avec $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ et $P(n)$ : « $u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ ».
Initialisation : $6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 = 6 - 5 = 1 = u_0$.
Hérédité, but : $u_{k+1} = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}$.
$u_{k+1} = \dfrac{1}{2}u_k + 3 = \dfrac{1}{2}\left(6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\right) + 3$
$u_{k+1} = 3 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + 3 = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}$ : c'est le but.
Sur la copie : « Supposons $P(k)$ vraie pour un entier $k$ fixé, montrons $P(k+1)$. », puis la conclusion de la carte « Rédiger une récurrence de bout en bout ».

Sauter l'initialisation est l'erreur qui coûte le plus cher : la propriété « $4^n + 1$ est un multiple de $3$ » est parfaitement héréditaire, puisque $4^{k+1} + 1 = 4(4^k + 1) - 3$, et elle est pourtant fausse à tous les rangs, à commencer par $4^0 + 1 = 2$. Deuxième faute, de rédaction cette fois : écrire « supposons que $u_n \le 6$ pour tout $n$ », c'est supposer exactement ce que l'on cherche à démontrer. L'hypothèse de récurrence porte sur un seul rang fixé.

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$, minorée s'il existe un réel $m$ tel que $m \le u_n$ pour tout $n$, et bornée si elle est les deux à la fois. Un majorant n'est pas unique : tout réel plus grand que $M$ majore encore la suite, et rien n'oblige un majorant à être atteint ni à être la limite. Pour prouver qu'une suite est majorée, on exhibe un majorant explicite, le plus souvent par récurrence.

« À partir d'un certain rang » veut dire : pour tous les entiers $n$ au-delà d'un entier bien choisi, les premiers termes pouvant faire exception. Exemple : $\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ dès que $n > 100$, donc à partir du rang $101$, alors que pour $n = 50$, $\dfrac{1}{50} = 0{,}02$ ne convient pas.
Le rang dépend de l'exigence : pour obtenir $\dfrac{1}{n} < 0{,}001$, il faut attendre le rang $1001$. Plus on exige, plus on attend, mais un tel rang existe toujours.
C'est le mot clé de la définition de la limite (carte « Ce que veut dire tendre vers une limite ») : les termes $\dfrac{1}{n}$ finissent tous dans l'intervalle $]-0{,}01\,;0{,}01[$, et il en va de même pour n'importe quel intervalle ouvert contenant $0$, aussi petit soit-il.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Elle tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle $[A ; +\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Les premiers termes ne pèsent donc rien dans une limite : seul compte le comportement au bout, ce qui explique que les théorèmes du chapitre se contentent d'hypothèses vraies à partir d'un certain rang.

Une suite tend vers $-\infty$ lorsque tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient tous les termes à partir d'un certain rang : elle finit par passer sous n'importe quel seuil, aussi bas soit-il, et ne remonte plus au-dessus. C'est le miroir de $+\infty$ : $(u_n)$ tend vers $-\infty$ exactement quand $(-u_n)$ tend vers $+\infty$.
Exemple : $u_n = 5 - 2n$ et le seuil $A = -100$.
$5 - 2n \le -100 \iff -2n \le -105 \iff n \ge 52{,}5$ (on divise par $-2$, négatif, donc le sens s'inverse).
Tous les termes sont dans $]-\infty\,;-100]$ à partir du rang $53$. Avec $A = -1000$, le même calcul donne le rang $503$ : le rang dépend du seuil, mais il existe toujours, car pour n'importe quel réel $A$ il suffit que $n \ge \dfrac{5 - A}{2}$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Une suite converge quand elle admet une limite finie, et c'est le seul cas. Tout le reste s'appelle diverger, et recouvre deux situations très différentes : ou bien la suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou bien elle n'a aucune limite, comme $u_n = (-1)^n$ qui alterne entre $-1$ et $1$. Annoncer qu'une suite diverge ne dit donc pas qu'elle part vers l'infini, et dire qu'elle est bornée ne dit pas qu'elle converge.

Ces limites s'utilisent sans démonstration et servent de point de départ à tout calcul. Le rang, ses puissances et sa racine divergent vers $+\infty$, leurs inverses convergent vers $0$. Une suite constante converge vers sa valeur, ce qui sert dans les encadrements.

