Probabilités

Fluctuation et concentration (inégalité de Bienaymé-Tchebychev)

Revient dans 8 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Concentration et loi des grands nombres

Comment la reconnaître

La question porte sur un grand échantillon et demande de majorer une probabilité d'écart à la moyenne, ou de trouver une taille d'échantillon garantissant une précision donnée.

Méthode, étape par étape

1
Identifier E(X) et V(X) sur une observation
Calculer d'abord l'espérance et la variance de la variable $X$ pour un seul individu ou tirage : tout le reste s'en déduit.
2
Passer à la moyenne Mₙ sur n observations
$E(M_n) = E(X) \qquad V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}.$
3
Appliquer l'inégalité de concentration
Pour tout $\delta > 0$ :

$P\big(|M_n - E(X)| \ge \delta\big) \le \dfrac{V(X)}{n\,\delta^{2}}.$
4
Isoler n pour une taille d'échantillon
Si la question demande une précision $\delta$ garantie avec une probabilité d'erreur $\alpha$ , résoudre $\dfrac{V(X)}{n\,\delta^2} \le \alpha$ pour trouver le plus petit $n$ qui convient.

Exemple de rédaction

Le nombre

X

de baguettes achetées par un client suit une loi avec

E(X) = 1{,}6

V(X) = 0{,}84

. Pour

100

clients indépendants,

M_{100}

est le nombre moyen de baguettes par client.

Montrer que $P\big(|M_{100} - 1{,}6| \ge 0{,}2\big) \le 0{,}21$ .

P\big(|M_{100} - 1{,}6| \ge 0{,}2\big) \le \dfrac{V(X)}{100 \times 0{,}2^{2}} = \dfrac{0{,}84}{4} = 0{,}21.

C'est une majoration, pas la valeur exacte de la probabilité.

Ce qui fait gagner les points

Toujours conclure par une phrase d'interprétation : l'inégalité majore une probabilité, elle ne la calcule pas exactement.

Pièges classiques

Confondre $V(X)$ (un individu) et $V(M_n)$ (la moyenne) : la seconde vaut la première divisée par $n$ , jamais l'inverse.
Présenter le résultat comme une égalité : l'inégalité de concentration donne toujours un majorant, le « $\le$ » doit rester dans la réponse finale.
Oublier d'élever $\delta$ au carré au dénominateur : une erreur fréquente qui fausse tout le majorant.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Identifier E(X) et V(X) sur une observation

Calculer d'abord l'espérance et la variance de la variable

X

pour un seul individu ou tirage : tout le reste s'en déduit.

Passer à la moyenne Mₙ sur n observations

E(M_n) = E(X) \qquad V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}.

Appliquer l'inégalité de concentration

Pour tout

\delta > 0

P\big(|M_n - E(X)| \ge \delta\big) \le \dfrac{V(X)}{n\,\delta^{2}}.

Isoler n pour une taille d'échantillon

Si la question demande une précision

\delta

garantie avec une probabilité d'erreur

\alpha

, résoudre

\dfrac{V(X)}{n\,\delta^2} \le \alpha

pour trouver le plus petit

n

qui convient.

Exemple de rédaction

Le nombre

X

de baguettes achetées par un client suit une loi avec

E(X) = 1{,}6

V(X) = 0{,}84

. Pour

100

clients indépendants,

M_{100}

est le nombre moyen de baguettes par client.

Montrer que $P\big(|M_{100} - 1{,}6| \ge 0{,}2\big) \le 0{,}21$ .

P\big(|M_{100} - 1{,}6| \ge 0{,}2\big) \le \dfrac{V(X)}{100 \times 0{,}2^{2}} = \dfrac{0{,}84}{4} = 0{,}21.

C'est une majoration, pas la valeur exacte de la probabilité.

Ce qui fait gagner les points

Toujours conclure par une phrase d'interprétation : l'inégalité majore une probabilité, elle ne la calcule pas exactement.

Pièges classiques

Confondre $V(X)$ (un individu) et $V(M_n)$ (la moyenne) : la seconde vaut la première divisée par

n

, jamais l'inverse.

Présenter le résultat comme une égalité : l'inégalité de concentration donne toujours un majorant, le «

\le

» doit rester dans la réponse finale.

Oublier d'élever $\delta$ au carré au dénominateur : une erreur fréquente qui fausse tout le majorant.