Probabilités

Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Revient dans 16 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Loi binomiale et somme de variables aléatoires, Concentration et loi des grands nombres

Comment la reconnaître

L'énoncé décrit une situation en deux temps (une catégorie puis un résultat) et demande la probabilité globale d'un évènement final, sans la donner directement.

Méthode, étape par étape

1
Compléter l'arbre
Les probabilités des branches issues d'un même nœud somment à $1$ : cela donne directement les branches « contraires » que l'énoncé ne fournit pas.
2
Calculer une probabilité conjointe
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin :

$P(M_i \cap D) = P(M_i) \times P_{M_i}(D).$
3
Sommer les chemins qui mènent à l'évènement final
La formule des probabilités totales additionne toutes les branches qui aboutissent au même évènement :

$P(D) = \sum_i P(M_i) \times P_{M_i}(D).$

Exemple de rédaction

Une usine produit des pièces sur deux machines :

M_1

(60 % de la production),

M_2

(40 %). Une pièce issue de

M_1

est défectueuse avec probabilité

0{,}05

, une pièce issue de

M_2

avec probabilité

0{,}03

. On choisit une pièce au hasard et on note

D

: « la pièce est défectueuse ».

Calculer $P(D)$ .

P(D) = P(M_1)\times P_{M_1}(D) + P(M_2)\times P_{M_2}(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}03 = 0{,}03 + 0{,}012 = 0{,}042.

Ce qui fait gagner les points

Écrire la somme des deux produits explicitement, terme par terme, avant de donner le résultat : c'est cette ligne qui rapporte les points, pas le nombre final seul.

Pièges classiques

Additionner $P(M_i)$ et $P_{M_i}(D)$ au lieu de les multiplier : une probabilité conjointe est toujours un produit le long du chemin.
Oublier une branche de l'arbre dans la somme finale : compter le nombre de chemins qui mènent à l'évènement avant de sommer.
Confondre $P_{M_1}(D)$ (sachant $M_1$ ) et $P(M_1 \cap D)$ (l'intersection) : le premier se lit sur l'arbre, le second se calcule.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Compléter l'arbre

Les probabilités des branches issues d'un même nœud somment à

1

: cela donne directement les branches « contraires » que l'énoncé ne fournit pas.

Calculer une probabilité conjointe

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin :

P(M_i \cap D) = P(M_i) \times P_{M_i}(D).

Sommer les chemins qui mènent à l'évènement final

La formule des probabilités totales additionne toutes les branches qui aboutissent au même évènement :

P(D) = \sum_i P(M_i) \times P_{M_i}(D).