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Équation différentielle $y' = ay + b$ : solution générale et condition initiale

Revient dans 8 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Primitives et équations différentielles

Comment la reconnaître

L'énoncé donne une équation reliant une fonction inconnue et sa dérivée, du type

y' = ay + b

(avec

a, b

réels,

a \ne 0

), et une condition initiale

y(0) = \ldots

Méthode, étape par étape

1
Identifier a et b
Mettre l'équation sous la forme $y' = a\,y + b$ en identifiant précisément les constantes $a$ et $b$ (attention aux signes).
2
Écrire la solution générale
Les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions :

$y(t) = K\,\mathrm{e}^{at} - \dfrac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}.$
3
Fixer K avec la condition initiale
Remplacer $t = 0$ dans l'expression générale et résoudre en $K$ à partir de la valeur initiale donnée par l'énoncé.
4
Exploiter la solution (variations, limite)
Le signe de $a$ donne directement le sens de variation et la limite en $+\infty$ de $\mathrm{e}^{at}$ , donc de la solution complète.

Exemple de rédaction

Une tasse de thé à

90

°C refroidit dans une pièce à

20

°C :

\theta

vérifie

(E) : \theta' = -0{,}1\,\theta + 2

avec

\theta(0) = 90

.

Résoudre $(E)$ , puis déterminer $\theta(t)$ .

Ici

a = -0{,}1

b = 2

, donc

-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20

. Les solutions de

(E)

sont :

\theta(t) = K\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20, \quad K \in \mathbb{R}.

\theta(0) = K + 20 = 90

donne

K = 70

, donc :

\theta(t) = 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20.

Comme

-0{,}1 < 0

\mathrm{e}^{-0{,}1t} \to 0

+\infty

, donc

\theta(t) \to 20

: le thé se rapproche de la température de la pièce sans jamais descendre en dessous.

Ce qui fait gagner les points

Calculer

-\dfrac{b}{a}

à part, avant d'écrire la solution générale : une erreur de signe à cette étape se propage à toute la suite de l'exercice.

Pièges classiques

Se tromper de signe dans $-\dfrac{b}{a}$ : toujours vérifier en substituant la constante trouvée dans l'équation $(E)$ d'origine.
Oublier le $K\,\mathrm{e}^{at}$ et ne garder que la constante $-\dfrac{b}{a}$ : la solution générale est une famille de fonctions, pas une seule.
Appliquer la condition initiale avant d'avoir écrit la forme générale complète : le calcul de $K$ doit venir en dernier, une fois la famille de solutions posée.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Identifier a et b

Mettre l'équation sous la forme

y' = a\,y + b

en identifiant précisément les constantes

a

b

(attention aux signes).

Écrire la solution générale

Les solutions de

(E)

sont exactement les fonctions :

y(t) = K\,\mathrm{e}^{at} - \dfrac{b}{a}, \quad K \in \mathbb{R}.

Fixer K avec la condition initiale

Remplacer

t = 0

dans l'expression générale et résoudre en

K

à partir de la valeur initiale donnée par l'énoncé.

Exploiter la solution (variations, limite)

Le signe de

a

donne directement le sens de variation et la limite en

+\infty

\mathrm{e}^{at}

, donc de la solution complète.

Exemple de rédaction

Une tasse de thé à

90

°C refroidit dans une pièce à

20

°C :

\theta

vérifie

(E) : \theta' = -0{,}1\,\theta + 2

avec

\theta(0) = 90

.

Résoudre $(E)$ , puis déterminer $\theta(t)$ .

Ici

a = -0{,}1

b = 2

, donc

-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20

. Les solutions de

(E)

sont :

\theta(t) = K\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20, \quad K \in \mathbb{R}.

\theta(0) = K + 20 = 90

donne

K = 70

, donc :

\theta(t) = 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} + 20.

Comme

-0{,}1 < 0

\mathrm{e}^{-0{,}1t} \to 0

+\infty

, donc

\theta(t) \to 20

: le thé se rapproche de la température de la pièce sans jamais descendre en dessous.

Ce qui fait gagner les points

Calculer

-\dfrac{b}{a}

à part, avant d'écrire la solution générale : une erreur de signe à cette étape se propage à toute la suite de l'exercice.

Pièges classiques

Se tromper de signe dans $-\dfrac{b}{a}$ : toujours vérifier en substituant la constante trouvée dans l'équation

(E)

d'origine.

Oublier le $K\,\mathrm{e}^{at}$ et ne garder que la constante

-\dfrac{b}{a}

: la solution générale est une famille de fonctions, pas une seule.

Appliquer la condition initiale avant d'avoir écrit la forme générale complète : le calcul de

K

doit venir en dernier, une fois la famille de solutions posée.

Équation différentielle y′=ay+by' = ay + by′=ay+b : solution générale et condition initiale

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

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