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Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie et convergence

Revient dans 14 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Suites numériques, Limites et continuité

Comment la reconnaître

La relation

u_{n+1} = f(u_n)

n'est pas affine (racine, exponentielle, homographique...) : la suite auxiliaire ne s'applique plus, il faut passer par la fonction

f

Méthode, étape par étape

1
Identifier un intervalle stable
Chercher un intervalle $I$ tel que, si $u_n \in I$ , alors $u_{n+1} = f(u_n) \in I$ (souvent donné par l'énoncé ou à établir avec le tableau de variations de $f$ ).
2
Établir l'encadrement par récurrence
Initialisation : vérifier l'encadrement pour $n = 0$ .

Hérédité : $f$ étant croissante sur $I$ , elle conserve le sens d'un encadrement : appliquer $f$ aux trois membres de l'hypothèse de récurrence.
3
Conclure à la convergence
$(u_n)$ est monotone (croissante ou décroissante, lue sur l'encadrement obtenu) et bornée : le théorème de la limite monotone donne la convergence.
4
Identifier la limite
Par continuité de $f$ , la limite $\ell$ vérifie :

$\ell = f(\ell).$

Résoudre cette équation et écarter les solutions hors de $I$ .

Exemple de rédaction

On considère

(u_n)

définie par

u_0 = 0

u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

.

Montrer que pour tout $n$ , $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ .

Initialisation :

u_0 = 0

u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41

, donc

0 \le u_0 \le u_1 \le 2

.

Hérédité :

f(x) = \sqrt{x+2}

est croissante sur

[0\,;2]

. Si

0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2

, alors :

f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(2),

soit

\sqrt{2} \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 2

, donc en particulier

0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 2

(u_n)

est donc croissante et majorée par

2

: elle converge. Sa limite

\ell

vérifie

\ell = \sqrt{\ell + 2}

, soit

\ell^2 - \ell - 2 = 0

, donc

\ell = 2

\ell = -1

. Comme

u_n \ge 0

pour tout

n

\ell = 2

Ce qui fait gagner les points

La phrase qui justifie que

f

conserve l'ordre : «

f

est croissante sur

I

, donc appliquer

f

aux trois membres de l'encadrement conserve le sens des inégalités ».

Pièges classiques

Appliquer $f$ sans avoir vérifié qu'elle est croissante sur l'intervalle utile : si $f$ est décroissante, l'encadrement s'inverse à chaque étape.
Garder toutes les solutions de $\ell = f(\ell)$ : une seule appartient en général à l'intervalle $I$ où vivent les termes de la suite.
Conclure la convergence sans les deux ingrédients : il faut la monotonie et le caractère borné, l'un sans l'autre ne suffit pas.
Confondre encadrement et démonstration de monotonie : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ prouve à la fois que $(u_n)$ est croissante et bornée, en une seule récurrence.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Identifier un intervalle stable

Chercher un intervalle

I

tel que, si

u_n \in I

, alors

u_{n+1} = f(u_n) \in I

(souvent donné par l'énoncé ou à établir avec le tableau de variations de

f

Établir l'encadrement par récurrence

Initialisation : vérifier l'encadrement pour

n = 0

.

Hérédité :

f

étant croissante sur

I

, elle conserve le sens d'un encadrement : appliquer

f

aux trois membres de l'hypothèse de récurrence.

Conclure à la convergence

(u_n)

est monotone (croissante ou décroissante, lue sur l'encadrement obtenu) et bornée : le théorème de la limite monotone donne la convergence.

Identifier la limite

Par continuité de

f

, la limite

\ell

vérifie :

\ell = f(\ell).

Résoudre cette équation et écarter les solutions hors de $I$ .

Exemple de rédaction

On considère

(u_n)

définie par

u_0 = 0

u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}

.

Montrer que pour tout $n$ , $0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2$ .

Initialisation :

u_0 = 0

u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41

, donc

0 \le u_0 \le u_1 \le 2

.

Hérédité :

f(x) = \sqrt{x+2}

est croissante sur

[0\,;2]

. Si

0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2

, alors :

f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(2),

soit

\sqrt{2} \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 2

, donc en particulier

0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 2

(u_n)

est donc croissante et majorée par

2

: elle converge. Sa limite

\ell

vérifie

\ell = \sqrt{\ell + 2}

, soit

\ell^2 - \ell - 2 = 0

, donc

\ell = 2

\ell = -1

. Comme

u_n \ge 0

pour tout

n

\ell = 2

Ce qui fait gagner les points

La phrase qui justifie que

f

conserve l'ordre : «

f

est croissante sur

I

, donc appliquer

f

aux trois membres de l'encadrement conserve le sens des inégalités ».

Pièges classiques

Appliquer $f$ sans avoir vérifié qu'elle est croissante sur l'intervalle utile : si

f

est décroissante, l'encadrement s'inverse à chaque étape.

Garder toutes les solutions de $\ell = f(\ell)$ : une seule appartient en général à l'intervalle

I

où vivent les termes de la suite.

Conclure la convergence sans les deux ingrédients : il faut la monotonie et le caractère borné, l'un sans l'autre ne suffit pas.

Confondre encadrement et démonstration de monotonie :

0 \le u_n \le u_{n+1} \le 2

prouve à la fois que

(u_n)

est croissante et bornée, en une seule récurrence.

Suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) : monotonie et convergence

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) : monotonie et convergence

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie et convergence

Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie et convergence