Probabilités

Reconnaître et exploiter une loi binomiale

Revient dans 14 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Loi binomiale et somme de variables aléatoires

Comment la reconnaître

Une même épreuve à deux issues (« succès » / « échec ») est répétée un nombre fixé de fois, de façon indépendante, avec la même probabilité de succès à chaque fois.

Méthode, étape par étape

1
Justifier les trois conditions
Un nombre fixé $n$ de répétitions, indépendantes, d'une épreuve à deux issues de probabilité $p$ constante. Le « tirage avec remise » (ou son approximation pour un grand stock) est l'indice qui garantit l'indépendance.
2
Écrire la loi et ses paramètres
$X \sim \mathcal{B}(n\,;p).$
3
Calculer avec la formule ou son complémentaire
$P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

Pour « au moins un », passer systématiquement par l'évènement contraire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ .
4
Espérance et variance
$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p).$

Exemple de rédaction

Dans une usine,

3\,\%

des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de

n = 50

pièces (tirage assimilé à un tirage avec remise).

X

= nombre de pièces défectueuses du lot.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète

n = 50

fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli à deux issues (« défectueuse » avec probabilité

p = 0{,}03

, « conforme » sinon).

X

compte les succès :

X \sim \mathcal{B}(50\,;0{,}03).

Ce qui fait gagner les points

La phrase de justification (n, indépendance, deux issues, p constant) est notée pour elle-même : elle doit apparaître avant tout calcul, même si la loi paraît « évidente ».

Pièges classiques

Calculer directement sans justifier la loi : la justification des trois conditions est une compétence évaluée à part entière.
Oublier de vérifier l'indépendance quand le tirage se fait sans remise : dans ce cas, ce n'est pas une loi binomiale, sauf approximation explicitement admise par l'énoncé pour un grand effectif.
Traiter « au plus » et « au moins » de la même façon : « au moins $k$ » passe par le complémentaire $P(X < k)$ , « au plus $k$ » se calcule ou se lit directement en cumulée.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Justifier les trois conditions

Un nombre fixé

n

de répétitions, indépendantes, d'une épreuve à deux issues de probabilité

p

constante. Le « tirage avec remise » (ou son approximation pour un grand stock) est l'indice qui garantit l'indépendance.

Écrire la loi et ses paramètres

X \sim \mathcal{B}(n\,;p).

Calculer avec la formule ou son complémentaire

P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.

Pour « au moins un », passer systématiquement par l'évènement contraire :

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)

Espérance et variance

E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p).

Exemple de rédaction

Dans une usine,

3\,\%

des pièces produites sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de

n = 50

pièces (tirage assimilé à un tirage avec remise).

X

= nombre de pièces défectueuses du lot.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète

n = 50

fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli à deux issues (« défectueuse » avec probabilité

p = 0{,}03

, « conforme » sinon).

X

compte les succès :

X \sim \mathcal{B}(50\,;0{,}03).

Ce qui fait gagner les points

La phrase de justification (n, indépendance, deux issues, p constant) est notée pour elle-même : elle doit apparaître avant tout calcul, même si la loi paraît « évidente ».

Pièges classiques

Calculer directement sans justifier la loi : la justification des trois conditions est une compétence évaluée à part entière.

Oublier de vérifier l'indépendance quand le tirage se fait sans remise : dans ce cas, ce n'est pas une loi binomiale, sauf approximation explicitement admise par l'énoncé pour un grand effectif.

Traiter « au plus » et « au moins » de la même façon : « au moins

k

» passe par le complémentaire

P(X < k)

, « au plus

k

» se calcule ou se lit directement en cumulée.