Nombres, calculs et intervalles

Cinq ensembles emboîtés : entiers naturels $\mathbb{N}$, entiers relatifs $\mathbb{Z}$, décimaux $\mathbb{D}$, rationnels $\mathbb{Q}$, réels $\mathbb{R}$. Un décimal s'écrit $\frac{a}{10^p}$, un rationnel $\frac{p}{q}$ ; les irrationnels (comme $\sqrt{2}$, $\pi$) sont réels non rationnels.

Le symbole $\in$ relie un nombre à un ensemble : $-3\in\mathbb{Z}$ se lit « moins trois appartient à $\mathbb{Z}$ », et $\notin$ nie cette appartenance. Le symbole $\subset$ relie deux ensembles : $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ se lit « $\mathbb{Z}$ est inclus dans $\mathbb{Q}$ ». Une étoile retire le nombre $0$ de l'ensemble, un exposant $+$ ou $-$ n'en garde qu'un côté, zéro compris.

On cherche le plus petit ensemble qui contient le nombre : on calcule, on rend la fraction irréductible, puis on regarde son dénominateur.
1. Simplifier : $A=\dfrac{45}{12}=\dfrac{15}{4}$ (on a divisé par $3$).
2. Le dénominateur $4=2^2$ ne contient que des $2$, donc $A$ est décimal : $A=3{,}75$.
3. $B=\dfrac{7}{3}$ est déjà irréductible et $3$ n'est ni un $2$ ni un $5$ : $B$ est rationnel non décimal.
Sur la copie : $A\in\mathbb{D}$ et $B\in\mathbb{Q}$ avec $B\notin\mathbb{D}$.

L'écran affiche $\sqrt{2}\approx 1{,}414213562$ : ce nombre-là est décimal, alors que $\sqrt{2}$ ne l'est pas. Un irrationnel a un développement décimal illimité et non périodique, donc aucune écriture décimale finie ne le donne exactement. Même $\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots$, pourtant rationnel, n'est pas décimal. On garde les valeurs exactes pendant les calculs et on n'arrondit qu'à la fin, avec le symbole $\approx$.

Règles de calcul pour $b\neq 0$ et $d\neq 0$ (et $c\neq 0$ pour la division, puisqu'on inverse $\dfrac{c}{d}$). On termine toujours par la fraction irréductible (simplification par le PGCD).

On respecte les priorités (produits et quotients avant sommes), puis on réduit au même dénominateur. Avec $A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{5}$ :
1. Le produit d'abord : $\dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$.
2. Même dénominateur : $12$ est le plus petit multiple commun de $4$ et de $3$, donc $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$.
3. On soustrait les numérateurs : $A=\dfrac{9-4}{12}=\dfrac{5}{12}$.
Sur la copie : $A=\dfrac{5}{12}$, irréductible car $5$ et $12$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$.

On ne barre un nombre au numérateur et au dénominateur que s'il y est en facteur, jamais s'il est un terme d'une somme. Ainsi $\dfrac{6+4}{6}$ ne vaut pas $4$ : il vaut $\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$. En revanche $\dfrac{6\times 4}{6}=4$, car le $6$ est bien un facteur. Même vigilance pour la somme : additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ne donne pas la somme des deux fractions, puisque $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ vaut $\dfrac{5}{6}$ et non $\dfrac{2}{5}$.

Pour $a\neq 0$ : $a^1=a$, $a^0=1$, et l'exposant négatif désigne l'inverse.

La notation scientifique d'un nombre non nul est son écriture $a\times 10^{n}$, où $n$ est un entier relatif et où $a$ n'a qu'un seul chiffre non nul avant la virgule, c'est-à-dire $1\leq |a|<10$. On déplace la virgule et on compte les rangs franchis : $38\,500=3{,}85\times 10^{4}$ et $0{,}00042=4{,}2\times 10^{-4}$. Une virgule qui recule vers la gauche augmente l'exposant, une virgule qui avance vers la droite le diminue.

On sépare les nombres d'un côté et les puissances de $10$ de l'autre, on applique les règles d'exposants, puis on repasse en notation scientifique. Avec $A=\dfrac{(2\times 10^{3})^{2}\times 10^{-5}}{4\times 10^{-1}}$ :
1. Le carré porte sur les deux facteurs : $(2\times 10^{3})^{2}=2^{2}\times 10^{6}=4\times 10^{6}$.
2. Au numérateur, on ajoute les exposants : $4\times 10^{6}\times 10^{-5}=4\times 10^{1}$.
3. On divise, donc on soustrait les exposants : $\dfrac{4}{4}\times 10^{1-(-1)}=1\times 10^{2}$.
Sur la copie : $A=10^{2}=100$.

Sans parenthèses, l'exposant ne porte pas sur le signe moins : $-3^{2}=-(3^{2})=-9$, alors que $(-3)^{2}=9$. Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif, il donne l'inverse : $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$, qui est positif. Enfin une puissance ne se distribue pas sur une somme : $(2+3)^{2}=25$, et non $2^{2}+3^{2}=13$.

Développer transforme un produit en somme, factoriser fait l'inverse (mise en évidence d'un facteur commun). Après développement, on réduit puis on ordonne par puissances décroissantes de $x$.

Un intervalle est un ensemble de réels « sans trou » ; crochet fermé si la borne est incluse, ouvert sinon (l'infini toujours ouvert). L'intersection $I\cap J$ regroupe les réels communs aux deux, la réunion $I\cup J$ ceux de l'un ou l'autre.

On place les deux intervalles sur une droite graduée, au brouillon : l'intersection est la partie commune, la réunion la partie couverte par au moins l'un des deux. Avec $I=[-3\,;\,4[$ et $J=]1\,;\,7]$ :
1. Intersection : il faut $x>1$ et $x<4$, donc $I\cap J=]1\,;\,4[$.
2. Réunion : les deux intervalles se chevauchent, donc $I\cup J=[-3\,;\,7]$.
3. Chaque borne se décide seule : $4\notin I$ mais $4\in J$, donc $4$ appartient bien à la réunion.
Si aucun réel n'appartient aux deux, l'intersection est l'ensemble vide $\varnothing$ et la réunion se laisse écrite $I\cup J$.

Ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité ne change pas son sens, et la multiplier par un nombre strictement positif non plus. En revanche, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité. Par exemple $2<5$, mais en multipliant par $-3$ on obtient $-6>-15$.

On isole $x$ comme dans une équation, en surveillant le signe du coefficient au moment de diviser, puis on écrit la réponse en intervalle. Avec $-3x+5\leq 11$ :
1. On retranche $5$ aux deux membres : $-3x\leq 6$.
2. On divise par $-3$, qui est négatif, donc l'inégalité change de sens : $x\geq -2$.
3. Traduction : borne $-2$ incluse car l'inégalité est large, et $+\infty$ toujours en crochet ouvert.
Sur la copie : $S=[-2\,;\,+\infty[$.