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Comment la reconnaître
L'énoncé donne deux droites (par leur représentation paramétrique, ou par deux points chacune) et demande si elles sont parallèles, sécantes, ou non coplanaires.
Méthode, étape par étape
1
Comparer les vecteurs directeurs
S'ils sont colinéaires (coordonnées proportionnelles), les droites sont parallèles (confondues si un point commun, strictement parallèles sinon).
2
Sinon, tester la coplanarité
Calculer le déterminant des deux vecteurs directeurs et d'un vecteur reliant un point de chaque droite :
det(u,v,P1P2).
Nul ⇔ les droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles), non nul ⇔non coplanaires.
3
Si coplanaires et non parallèles : résoudre le système
Égaler les deux représentations paramétriques avec des paramètres différents (s et t) : un couple solution donne les droites sécantes, un système incompatible confirmerait plutôt un parallélisme déjà écarté.
Exemple de rédaction
La droite (d) a pour représentation paramétrique ⎩⎨⎧x=3−2ty=−1z=2−6t, t∈R, et on considère l'axe des ordonnées.
Les droites (d) et l'axe des ordonnées sont-elles coplanaires ?
(d) a pour vecteur directeur u(−2;0;−6) et passe par P(3;−1;2). L'axe des ordonnées passe par O avec j(0;1;0).
det(u,j,OP)=−20−60103−12=14=0.
Le déterminant n'est pas nul : les droites (d) et l'axe des ordonnées ne sont pas coplanaires.
Ce qui fait gagner les points
Toujours commencer par le test le plus simple (colinéarité des directeurs) avant de calculer un déterminant : c'est souvent inutile si les droites sont déjà reconnues parallèles.
Pièges classiques
Conclure « sécantes » dès que le déterminant est nul : un déterminant nul signifie coplanaires, ce qui inclut aussi le cas parallèle, déjà écarté à l'étape précédente seulement.
Utiliser le même paramètre pour les deux droites en cherchant une intersection : chaque droite a son propre paramètre, il en faut deux distincts dans le système.
Oublier de vérifier la troisième équation une fois s et t trouvés avec les deux premières : sans cette vérification, rien ne garantit que le système entier est compatible.