Pour une somme, un produit ou un quotient, on remplace chaque suite par sa limite et l'on applique la règle des signes ; seules les quatre formes indéterminées échappent à ces règles et obligent à transformer l'écriture. Quand un dénominateur tend vers $0$, on précise s'il reste positif ($0^+$) ou négatif ($0^-$) : c'est lui qui donne le signe de l'infini obtenu. Les mêmes règles valent pour les fonctions.

Les limites se combinent comme les opérations usuelles, sauf quatre formes indéterminées. Pour lever l'indétermination : factoriser par le terme de plus haut degré, ou multiplier par l'expression conjuguée (racines).

Devant une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, on simplifie, puis on conclut avec les limites de référence. Avec $u_n = \dfrac{3n^2 - 5n + 2}{2n^2 + 7}$ et $n \ge 1$ :
$u_n = \dfrac{n^2\left(3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \dfrac{7}{n^2}\right)}$
$u_n = \dfrac{3 - \dfrac{5}{n} + \dfrac{2}{n^2}}{2 + \dfrac{7}{n^2}}$
Les termes en $\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n^2}$ tendent vers $0$ : on écrit que $(u_n)$ converge vers $\dfrac{3}{2}$.

On s'en sert devant une différence de racines qui donne $\infty - \infty$. L'idée : l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ fait disparaître les racines.
1. Multiplier et diviser par la somme des deux termes (l'expression conjuguée), qui n'est pas nulle.
2. Développer le numérateur avec $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
3. Conclure avec les règles d'opérations.
Avec $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ :
$u_n = \dfrac{\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
$u_n = \dfrac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
Le dénominateur est une somme de deux termes qui tendent vers $+\infty$, il tend vers $+\infty$.
Sur la copie : « par quotient, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ ».

Trois théorèmes concluent sans calculer la limite, et leurs inégalités n'ont besoin d'être vraies qu'à partir d'un certain rang. Comparaison : si $u_n \le v_n$ et si $u_n$ tend vers $+\infty$, alors $v_n$ aussi ; si $u_n \le v_n$ et si $v_n$ tend vers $-\infty$, alors $u_n$ aussi. Gendarmes : si $u_n \le v_n \le w_n$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(v_n)$ converge vers $\ell$. La comparaison sert pour une limite infinie (une seule inégalité), les gendarmes pour une limite finie (un encadrement des deux côtés) ; avec deux limites différentes, ils ne disent rien.

C'est la démonstration de cours de la première phrase de la carte « Théorèmes de comparaison et des gendarmes ». On suppose $u_n \le v_n$ pour tout $n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. Soit $A$ un réel quelconque.
1. Comme $(u_n)$ tend vers $+\infty$, l'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang $N$ : pour $n \ge N$, $u_n \ge A$.
2. Pour ces mêmes $n$, $v_n \ge u_n \ge A$, donc $v_n$ est aussi dans $[A\,;+\infty[$.
3. Cela vaut pour n'importe quel $A$ : c'est exactement la définition de $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
Si l'inégalité $u_n \le v_n$ n'est vraie qu'à partir d'un rang $p$, on prend $n$ plus grand que $N$ et que $p$ : la preuve est la même.
Exemple : $v_n = n + \sin n$. Comme $\sin n \ge -1$, on a $v_n \ge n - 1$, et $n - 1$ tend vers $+\infty$, donc $(v_n)$ aussi.

Dès qu'un terme oscille (un sinus, un cosinus, un $(-1)^n$), on l'encadre par des constantes, on répercute l'encadrement sur le reste de l'expression, puis on vérifie que les deux bornes ont la même limite. Avec $u_n = \dfrac{\sin n}{n}$ pour $n \ge 1$ :
$-1 \le \sin n \le 1$
$-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}$ car $n > 0$
Les deux bornes tendent vers $0$ : on écrit que, d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge vers $0$.

Pour une limite infinie, seule une inégalité dans le bon sens sert : on minore par une suite qui tend vers $+\infty$, on majore par une suite qui tend vers $-\infty$. Écrire $v_n \le n^2$ ne prouve rien sur la limite de $(v_n)$, alors que $v_n \ge n$ prouve qu'elle vaut $+\infty$. Pour une limite finie, une seule inégalité ne suffit jamais : il faut un encadrement des deux côtés par deux suites de même limite. De $-1 \le v_n \le 1$, on ne tire aucune limite.

Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$, $(1+a)^n \ge 1 + na$. Elle se démontre par récurrence : l'hérédité multiplie l'hypothèse $(1+a)^k \ge 1 + ka$ par $1 + a$, qui est positif (le sens est conservé), puis écarte le terme $ka^2$, positif lui aussi. Son rôle est de minorer $q^n$ quand $q > 1$ : en écrivant $q = 1 + a$, le minorant $1 + na$ tend vers $+\infty$, donc $q^n$ aussi par le théorème de comparaison. C'est la démonstration de cours de la limite de $q^n$.

Le comportement de $(q^n)$ ne dépend que de la position du réel $q$ par rapport à $-1$ et à $1$. Pour $q > 1$, l'inégalité de Bernoulli donne la limite $+\infty$ ; pour $-1 < q < 1$, les termes s'écrasent vers $0$. Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$, on multiplie ensuite par $u_0$ : avec $u_0 < 0$ et $q > 1$, la limite devient $-\infty$. Le cas $q \le -1$ est celui des suites qui alternent sans se stabiliser : $(-1)^n$ vaut $1$ puis $-1$, et $(-2)^n$ grandit en changeant de signe.

1. Écrire la limite de chaque morceau (cartes « Les limites de référence » et « Limite d'une suite géométrique »).
2. Combiner avec la carte « Les règles d'opérations sur les limites ». Pas de forme indéterminée : c'est terminé.
3. Forme indéterminée : on transforme l'écriture. Somme ou quotient de puissances de $n$ : factoriser par le terme de plus haut degré. Différence de racines : expression conjuguée. Sinus, cosinus ou $(-1)^n$ : encadrer.
Exemple : $u_n = n^2 - 3n$. On a $n^2 \to +\infty$ et $-3n \to -\infty$ : forme $\infty - \infty$.
Pour $n \ge 1$ : $u_n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)$.
$\dfrac{3}{n} \to 0$, donc $1 - \dfrac{3}{n} \to 1$, et $n^2 \to +\infty$.
Sur la copie : « par produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ ». Une forme indéterminée ne veut pas dire « pas de limite » : elle veut dire « transformer avant de conclure ».

1. Nommer $u_n$ (la quantité au bout de $n$ années) et lire $u_0$.
2. Traduire chaque phrase, dans l'ordre de l'énoncé : une baisse de $t\ \%$ multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$, une hausse de $t\ \%$ par $1 + \dfrac{t}{100}$, un ajout de $b$ unités ajoute $b$.
3. Écrire $u_{n+1} = \dots$, puis contrôler en calculant $u_1$ à la main.
Exemple : un étang contient $1000$ poissons. Chaque année, $20\ \%$ des poissons disparaissent, puis on en introduit $300$.
$u_0 = 1000$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300$.
Contrôle : $u_1 = 0{,}8 \times 1000 + 300 = 1100$.
Limite candidate : $\ell = 0{,}8\ell + 300$, donc $0{,}2\ell = 300$, donc $\ell = 1500$. La carte « La suite auxiliaire d'une arithmético-géométrique » donne alors $u_n = 1500 - 500 \times 0{,}8^n$ : la population se rapproche de $1500$ poissons.
Sur la copie : on justifie la relation par une phrase pour chaque nombre.

Pour une relation $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \ne 1$, l'énoncé fait poser $v_n = u_n - \ell$, où $\ell$ est la solution de $\ell = a\ell + b$. On montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, on écrit son terme général, puis on revient à $u_n = v_n + \ell$. Avec $u_0 = 1$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$, donc $\ell = 6$ :
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - 6 = \dfrac{1}{2}(u_n - 6) = \dfrac{1}{2}v_n$
$v_0 = 1 - 6 = -5$, donc $v_n = -5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
$u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, et comme $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on écrit que $(u_n)$ converge vers $6$.

