Prouver une inégalité par étude de la fonction différence
Revient dans 7 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Fonction logarithme, Limites et continuité
Comment la reconnaître
L'énoncé demande de démontrer une inégalité entre deux expressions, du type f(x)≤g(x) pour tout x d'un intervalle, sans qu'un argument de convexité ne soit fourni.
Méthode, étape par étape
1
Former la fonction différence
Poser h(x)=g(x)−f(x) : montrer f(x)≤g(x) revient exactement à montrer h(x)≥0.
2
Étudier les variations de h
Calculer h′(x), dresser le tableau de variations de h pour trouver son minimum sur l'intervalle étudié.
3
Conclure sur le signe du minimum
Si le minimum de h est ≥0, alors h(x)≥0 pour tout x de l'intervalle, ce qui achève la preuve de l'inégalité.
Exemple de rédaction
Démontrer que pour tout x>0, lnx≤x−1.
On étudie f(x)=x−lnx sur ]0;+∞[.
f′(x)=1−x1=xx−1.
Sur ]0;+∞[, x>0 donc le signe de f′(x) est celui de x−1 : négatif sur ]0;1[, positif sur ]1;+∞[.
f admet donc un minimum en x=1, valant f(1)=1−ln1=1.
Pour tout x>0, f(x)≥f(1)=1≥0, c'est-à-dire x−lnx≥0, soit lnx≤x−1.
Ce qui fait gagner les points
La phrase de conclusion « pour tout x, f(x)≥ [le minimum] » doit apparaître explicitement : c'est elle qui transforme un tableau de variations en preuve d'inégalité.
Pièges classiques
Étudier f−g au lieu de g−f : le sens de la différence doit correspondre exactement au sens de l'inégalité à prouver, sinon la conclusion s'inverse.
S'arrêter au tableau de variations sans écrire la phrase de conclusion reliant le minimum à l'inégalité demandée.
Oublier de vérifier le signe du minimum lui-même : un minimum peut être négatif, auquel cas l'inégalité voulue n'est pas démontrée par cette méthode.