Probabilités

Probabilité conditionnelle « à rebours » (Bayes)

Revient dans 12 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Loi binomiale et somme de variables aléatoires

Comment la reconnaître

L'arbre donne

P_{M_i}(D)

(la probabilité connaissant la catégorie), mais la question demande l'inverse :

P_D(M_i)

, la probabilité de la catégorie connaissant le résultat.

1
Repérer le sens de la conditionnelle demandée
Si l'arbre est construit dans le sens $M_i \to D$ , une question « sachant que $D$ est réalisé, quelle probabilité que ce soit $M_i$ » est à rebours de l'arbre.
2
Appliquer la définition
$P_D(M_i) = \dfrac{P(M_i \cap D)}{P(D)}.$
3
Calculer numérateur et dénominateur séparément
Le numérateur $P(M_i \cap D)$ se lit sur l'arbre (un seul chemin). Le dénominateur $P(D)$ vient de la formule des probabilités totales, déjà calculée si la question précédente la demandait.

Avec la même usine que précédemment (

P(M_1) = 0{,}6

P_{M_1}(D) = 0{,}05

P(M_2) = 0{,}4

P_{M_2}(D) = 0{,}03

P(D) = 0{,}042

) :

Sachant que la pièce choisie est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de $M_1$ .

P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}042} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}714.

Ce qui fait gagner les points

Écrire la formule

P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)}

avant de remplacer les valeurs : la formule seule prouve que le sens de la conditionnelle est compris.

Répondre directement $P_{M_1}(D)$ (déjà donné dans l'énoncé) à la place de $P_D(M_1)$ : relire la question pour identifier qui conditionne qui.
Recalculer $P(D)$ à partir de zéro alors qu'il a déjà été demandé dans une question précédente : le réutiliser.
Oublier de simplifier ou d'arrondir comme demandé : une fraction exacte est parfois attendue, parfois une valeur arrondie, l'énoncé le précise.

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Méthode, étape par étape

Repérer le sens de la conditionnelle demandée

Si l'arbre est construit dans le sens

M_i \to D

, une question « sachant que

D

est réalisé, quelle probabilité que ce soit

M_i

» est à rebours de l'arbre.

Appliquer la définition

P_D(M_i) = \dfrac{P(M_i \cap D)}{P(D)}.

Calculer numérateur et dénominateur séparément

Le numérateur

P(M_i \cap D)

se lit sur l'arbre (un seul chemin). Le dénominateur

P(D)

vient de la formule des probabilités totales, déjà calculée si la question précédente la demandait.

Exemple de rédaction

Avec la même usine que précédemment (

P(M_1) = 0{,}6

P_{M_1}(D) = 0{,}05

P(M_2) = 0{,}4

P_{M_2}(D) = 0{,}03

P(D) = 0{,}042

) :

Sachant que la pièce choisie est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de $M_1$ .

P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}042} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}714.

Ce qui fait gagner les points

Écrire la formule

P_D(M_1) = \dfrac{P(M_1 \cap D)}{P(D)}

avant de remplacer les valeurs : la formule seule prouve que le sens de la conditionnelle est compris.

Pièges classiques

Répondre directement $P_{M_1}(D)$ (déjà donné dans l'énoncé) à la place de

P_D(M_1)

: relire la question pour identifier qui conditionne qui.

Recalculer $P(D)$ à partir de zéro alors qu'il a déjà été demandé dans une question précédente : le réutiliser.

Oublier de simplifier ou d'arrondir comme demandé : une fraction exacte est parfois attendue, parfois une valeur arrondie, l'énoncé le précise.