Énoncé : l'étang de la carte « Traduire un énoncé d'évolution en suite », $u_0 = 1000$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300$. On pose $v_n = u_n - 1500$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis donner $u_n$ et sa limite.
On part de $v_{n+1}$ et l'on remplace pas à pas :
$v_{n+1} = u_{n+1} - 1500$ (définition de $v$, au rang $n + 1$)
$v_{n+1} = 0{,}8u_n + 300 - 1500 = 0{,}8u_n - 1200$
$v_{n+1} = 0{,}8(u_n - 1500)$ car $0{,}8 \times 1500 = 1200$
$v_{n+1} = 0{,}8v_n$
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0 = 1000 - 1500 = -500$, et $v_n = -500 \times 0{,}8^n$.
On revient à $u$ : $u_n = v_n + 1500 = 1500 - 500 \times 0{,}8^n$.
Comme $-1 < 0{,}8 < 1$, $0{,}8^n$ tend vers $0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1500$.
Sur la copie : « Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}8v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$. »

Un seuil est le premier rang à partir duquel $u_n$ dépasse une valeur, ou s'approche de sa limite à moins d'une précision donnée. On ignore combien de tours il faudra : la boucle est un while, qui tourne tant que le seuil n'est pas atteint.
1. Initialiser le rang et le terme : n = 0 et u = 1 pour $u_0 = 1$.
2. Écrire la condition contraire de ce que l'on cherche : while 6 - u >= 0.01: pour le premier rang où l'écart à la limite $6$ passe sous $0{,}01$.
3. Dans la boucle, calculer le terme suivant puis avancer le rang : u = 0.5 * u + 3 et n = n + 1.
4. Renvoyer n après la boucle.
Avec $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ et $u_0 = 1$, on a $u_n = 6 - 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ et la fonction renvoie $9$.

Voici la fonction de la carte « Programmer une recherche de seuil », assemblée, pour $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ :

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while 6 - u >= 0.01:
        u = 0.5 * u + 3
        n = n + 1
    return n

print(seuil())

Les lignes décalées vers la droite sont dans la boucle ; return n est en dehors, il s'exécute quand la boucle s'arrête. Le programme affiche 9.
Ce que fait la boucle, tour après tour :



À $n = 9$, l'écart passe sous $0{,}01$ : la condition du while devient fausse et la fonction renvoie $9$.
Sur la copie : « le plus petit entier $n$ tel que $6 - u_n < 0{,}01$ est $n = 9$ ».

Une suite monotone est une suite croissante ou une suite décroissante : elle va toujours dans le même sens. La suite $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est monotone (croissante, voir la carte « Étudier le sens de variation d'une suite ») ; $u_n = (-1)^n$ ne l'est pas, elle monte puis descend sans arrêt.
Une suite non majorée est une suite qu'aucun réel ne majore : quel que soit le réel $A$ choisi, au moins un terme dépasse $A$. Exemple : $u_n = n^2$ ; pour $A = 1000$, on a $u_{32} = 1024 > 1000$, et l'on trouve de même un terme au-dessus de n'importe quel $A$.
À l'inverse, $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est majorée par $1$, puisque $n < n + 1$ donne $\dfrac{n}{n+1} < 1$.
Ce sont les mots de la carte « Convergence d'une suite monotone ».

Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge, sans que le théorème donne la limite. Toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.

C'est la démonstration de cours de la dernière phrase de la carte « Convergence d'une suite monotone ». Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et $A$ un réel quelconque.
1. $A$ n'est pas un majorant, donc il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$.
2. La suite est croissante : pour tout $n \ge N$, $u_n \ge u_N > A$.
3. Tous les termes à partir du rang $N$ sont donc dans $[A\,;+\infty[$, et cela pour n'importe quel $A$ : c'est exactement la définition de $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Exemple : $u_n = \sqrt{n}$ est croissante et non majorée. Pour $A = 100$ : $\sqrt{10\,000} = 100$, donc $u_n \ge 100$ pour tout $n \ge 10\,000$.
Attention, croissante seule ne suffit pas : $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est croissante, mais majorée par $1$, et elle converge vers $1$.

Résultat admis : si $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $\ell = f(\ell)$.
Continue veut dire ici : quand $x$ se rapproche de $\ell$, $f(x)$ se rapproche de $f(\ell)$, sans saut ; la courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions usuelles le sont sur leur ensemble de définition (fonctions affines, polynômes, racine carrée, inverse), et toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue.
Pourquoi : $u_{n+1}$ tend vers $\ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang) et $f(u_n)$ tend vers $f(\ell)$ ; une même suite n'a qu'une limite, donc $\ell = f(\ell)$.
Exemple : l'étang converge vers $1500$, et $0{,}8 \times 1500 + 300 = 1500$.
Piège : l'équation ne prouve pas la convergence. Avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$, $\ell = 2\ell$ donne $\ell = 0$, alors que $u_n = 2^n$ tend vers $+\infty$. On démontre d'abord que la suite converge, puis on résout.

