Jusqu'ici, 3−8 n'avait pas de réponse : on ne peut pas enlever 8 à 3 avec les nombres connus.
On invente donc les nombres négatifs, qui se placent avant 0.
Ils servent tous les jours : une température sous zéro, une altitude sous le niveau de la mer, un solde bancaire à découvert, une année avant notre ère.
À retenir
3−8
aucun nombre connu jusqu'ici ne convient
−7
sept degrés sous zéro sur un thermomètre
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Définition
L'opposé d'un nombre
02
L'opposé d'un nombre est le nombre qui, ajouté à lui, donne 0.
L'opposé de 3 est −3.
Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
À retenir
3+(−3)=0
Propriété
L'opposé d'un nombre négatif
03
L'opposé d'un nombre négatif est positif.
L'opposé de (−11) est (+11)
Car :
(−11)+(+11)=0
Le seul nombre qui est son propre opposé est 0.
Définition
Signe et distance à zéro
04
Un nombre relatif s'écrit avec un signe et une distance à zéro.
Le signe dit de quel côté de 0 on se trouve, la distance à zéro dit de combien on s'en éloigne.
Deux nombres peuvent avoir la même distance à zéro sans être égaux.
À retenir
(+5)
signe +, distance à zéro 5
(−5)
signe -, distance à zéro 5 elle aussi
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Définition
Positif, négatif, et le cas de zéro
05
Un nombre est positif s'il est supérieur ou égal à 0, et négatif s'il est inférieur ou égal à 0.
Le nombre 0 est donc à la fois positif et négatif, et c'est le seul dans ce cas.
Le signe + d'un nombre positif peut être omis.
À retenir
(+7)=7
Vocabulaire
Strictement positif, strictement négatif
06
Le mot strictement exclut 0.
Un nombre est strictement positif s'il est supérieur à 0, et strictement négatif s'il est inférieur à 0.
Le nombre 0 est positif et négatif, mais il n'est ni strictement positif ni strictement négatif.
À retenir
x>0
Définition
La valeur absolue
07
La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro : c'est le nombre sans son signe.
On la note avec deux barres verticales.
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue
Car : ils sont à la même distance de 0.
À retenir
∣−5∣=5
-5 est à 5 unités de zéro
∣+5∣=5
Piège
Une valeur absolue n'est jamais négative
08
L'erreur classique est d'écrire ∣−7∣=−7.
Une valeur absolue est une distance, et une distance ne peut pas être négative :
on écrit ∣−7∣=7
Pour comparer deux valeurs absolues, on compare des distances à zéro :
∣−8∣>∣5∣
Définition
La droite graduée va vers la gauche
09
La droite graduée se prolonge à gauche de 0 pour accueillir les nombres négatifs.
Les positifs sont à droite de l'origine, les négatifs à gauche.
L'écart entre deux graduations voisines est le même partout.
Définition
L'abscisse d'un point
10
L'abscisse d'un point est le nombre relatif qui le repère sur la droite graduée.
On note A(−3) pour dire que le point A a pour abscisse −3.
La distance à zéro d'un nombre est la distance, sur cette droite, entre son point et l'origine.
À retenir
A(−3)
le point A a pour abscisse -3
Propriété
Comparer un négatif et un positif
11
Sur la droite graduée, le plus grand de deux nombres est celui qui est le plus à droite.
Un nombre négatif non nul est donc inférieur à tout nombre positif, même si sa distance à zéro est énorme.
Entre deux nombres positifs, on compare comme d'habitude.
À retenir
−100<2
un négatif est toujours plus petit qu'un positif
3<7
entre deux positifs, rien ne change
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Propriété
Comparer deux négatifs
12
C'est le piège du chapitre.
Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite.
Ainsi : −3 est plus grand que −8, alors que 3 est plus petit que 8.
En cas de doute, on place les deux nombres sur la droite graduée et on garde celui de droite.
Méthode
Ranger une liste de relatifs
13
Pour ranger dans l'ordre croissant, on sépare d'abord les négatifs des positifs.
On écrit les négatifs du plus éloigné de zéro au plus proche, puis 0, puis les positifs comme d'habitude.
