Nombres, calculs et intervalles

les irrationnels (comme $\sqrt{2}$, $\pi$) sont réels non rationnels.

• Un irrationnel a un développement décimal illimité et non périodique

  Donc : aucune écriture décimale finie ne le donne exactement.

• Même $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$, pourtant rationnel, n'est pas décimal.

• On garde les valeurs exactes pendant les calculs et on n'arrondit qu'à la fin, avec le symbole $\approx$.

On termine toujours par la fraction irréductible (simplification par le PGCD).

1. 1

   Le produit d'abord :

   $\displaystyle \dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$
2. 2

   Même dénominateur : $12$ est le plus petit multiple commun de $4$ et de $3$

   Donc :

   $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$
3. 3

   On soustrait les numérateurs :

   $\displaystyle A=\dfrac{9-4}{12}=\dfrac{5}{12}$

• On déplace la virgule et on compte les rangs franchis :

  $38\,500=3{,}85\times 10^{4}$ et $0{,}00042=4{,}2\times 10^{-4}$

• Une virgule qui recule vers la gauche augmente l'exposant, une virgule qui avance vers la droite le diminue.

1. 1

   Le carré porte sur les deux facteurs :

   $\displaystyle (2\times 10^{3})^{2}=2^{2}\times 10^{6}=4\times 10^{6}$
2. 2

   Au numérateur, on ajoute les exposants :

   $\displaystyle 4\times 10^{6}\times 10^{-5}=4\times 10^{1}$
3. 3

   On divise

   Donc : on soustrait les exposants :

   $\displaystyle \dfrac{4}{4}\times 10^{1-(-1)}=1\times 10^{2}$

• Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif, il donne l'inverse : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$, qui est positif.

• Enfin une puissance ne se distribue pas sur une somme :

  $(2+3)^{2}=25$, et non $2^{2}+3^{2}=13$

Donc :

Si aucun réel n'appartient aux deux, l'intersection est l'ensemble vide $\varnothing$ et la réunion se laisse écrite $I\cup J$.

• L'arrondi au millième est celle des deux bornes qui est la plus proche, ici $1{,}414$.

• Les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre non nul :

  $0{,}004\,52$ en a trois

• Dans un problème, on arrondit le résultat avec autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise, ni plus ni moins.

Pour comparer $A = \dfrac{7}{9}$ et $B = \dfrac{4}{5}$ :

Donc :

• Réflexes de calcul
• Un exercice de DST

• $\sqrt{2}\approx 1{,}414\dots$ est irrationnel :

• $\dfrac{1}{3}=0{,}333\dots$ n'est pas décimal mais est rationnel :

• $\dfrac{\sqrt{144}}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$ :

Donc :

Le dénominateur commun de $35=5\times 7$ et $15=3\times 5$ est $105$ :

$A=\dfrac{6\times 3}{105}+\dfrac{16\times 7}{105}=\dfrac{18+112}{105}=\dfrac{130}{105}=\dfrac{26}{21}$ (on simplifie par $5$).

Pour $B$, on effectue d'abord la multiplication :

$\dfrac{3}{14}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{126}=\dfrac{2}{21}$.

Et $\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}$.

Donc :

$4^6\times(-9)^6=(4\times(-9))^6=(-36)^6=36^6$ (exposant pair).

2) $(-4)^2=(-4)\times(-4)=16$.

$-4^2=-(4\times 4)=-16$ (l'opposé d'un carré).

$\dfrac{3}{3^{-4}}=3\times 3^{4}=3^{1+4}=3^5=243$.

2) On repère le facteur commun $(x+1)$ :

$C=(x+1)\big[(x-5)+(2x+3)\big]=(x+1)(3x-2)$.

2) Commune : de $5$ (incluse, car $J$ l'inclut) à $8$ (exclue, car $I$ l'exclut) :

Totale : de $1$ (exclu) à $9$ (inclus) :

On regroupe :

Donc :

D'où :

2) $6x-15>8-3x-1$, soit $6x-15>7-3x$.

$6x+3x>7+15$

Donc :

D'où :

Ensemble des solutions :

La mesure a trois chiffres significatifs : on donne l'aire avec trois chiffres significatifs, soit environ $121$ cm$^2$.

2.

Au dénominateur commun $221$ :

Donc :

3.

Par différence : $30-25=5$, le forfait coûte $5$ euros de plus (écart additif).

Par quotient : $\dfrac{30}{25}=1{,}2$, il est multiplié par $1{,}2$, soit une hausse de $20\,\%$ (écart multiplicatif).