Géométrie dans l'espace

Volume d'un tétraèdre : bien choisir sa base

Revient dans 7 sujets sur 19 analysés · chapitres liés : Produit scalaire dans l'espace, Droites et plans de l'espace

Comment la reconnaître

L'énoncé demande le volume d'un tétraèdre

ABCD

dont on connaît (ou vient de calculer) les coordonnées des quatre sommets.

Méthode, étape par étape

1
Choisir la base la plus simple
Parmi les 4 faces du tétraèdre, choisir comme base celle dont l'aire se calcule le plus facilement : idéalement un triangle rectangle (repéré par un produit scalaire nul entre deux côtés).
2
Calculer l'aire de cette base
Si le triangle est rectangle en un sommet : $\text{aire} = \dfrac{1}{2} \times \text{côté}_1 \times \text{côté}_2$ . Sinon, utiliser $\dfrac{1}{2}AB\times AC \times \sin(\widehat{BAC})$ .
3
Identifier la hauteur associée
La hauteur est la distance entre le 4ᵉ sommet et le plan de la base choisie. Si ce sommet est déjà le projeté orthogonal d'un point de la base (question précédente), la longueur est immédiate.
4
Appliquer la formule
$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.$

Exemple de rédaction

Le tétraèdre

ABCD

vérifie

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0

avec

AB=\sqrt{18}

AD=\sqrt{2}

, et

D

est le projeté orthogonal de

C

sur le plan

(ABD)

, avec

CD = 3

.

Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ .

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0

: le triangle

ABD

est rectangle en

A

, d'aire :

\text{aire}(ABD) = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{\sqrt{18}\times\sqrt{2}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.

D

étant le projeté orthogonal de

C

sur le plan

(ABD)

, la hauteur issue de

C

est

CD = 3

V = \dfrac{1}{3}\times 3 \times 3 = 3 \text{ unités de volume.}

Ce qui fait gagner les points

La phrase « le triangle [...] est rectangle en [...], d'aire... » doit précéder le calcul du volume : elle justifie pourquoi cette base a été choisie plutôt qu'une autre.

Pièges classiques

Choisir une base au hasard sans vérifier si un angle droit ou une perpendicularité simplifie son aire : une mauvaise base rend le calcul beaucoup plus long.
Confondre la hauteur du tétraèdre avec une arête : la hauteur est la distance du 4ᵉ sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement, pas la longueur d'une arête quelconque.
Oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ : c'est l'erreur la plus fréquente, la formule du volume d'une pyramide n'est jamais base × hauteur seule.

Cette question, en vrai

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Méthode, étape par étape

Choisir la base la plus simple

Parmi les 4 faces du tétraèdre, choisir comme base celle dont l'aire se calcule le plus facilement : idéalement un triangle rectangle (repéré par un produit scalaire nul entre deux côtés).

Calculer l'aire de cette base

Si le triangle est rectangle en un sommet :

\text{aire} = \dfrac{1}{2} \times \text{côté}_1 \times \text{côté}_2

. Sinon, utiliser

\dfrac{1}{2}AB\times AC \times \sin(\widehat{BAC})

Identifier la hauteur associée

La hauteur est la distance entre le 4ᵉ sommet et le plan de la base choisie. Si ce sommet est déjà le projeté orthogonal d'un point de la base (question précédente), la longueur est immédiate.

Appliquer la formule

V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}.

Exemple de rédaction

Le tétraèdre

ABCD

vérifie

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0

avec

AB=\sqrt{18}

AD=\sqrt{2}

, et

D

est le projeté orthogonal de

C

sur le plan

(ABD)

, avec

CD = 3

.

Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ .

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0

: le triangle

ABD

est rectangle en

A

, d'aire :

\text{aire}(ABD) = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{\sqrt{18}\times\sqrt{2}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.

D

étant le projeté orthogonal de

C

sur le plan

(ABD)

, la hauteur issue de

C

est

CD = 3

V = \dfrac{1}{3}\times 3 \times 3 = 3 \text{ unités de volume.}

Ce qui fait gagner les points

La phrase « le triangle [...] est rectangle en [...], d'aire... » doit précéder le calcul du volume : elle justifie pourquoi cette base a été choisie plutôt qu'une autre.

Pièges classiques

Choisir une base au hasard sans vérifier si un angle droit ou une perpendicularité simplifie son aire : une mauvaise base rend le calcul beaucoup plus long.

Confondre la hauteur du tétraèdre avec une arête : la hauteur est la distance du 4ᵉ sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement, pas la longueur d'une arête quelconque.

Oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ : c'est l'erreur la plus fréquente, la formule du volume d'une pyramide n'est jamais base × hauteur seule.