Revient dans 16 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Produit scalaire dans l'espace, Droites et plans de l'espace
Comment la reconnaître
L'énoncé demande de démontrer qu'un vecteur donné n est normal à un plan défini par trois points, ou d'en déduire l'équation cartésienne du plan.
Méthode, étape par étape
1
Repérer deux vecteurs non colinéaires du plan
Choisir deux vecteurs formés à partir de trois points du plan (par exemple AI et AJ), et vérifier que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
2
Calculer les deux produits scalaires
n⋅AI=0etn⋅AJ=0.
Les deux doivent être nuls : un seul produit scalaire nul ne suffit pas.
3
Conclure
n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : c'est donc un vecteur normal au plan.
4
En déduire l'équation cartésienne
Une équation du plan est n1x+n2y+n3z+d=0, où d se détermine en remplaçant (x;y;z) par les coordonnées d'un point connu du plan.
Exemple de rédaction
Dans un cube ABCDEFGH d'arête 1, repère (A;AB,AD,AE) : I milieu de [EF], J milieu de [EH], K milieu de [AE]. On a AI(21;0;1), AJ(0;21;1) et KC(1;1;−21).
Démontrer que KC est normal au plan (AIJ).
AI et AJ ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles) : ils forment une base du plan (AIJ).
KC⋅AI=1×21+1×0+(−21)×1=0,
KC⋅AJ=1×0+1×21+(−21)×1=0.
KC est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIJ) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.
Ce qui fait gagner les points
La phrase de conclusion « orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan » doit être écrite mot pour mot : deux calculs à zéro sans cette phrase ne prouvent rien à eux seuls.
Pièges classiques
Ne vérifier qu'un seul produit scalaire : un vecteur orthogonal à une seule droite du plan n'est pas forcément normal au plan tout entier.
Oublier de vérifier que les deux vecteurs du plan ne sont pas colinéaires : sans cela, ils ne forment pas une base du plan et les deux produits scalaires nuls ne suffisent pas.
Confondre vecteur normal et vecteur directeur : le normal est orthogonal au plan, le directeur appartient à une droite du plan (ou lui est parallèle).