Avant toute démonstration, on regarde la suite : c'est ce qui donne les deux bornes $a$ et $b$ de l'encadrement que la méthode « Suite définie par une fonction croissante » démontre ensuite.
1. Calculer les premiers termes à la calculatrice. Avec $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ : $u_1 \approx 1{,}414$, $u_2 \approx 1{,}848$, $u_3 \approx 1{,}962$, $u_4 \approx 1{,}990$. La suite semble croître et s'approcher de $2$.
2. Chercher le point fixe, le nombre $x$ tel que $f(x) = x$ (on résout l'équation, ou l'on teste la valeur dont les termes s'approchent) : ici $f(2) = \sqrt{2 + 2} = 2$. C'est la limite probable.
3. Prendre $a = u_0 = 0$ et $b = 2$, le point fixe. Si la suite semblait décroître, on prendrait $a$ égal au point fixe et $b = u_0$.
4. Vérifier que $f$ est croissante sur $[0\,;2]$ : quand $x$ augmente, $x + 2$ augmente, et sa racine carrée aussi.
5. Démontrer par récurrence « $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ ».
Sur la copie : « La suite semble croissante et semble converger vers $2$. » est une conjecture ; les valeurs calculées ne prouvent rien, la récurrence de l'étape 5 fait la preuve.

C'est l'exercice de suites le plus fréquent : $u_{n+1} = f(u_n)$, avec $f$ croissante sur un intervalle $[a\,;b]$ qui contient $u_0$.
1. Démontrer par récurrence la propriété $P(n)$ : « $a \le u_n \le u_{n+1} \le b$ ».
2. L'hérédité tient en une ligne : on applique $f$, croissante, à tout l'encadrement $a \le u_k \le u_{k+1} \le b$, ce qui donne $f(a) \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le f(b)$, puis on vérifie que $f(a) \ge a$ et $f(b) \le b$.
3. La suite est donc croissante et majorée par $b$ : elle converge vers un réel $\ell$.
4. Si $f$ est continue, $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ : on résout et l'on garde la solution comprise entre $a$ et $b$.
Avec $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, on prend $a = 0$ et $b = 2$ : $f(0) = \sqrt{2} \ge 0$ et $f(2) = 2$, puis $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ donne $\ell = 2$. Si $u_1 < u_0$, la même récurrence s'écrit avec $u_{n+1} \le u_n$ : la suite décroît et elle est minorée.

Énoncé : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Montrer que $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$, puis trouver la limite.
Initialisation : $u_1 = \sqrt{2}$ et $0 \le 0 \le \sqrt{2} \le 2$.
Hérédité : on suppose $0 \le u_k \le u_{k+1} \le 2$. On ajoute $2$ : $2 \le u_k + 2 \le u_{k+1} + 2 \le 4$. La racine carrée est croissante : $\sqrt{2} \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 2$, et $0 \le \sqrt{2}$.
Conclusion : pour tout $n$, $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$. Donc $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers un réel $\ell$ avec $0 \le \ell \le 2$.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x + 2}$ est continue, donc $\ell = \sqrt{\ell + 2}$. On élève au carré : $\ell^2 = \ell + 2$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, $\Delta = 1 + 8 = 9$, d'où $\ell = -1$ ou $\ell = 2$. Comme $\ell \ge 0$, $\ell = 2$, et l'on contrôle : $\sqrt{2 + 2} = 2$.

Pour une suite explicite $u_n = f(n)$, si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, la suite est croissante. Pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, c'est faux : la croissance de $f$ ne donne pas le sens de variation de la suite.
Contre-exemple : $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$ est croissante. Avec $u_0 = 8$ : $u_1 = 7$, puis $u_2 = 6{,}5$, la suite décroît. Avec $u_0 = 1$ : $u_1 = 3{,}5$, puis $u_2 = 4{,}75$, la suite croît. Même fonction, sens opposés : tout dépend du premier terme.
Pour l'éviter : on compare $u_0$ et $u_1$, puis on démontre $u_n \le u_{n+1}$ (ou $u_{n+1} \le u_n$) par récurrence, comme dans la carte « Suite définie par une fonction croissante », ou on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.