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Algorithme Python : trouver un seuil par une boucle « tant que »

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Comment la reconnaître

L'énoncé fournit un script Python avec une boucle while qui recalcule un terme de la suite et incrémente un compteur, et demande d'interpréter ou de déterminer la valeur renvoyée.

Méthode, étape par étape

1
Traduire la condition de la boucle
La condition testée dans while ... : est celle qui reste vraie tant que le seuil n'est pas atteint. La boucle s'arrête au premier rang où elle devient fausse.
2
Relier la variable renvoyée au rang de la suite
La variable retournée (souvent n) correspond au plus petit rang pour lequel le terme de la suite franchit le seuil demandé.
3
Résoudre avec la forme explicite
Plutôt que de dérouler la boucle à la main, utiliser la forme explicite de $u_n$ démontrée dans les questions précédentes pour résoudre l'inéquation directement (souvent avec un logarithme).
4
Vérifier avec les deux rangs voisins
Une fois $n$ trouvé, vérifier que le rang précédent ne convient pas et que le rang trouvé convient, pour confirmer que c'est bien le plus petit.

Exemple de rédaction

Une flotte de trottinettes vérifie

u_0 = 1200

u_{n+1} = 0{,}85\,u_n + 300

, avec

u_n = 2000 - 800 \times 0{,}85^{n}

. Le script suivant cherche le premier rang où la flotte atteint 1 900 trottinettes :

def seuil():
    n = 0
    u = 1200
    while u < 1900:
        u = 0.85 * u + 300
        n = n + 1
    return n

Que représente la valeur renvoyée par seuil() ?

La boucle recalcule

u

tant qu'il reste strictement inférieur à

1900

, en comptant les étapes dans n. La valeur renvoyée est donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n \ge 1900$ .

La déterminer avec la forme explicite.

On résout

2000 - 800 \times 0{,}85^{n} \ge 1900

, soit

0{,}85^{n} \le 0{,}125

. Par croissance de

\ln

n \ge \dfrac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}85)} \approx 12{,}78.

Le plus petit entier convenable est

n = 13

Ce qui fait gagner les points

Ne jamais dérouler la boucle à la main : traduire la condition en inéquation, puis résoudre avec la forme explicite déjà démontrée.

Pièges classiques

Décrire ce que fait le code ligne par ligne au lieu d'expliquer ce que représente mathématiquement la valeur renvoyée : c'est l'interprétation qui est notée, pas la traduction littérale.
Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}85)$ , qui est négatif.
Ne pas vérifier le rang immédiatement inférieur : sans cette vérification, rien ne garantit que $n$ est le plus petit entier qui convient.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Traduire la condition de la boucle

La condition testée dans while ... : est celle qui reste vraie tant que le seuil n'est pas atteint. La boucle s'arrête au premier rang où elle devient fausse.

Relier la variable renvoyée au rang de la suite

La variable retournée (souvent n) correspond au plus petit rang pour lequel le terme de la suite franchit le seuil demandé.

Résoudre avec la forme explicite

Plutôt que de dérouler la boucle à la main, utiliser la forme explicite de

u_n

démontrée dans les questions précédentes pour résoudre l'inéquation directement (souvent avec un logarithme).

Vérifier avec les deux rangs voisins

Une fois

n

trouvé, vérifier que le rang précédent ne convient pas et que le rang trouvé convient, pour confirmer que c'est bien le plus petit.