La suite auxiliaire géométrique ($v_n = u_n - \ell$)

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

• 1

  Trouver le point fixe

  On résout $\ell = a\,\ell + b$, soit :
  
  $$\ell = \dfrac{b}{1-a}.$$
  
  C'est la limite candidate.
• 2

  Poser la suite auxiliaire

  On pose $v_n = u_n - \ell$, puis on calcule $v_{n+1}$ en substituant $u_{n+1}$, pour faire réapparaître $a\,v_n$.
• 3

  Conclure que (vₙ) est géométrique

  $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, de premier terme $v_0 = u_0 - \ell$.
• 4

  Revenir à (uₙ) et conclure

  $v_n = v_0\,a^{n}$, donc :
  
  $$u_n = \ell + v_0\,a^{n}.$$
  
  Si $|a| < 1$, alors $a^n \to 0$ donc $u_n \to \ell$.

Cette question, en vrai

• Amérique du Nord 2025 (J1) : Suite homographique et suite auxiliairePrép Bac
• Asie 2025 (J1) : Médicament, suite arithmético-géométriquePrép Bac
• Amérique du Sud 2022 (J2) : Suite arithmético-géométrique, modèle de populationPrép Bac
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