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Convexité : signe de $f''$ et point d'inflexion

Revient dans 11 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Convexité, composée et fonctions trigonométriques

Comment la reconnaître

L'énoncé demande d'étudier la convexité de

f

, de situer sa courbe par rapport à une tangente, ou de prouver une inégalité du type

f(x) \ge

(expression affine).

Méthode, étape par étape

1
Calculer f″ et étudier son signe
$f$ est convexe là où $f''(x) \ge 0$ (courbe au-dessus de ses tangentes), concave là où $f''(x) \le 0$ (courbe en-dessous).
2
Repérer un changement de signe : le point d'inflexion
Si $f''$ s'annule en changeant de signe en un point $a$ , la courbe traverse sa tangente en ce point : $a$ est l'abscisse d'un point d'inflexion.
3
Exploiter la convexité pour une inégalité
Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes : en particulier au-dessus de la tangente en un point choisi, ce qui donne une inégalité globale sur l'intervalle de convexité.

Exemple de rédaction

Soit

f(x) = \mathrm{e}^{x}\sin(x)

sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

, avec

f''(x) = 2\mathrm{e}^{x}\cos(x)

et tangente

T

0

d'équation

y = x

.

Démontrer que $f$ est convexe sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , puis que $\mathrm{e}^{x}\sin(x) \ge x$ sur cet intervalle.

Sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

\cos x \ge 0

\mathrm{e}^{x} > 0

, donc

f''(x) \ge 0

f

est convexe.

f

convexe sur cet intervalle

\Rightarrow

sa courbe est au-dessus de sa tangente

T : y = x

, donc :

f(x) \ge x, \quad\text{soit}\quad \mathrm{e}^{x}\sin(x) \ge x.

Ce qui fait gagner les points

Nommer explicitement la propriété utilisée (« courbe convexe au-dessus de sa tangente ») avant d'écrire l'inégalité : c'est elle qui justifie le passage, pas un simple calcul.

Pièges classiques

Confondre convexe et croissante : la convexité porte sur $f''$ (la courbure), la croissance sur $f'$ (la pente), ce sont deux informations indépendantes.
Annoncer un point d'inflexion sans vérifier le changement de signe : $f''(a) = 0$ seul ne suffit pas, il faut que le signe change de part et d'autre de $a$ .
Utiliser la tangente en un point différent de celui où l'énoncé la donne : l'inégalité obtenue dépend entièrement du point de tangence choisi.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Calculer f″ et étudier son signe

f

est convexe là où

f''(x) \ge 0

(courbe au-dessus de ses tangentes), concave là où

f''(x) \le 0

(courbe en-dessous).

Repérer un changement de signe : le point d'inflexion

f''

s'annule en changeant de signe en un point

a

, la courbe traverse sa tangente en ce point :

a

est l'abscisse d'un point d'inflexion.

Exploiter la convexité pour une inégalité

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes : en particulier au-dessus de la tangente en un point choisi, ce qui donne une inégalité globale sur l'intervalle de convexité.

Exemple de rédaction

Soit

f(x) = \mathrm{e}^{x}\sin(x)

sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

, avec

f''(x) = 2\mathrm{e}^{x}\cos(x)

et tangente

T

0

d'équation

y = x

.

Démontrer que $f$ est convexe sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , puis que $\mathrm{e}^{x}\sin(x) \ge x$ sur cet intervalle.

Sur

\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

\cos x \ge 0

\mathrm{e}^{x} > 0

, donc

f''(x) \ge 0

f

est convexe.

f

convexe sur cet intervalle

\Rightarrow

sa courbe est au-dessus de sa tangente

T : y = x

, donc :

f(x) \ge x, \quad\text{soit}\quad \mathrm{e}^{x}\sin(x) \ge x.

Ce qui fait gagner les points

Nommer explicitement la propriété utilisée (« courbe convexe au-dessus de sa tangente ») avant d'écrire l'inégalité : c'est elle qui justifie le passage, pas un simple calcul.

Pièges classiques

Confondre convexe et croissante : la convexité porte sur

f''

(la courbure), la croissance sur

f'

(la pente), ce sont deux informations indépendantes.

Annoncer un point d'inflexion sans vérifier le changement de signe :

f''(a) = 0

seul ne suffit pas, il faut que le signe change de part et d'autre de

a

Utiliser la tangente en un point différent de celui où l'énoncé la donne : l'inégalité obtenue dépend entièrement du point de tangence choisi.

Convexité : signe de f′′f''f′′ et point d'inflexion

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Convexité : signe de f′′f''f′′ et point d'inflexion

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Convexité : signe de $f''$ et point d'inflexion

Convexité : signe de $f''$ et point d'inflexion