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Suite récurrente double ( $u_{n+2}$ selon $u_{n+1}$ et $u_n$ )

Revient dans 4 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Suites numériques

Comment la reconnaître

La relation donne

u_{n+2}

en fonction de

u_{n+1}

u_n

(deux rangs précédents) : la suite auxiliaire habituelle (

v_n = u_n - \ell

) ne suffit plus.

Méthode, étape par étape

1
Choisir la bonne suite auxiliaire
Poser $w_n = u_{n+1} - q\,u_n$ , où $q$ est choisi (souvent donné par l'énoncé) pour que $(w_n)$ devienne géométrique.
2
Démontrer que (wₙ) est géométrique
Calculer $w_{n+1}$ en substituant $u_{n+2}$ grâce à la relation de récurrence double, puis factoriser pour faire réapparaître $w_n$ .
3
Revenir à une relation affine sur (uₙ)
$(w_n)$ géométrique donne $w_n$ en fonction de $n$ , donc une relation $u_{n+1} = w_n + q\,u_n$ qui ne fait plus intervenir que le rang précédent.
4
Prouver la forme explicite par récurrence
La formule explicite de $u_n$ se démontre alors par une récurrence classique (initialisation + hérédité), en s'appuyant sur la relation obtenue à l'étape précédente.

Exemple de rédaction

On étudie

(u_n)

définie par

u_0 = 0

u_1 = \dfrac{1}{2}

u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n

. On pose

w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n

.

Démontrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ .

w_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = \left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\right) - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n = \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\right) = \dfrac{1}{2}w_n.

(w_n)

est donc géométrique de raison

\dfrac{1}{2}

et de premier terme

w_0 = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2}

Ce qui fait gagner les points

La factorisation finale qui fait réapparaître

w_n

mot pour mot : c'est elle, pas l'affirmation, qui démontre le caractère géométrique.

Pièges classiques

Deviner $q$ au lieu de suivre l'énoncé : la valeur de $q$ dans $w_n = u_{n+1} - q\,u_n$ est presque toujours donnée ; ne pas la retrouver soi-même sans indication.
Sauter l'étape de la relation affine intermédiaire : sans elle, la récurrence finale sur $u_n$ n'a rien à quoi s'accrocher.
Oublier de calculer $w_0$ à partir de $u_0$ et $u_1$ (pas seulement $u_0$ ) : la suite auxiliaire dépend des deux premiers termes.

Cette question, en vrai

Amérique du Nord 2025 (J2 secours) : Suite récurrente double et suite auxiliairePrép Bac

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Méthode, étape par étape

Choisir la bonne suite auxiliaire

Poser

w_n = u_{n+1} - q\,u_n

, où

q

est choisi (souvent donné par l'énoncé) pour que

(w_n)

devienne géométrique.

Démontrer que (wₙ) est géométrique

Calculer

w_{n+1}

en substituant

u_{n+2}

grâce à la relation de récurrence double, puis factoriser pour faire réapparaître

w_n

Revenir à une relation affine sur (uₙ)

(w_n)

géométrique donne

w_n

en fonction de

n

, donc une relation

u_{n+1} = w_n + q\,u_n

qui ne fait plus intervenir que le rang précédent.

Prouver la forme explicite par récurrence

La formule explicite de

u_n

se démontre alors par une récurrence classique (initialisation + hérédité), en s'appuyant sur la relation obtenue à l'étape précédente.

Exemple de rédaction

On étudie

(u_n)

définie par

u_0 = 0

u_1 = \dfrac{1}{2}

u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n

. On pose

w_n = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n

.

Démontrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ .

w_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = \left(u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n\right) - \dfrac{1}{2}u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n = \dfrac{1}{2}\left(u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_n\right) = \dfrac{1}{2}w_n.

(w_n)

est donc géométrique de raison

\dfrac{1}{2}

et de premier terme

w_0 = u_1 - \dfrac{1}{2}u_0 = \dfrac{1}{2}

Ce qui fait gagner les points

La factorisation finale qui fait réapparaître

w_n

mot pour mot : c'est elle, pas l'affirmation, qui démontre le caractère géométrique.

Pièges classiques

Deviner $q$ au lieu de suivre l'énoncé : la valeur de

q

dans

w_n = u_{n+1} - q\,u_n

est presque toujours donnée ; ne pas la retrouver soi-même sans indication.

Sauter l'étape de la relation affine intermédiaire : sans elle, la récurrence finale sur

u_n

n'a rien à quoi s'accrocher.

Oublier de calculer $w_0$ à partir de $u_0$ et $u_1$ (pas seulement

u_0

) : la suite auxiliaire dépend des deux premiers termes.

Suite récurrente double (un+2u_{n+2}un+2​ selon un+1u_{n+1}un+1​ et unu_nun​)

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Suite récurrente double (un+2u_{n+2}un+2​ selon un+1u_{n+1}un+1​ et unu_nun​)

Comment la reconnaître

Méthode, étape par étape

Exemple de rédaction

Pièges classiques

Cette question, en vrai

Suite récurrente double ( $u_{n+2}$ selon $u_{n+1}$ et $u_n$ )

Suite récurrente double ( $u_{n+2}$ selon $u_{n+1}$ et $u_n$ )