Dérivation

Pour $h \neq 0$, le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est la pente de la sécante qui joint les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $a$ et $a+h$. Quand $h$ se rapproche de $0$, le second point glisse vers le premier et les sécantes se rapprochent d'une position limite : la tangente au point d'abscisse $a$. Le même taux s'écrit aussi avec deux abscisses $a$ et $x$ : les deux écritures donnent le même nombre dérivé.

Lorsque le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ admet une limite finie quand $h \to 0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ ; c'est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

On veut $f'(a)$ à partir de la définition, sans utiliser les formules de dérivation.
1. On calcule $f(a+h)$ et on développe.
2. On retranche $f(a)$ : les termes constants disparaissent.
3. On factorise par $h$, puis on simplifie le quotient par $h$.
4. On regarde ce qui reste quand $h$ tend vers $0$.
Avec $f(x) = x^2$ et $a = 3$ : $f(3+h) - f(3) = (9 + 6h + h^2) - 9 = 6h + h^2$, donc $\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{h(6 + h)}{h} = 6 + h$. On écrit sur la copie : ce taux tend vers $6$ quand $h$ tend vers $0$, donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3) = 6$.

Une fonction peut être définie en $a$ sans y être dérivable : il faut en plus que le taux d'accroissement admette une limite finie. Pour $f(x) = |x|$ en $0$, ce taux vaut $\dfrac{|h|}{h}$, c'est-à-dire $1$ quand $h > 0$ et $-1$ quand $h < 0$ : il n'a pas de limite, et la courbe présente un point anguleux, avec deux demi-tangentes de pentes $1$ et $-1$. La fonction racine carrée est définie en $0$ mais n'y est pas dérivable non plus : sa tangente y est verticale, et la formule $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ne vaut que sur $]0 ; +\infty[$.

Équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.

On demande la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
1. On calcule $f(a)$.
2. On calcule l'expression de $f'(x)$ avec les formules de dérivation, puis $f'(a)$.
3. On remplace dans la formule, puis on réduit.
Avec $f(x) = x^2 - 3x + 1$ et $a = 2$ : $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$, $f'(x) = 2x - 3$ donc $f'(2) = 4 - 3 = 1$, d'où $y = 1 \times (x - 2) + (-1) = x - 3$. On écrit sur la copie : la tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = x - 3$. Contrôle rapide : pour $x = 2$, cette droite donne $y = -1$, qui est bien $f(2)$.

Quand $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$, et la fonction qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$. Il faut distinguer $f'(a)$, qui est un nombre (la pente d'une tangente), et $f'$, qui est une fonction (celle dont on étudiera le signe). Une fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; une fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.

Dérivées des fonctions de référence ; la dérivée d'une constante est nulle.

Règles de dérivation d'une somme, d'un produit et d'un quotient.

Deux règles complètent les opérations usuelles. Pour l'inverse, la fonction $v$ ne doit pas s'annuler sur l'intervalle considéré. Pour une composée affine, on dérive la fonction extérieure en $ax+b$, puis on multiplie par le coefficient $a$ placé devant $x$ : avec $g(x) = \sqrt{x}$, la dérivée de $x \mapsto \sqrt{3x+1}$ vaut $\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ sur $\left]-\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[$.

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : avec $f(x) = x \times x = x^2$, la dérivée vaut $2x$, alors que le produit des dérivées donnerait $1 \times 1 = 1$. Même avertissement pour le quotient : ce n'est pas $\dfrac{u'}{v'}$. Dans la formule du quotient, l'ordre compte : le terme $u'v$ vient en premier et le signe moins porte sur $uv'$ ; on divise par $v^2$, jamais par $v$.

On veut les variations d'un quotient sur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas.
1. On pose $u$ et $v$, puis on écrit $u'$ et $v'$.
2. On applique la formule du quotient et on réduit le numérateur.
3. Comme $v^2$ est strictement positif, le signe de $f'$ est celui du numérateur seul.
Avec $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ sur $]3 ; +\infty[$ : $u = 2x+1$ et $u' = 2$, $v = x-3$ et $v' = 1$, donc $f'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1) \times 1}{(x-3)^2} = \dfrac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$. On écrit sur la copie : $f'(x) < 0$ sur $]3 ; +\infty[$, donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Sur un intervalle $I$ : si $f' \ge 0$, $f$ est croissante ; si $f' \le 0$, $f$ est décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $c$, alors $f$ admet un extremum en $c$.

Ces énoncés valent sur un intervalle $I$, jamais sur une réunion d'intervalles. Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en quelques points isolés où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ; si $f'$ est nulle sur $I$ tout entier, alors $f$ est constante sur $I$. La fonction inverse montre pourquoi l'hypothèse compte : sa dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$ est strictement négative en tout point où elle est définie, pourtant la fonction n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$, mais seulement sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$ séparément.

On veut les variations d'une fonction sur un intervalle.
1. On dérive, puis on factorise $f'$.
2. On étudie le signe de $f'$ dans un tableau.
3. On reporte les flèches et on calcule les valeurs remarquables aux points où le signe change.
Avec $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3)$, donc $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; -1[$ et sur $]3 ; +\infty[$, et $f'(x) < 0$ sur $]-1 ; 3[$. Avec $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ et $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$, on écrit sur la copie : $f$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 3]$, croissante sur $[3 ; +\infty[$, avec un maximum local égal à $10$ en $-1$ et un minimum local égal à $-22$ en $3$.

Si une fonction dérivable admet un extremum local en $c$ situé à l'intérieur de l'intervalle, alors $f'(c) = 0$ : c'est une condition nécessaire, et sa réciproque est fausse. Avec $f(x) = x^3$, on a $f'(0) = 0$ et une tangente horizontale en $0$, pourtant $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et n'a aucun extremum. Ce qui fait l'extremum, c'est que $f'$ change de signe en $c$, or ici $f'(x) = 3x^2$ reste positive de part et d'autre. Attention aussi aux bornes de l'intervalle : un maximum peut y être atteint sans que la dérivée s'y annule.