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Comment la reconnaître
L'énoncé définit In=∫abh(x)ng(x)dx (souvent avec une puissance de x et une exponentielle) et demande une relation entre In+1 et In.
Méthode, étape par étape
1
Choisir u et v′ dans le bon sens
Dériver la puissance (u=xn+1, qui devient u′=(n+1)xn) et intégrer la partie facile à primitiver (v′=ex, ou similaire) : c'est ce choix qui fait baisser la puissance.
2
Appliquer la formule de l'IBP
∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx.
3
Reconnaître I_n dans le résultat
Le terme intégral restant après l'IBP est, à une constante près, In lui-même : c'est ce qui donne la relation de récurrence entre In+1 et In.
Exemple de rédaction
On pose In=∫01xnexdx pour tout entier n≥0.
Établir une relation entre In+1 et In.
On pose u(x)=xn+1, u′(x)=(n+1)xn, v′(x)=ex, v(x)=ex : ces fonctions sont de classe C1 sur [0;1].
L'intégration par parties donne :
In+1=[xn+1ex]01−(n+1)∫01xnexdx=e−(n+1)In.
Ce qui fait gagner les points
Écrire explicitement u, u′, v′, v avant d'appliquer la formule, et préciser qu'ils sont de classe C1 : cette phrase de justification est attendue et notée.
Pièges classiques
Choisir u et v′ dans le mauvais sens : intégrer la puissance de x au lieu de la dériver fait remonter la puissance au lieu de la faire baisser, l'IBP ne simplifie plus rien.
Ne pas reconnaître In dans l'intégrale restante après l'IBP : c'est cette reconnaissance qui transforme le calcul en relation de récurrence.
Oublier le crochet [u(x)v(x)]ab ou se tromper en l'évaluant aux bornes : une erreur fréquente est d'oublier la valeur en la borne inférieure.