Fonction auxiliaire pour piloter le signe de $f'$

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

• 1

  Isoler le facteur qui pilote le signe

  Écrire $f'(x) = \dfrac{g(x)}{d(x)}$ (ou $f'(x) = g(x) \times d(x)$) où $d(x)$ (le dénominateur, ou l'autre facteur) est de signe connu et constant sur le domaine.
• 2

  Étudier g pour elle-même

  $g$ se dérive et s'étudie comme une fonction à part entière : calculer $g'$, en déduire le tableau de variations de $g$.
• 3

  Localiser le ou les zéros de g

  Si $g$ ne s'annule pas en une valeur simple, invoquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle où $g$ est strictement monotone pour justifier un unique zéro $\alpha$ (encadré à la calculatrice si demandé).
• 4

  Revenir à f et conclure

  Comme $d(x)$ garde un signe constant, $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$ : le tableau de signes de $g$ donne directement le tableau de variations de $f$.

Cette question, en vrai

• Amérique du Sud 2022 (J2) : Fonction logarithme, fonction auxiliaire, variations et convexitéPrép Bac
• Type bac : Étude d'une fonction avec logarithmePrép Bac