Géométrie dans l'espace

Distance d'un point à un plan via le projeté orthogonal

Revient dans 10 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Produit scalaire dans l'espace, Droites et plans de l'espace

Comment la reconnaître

L'énoncé demande les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan (pas seulement une distance), ou fait utiliser ce projeté dans une question suivante.

Méthode, étape par étape

1
Représentation paramétrique de la perpendiculaire
La droite passant par le point $C$ et dirigée par le vecteur normal $\vec{n}$ du plan $\mathscr{P}$ est orthogonale à $\mathscr{P}$ : c'est sur cette droite que se trouve le projeté.
2
Injecter dans l'équation du plan
Remplacer $x$ , $y$ , $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne de $\mathscr{P}$ , et résoudre en le paramètre : on obtient le point d'intersection, qui est le projeté orthogonal.
3
Calculer la distance
La distance de $C$ au plan est la longueur du segment entre $C$ et son projeté $D$ :

$CD = \sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2+(z_D-z_C)^2}.$

Exemple de rédaction

Le plan

\mathscr{P}

a pour équation

2x+y+2z-14=0

. Soit

C(1\,;1\,;1)

D(3\,;2\,;3)

.

Démontrer que $D$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\mathscr{P}$ , puis calculer la distance de $C$ à $\mathscr{P}$ .

\overrightarrow{CD}(2\,;1\,;2)

est colinéaire au vecteur normal

\vec{n}(2\,;1\,;2)

\mathscr{P}

: la droite

(CD)

est orthogonale à

\mathscr{P}

D

vérifie l'équation de

\mathscr{P}

2\times 3 + 2 + 2\times 3 - 14 = 6+2+6-14 = 0

, donc

D \in \mathscr{P}

(CD)

orthogonale à

\mathscr{P}

D \in \mathscr{P}

D

est donc le projeté orthogonal de

C

sur

\mathscr{P}

CD = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = \sqrt{9} = 3.

Ce qui fait gagner les points

Les deux conditions doivent être vérifiées et écrites séparément :

(CD)

orthogonale au plan et

D

appartient au plan. L'une sans l'autre ne prouve pas que

D

est le projeté.

Pièges classiques

Vérifier une seule des deux conditions (colinéarité au normal, ou appartenance au plan) : les deux sont nécessaires pour conclure.
Confondre le vecteur normal du plan avec un vecteur directeur d'une droite du plan : c'est le normal qui dirige la perpendiculaire au plan.
Utiliser la formule directe de distance point-plan quand l'énoncé demande explicitement les coordonnées du projeté : dans ce cas, il faut bien construire $D$ , la formule seule ne suffit pas à répondre à la question posée.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Représentation paramétrique de la perpendiculaire

La droite passant par le point

C

et dirigée par le vecteur normal

\vec{n}

du plan

\mathscr{P}

est orthogonale à

\mathscr{P}

: c'est sur cette droite que se trouve le projeté.

Injecter dans l'équation du plan

Remplacer

x

y

z

de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne de

\mathscr{P}

, et résoudre en le paramètre : on obtient le point d'intersection, qui est le projeté orthogonal.

Calculer la distance

La distance de

C

au plan est la longueur du segment entre

C

et son projeté

D

CD = \sqrt{(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2+(z_D-z_C)^2}.

Exemple de rédaction

Le plan

\mathscr{P}

a pour équation

2x+y+2z-14=0

. Soit

C(1\,;1\,;1)

D(3\,;2\,;3)

.

Démontrer que $D$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\mathscr{P}$ , puis calculer la distance de $C$ à $\mathscr{P}$ .

\overrightarrow{CD}(2\,;1\,;2)

est colinéaire au vecteur normal

\vec{n}(2\,;1\,;2)

\mathscr{P}

: la droite

(CD)

est orthogonale à

\mathscr{P}

D

vérifie l'équation de

\mathscr{P}

2\times 3 + 2 + 2\times 3 - 14 = 6+2+6-14 = 0

, donc

D \in \mathscr{P}

(CD)

orthogonale à

\mathscr{P}

D \in \mathscr{P}

D

est donc le projeté orthogonal de

C

sur

\mathscr{P}

CD = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = \sqrt{9} = 3.

Ce qui fait gagner les points

Les deux conditions doivent être vérifiées et écrites séparément :

(CD)

orthogonale au plan et

D

appartient au plan. L'une sans l'autre ne prouve pas que

D

est le projeté.

Pièges classiques

Vérifier une seule des deux conditions (colinéarité au normal, ou appartenance au plan) : les deux sont nécessaires pour conclure.

Confondre le vecteur normal du plan avec un vecteur directeur d'une droite du plan : c'est le normal qui dirige la perpendiculaire au plan.

Utiliser la formule directe de distance point-plan quand l'énoncé demande explicitement les coordonnées du projeté : dans ce cas, il faut bien construire

D

, la formule seule ne suffit pas à répondre à la question posée.