Revient dans 9 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Limites et continuité
Comment la reconnaître
Une limite mêle une puissance de x et une exponentielle ou un logarithme, et la forme obtenue directement est indéterminée (0×∞, ∞−∞...).
Méthode, étape par étape
1
Reconnaître la forme indéterminée
Un produit ou quotient d'une puissance de x par ex ou lnx, dont chaque facteur tend séparément vers 0 ou ±∞.
2
Appliquer directement le théorème
En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x ; en 0+ ou en +∞, x l'emporte sur lnx :
x→+∞limxnex=+∞x→0+limxlnx=0x→+∞limxlnx=0.
3
Ramener une forme composée à la forme du théorème
Si l'expression n'est pas exactement celle du cours, factoriser ou poser un changement de variable simple pour s'y ramener, puis citer le théorème par son nom.
Exemple de rédaction
Déterminer x→+∞limx2e−x.
x2e−x=exx2.
Par croissances comparées, ex l'emporte sur x2 en +∞ :
x→+∞limexx2=0,doncx→+∞limx2e−x=0.
Ce qui fait gagner les points
Nommer le théorème (« par croissances comparées ») avant de donner la limite : une limite juste sans cette référence n'est pas considérée comme justifiée au bac.
Pièges classiques
Appliquer le théorème sans avoir ramené l'expression à sa forme exacte : x2e−x doit d'abord se réécrire en quotient exx2.
Confondre le sens de la limite : en 0+, c'est x qui l'emporte sur lnx (le produit tend vers 0, pas vers −∞).
Oublier le signe dans une expression comme xlnx pour x→0+ : lnx→−∞ mais le produit tend bien vers 0, pas vers −∞.