L'ordre décroissant est la même liste, lue à l'envers.
À retenir
−7<−4<−1<0<2<3
Méthode
Encadrer entre deux entiers
14
Encadrer un nombre entre deux entiers consécutifs, c'est trouver les deux entiers qui l'entourent sur la droite graduée.
Pour un nombre négatif, attention : l'entier écrit à gauche est celui dont la distance à zéro est la plus grande.
À retenir
−5<−4,16<−4
le piège : c'est -5 qui est à gauche
2<2,7<3
Définition
Le repère du plan
15
Un repère du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires.
L'axe horizontal est l'axe des abscisses, l'axe vertical est l'axe des ordonnées.
Elles se coupent en un point appelé l'origine, où les deux graduations valent 0.
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Méthode
Lire et placer des coordonnées
16
Un point est repéré par un couple de coordonnées(x;y) : l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite, toujours dans cet ordre.
Pour placer A(3;−4), on avance de 3 sur l'axe horizontal
Puis :
on descend de 4
Propriété
Somme de deux nombres de même signe
17
Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
La somme de deux négatifs est donc toujours négative, et la somme de deux positifs toujours positive.
Propriété
Somme de deux nombres de signes différents
18
Deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
On garde ensuite le signe de celui qui est le plus éloigné de zéro.
Piège
Signes différents : on soustrait, on n'ajoute pas
19
Devant (−13)+(+4), beaucoup écrivent −17 : les deux distances à zéro ont été additionnées, comme si les deux nombres étaient de même signe.
D'autres trouvent bien 9, mais répondent +9 en gardant le signe du nombre le plus proche de zéro, ici +4.
Propriété
Un nombre plus son opposé
20
La somme d'un nombre et de son opposé vaut toujours 0.
C'est très utile dans un calcul long : dès qu'on repère deux nombres opposés, on les regroupe et ils disparaissent.
À retenir
(−8)+(+8)=0
même distance à zéro, signes contraires
(+4,5)+(−4,5)=0
Méthode
Additionner plusieurs relatifs
21
Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut.
Méthode efficace : additionner tous les positifs entre eux, tous les négatifs entre eux, puis terminer le calcul avec deux nombres seulement.
À retenir
(−7)+(+4)+(−3)+(+9)
la somme de départ, avec quatre termes
(+13)+(−10)=+3
Exercices d'application
Exercice 1
L'opposé et la vérification par zéro
L'opposé d'un nombre est le nombre qui, ajouté à lui, donne 0. 1) Donner l'opposé de chacun des six nombres suivants. Vérifier à chaque fois, par une somme, que le résultat vaut bien 0. a) 9 ; b) −12 ; c) −6,4 ; d) +25 ; e) 0 ; f) −1. 2) Que peut-on dire des signes de deux nombres opposés ? Et de leurs distances à zéro ? 3) Écrire plus simplement −(−8), puis expliquer la réponse. 4) Un seul nombre est son propre opposé. Lequel ? Justifier.
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3 est plus petit que 8, donc -3 est plus grand que -8
−12<−5
12 est plus grand que 5, donc -12 est plus petit que -5
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
la liste -4 ; 3 ; -7 ; 0 ; 2 ; -1 rangée dans l'ordre croissant
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
le même travail avec un positif
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Pour lire les coordonnées d'un point déjà placé, on rejoint chaque axe et on note le nombre trouvé.
À retenir
A(3;−4)
abscisse 3, ordonnée -4
B(−2;5)
2 vers la gauche, puis 5 vers le haut
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
À retenir
(−3)+(−4)=−7
3 + 4 = 7, et le signe commun est -
(+7)+(+4)=+11
7 + 4 = 11, et le signe commun est +
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
À retenir
(−6)+(+9)=+3
9 - 6 = 3, et +9 est le plus éloigné de zéro
(+5)+(−12)=−7
12 - 5 = 7, et -12 est le plus éloigné de zéro
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Quand les signes sont différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, 13−4=9, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro, ici celui de −13.
Le contrôle : ajouter un nombre positif fait toujours avancer vers la droite sur la droite graduée
Donc : la somme doit être plus grande que −13, ce que −17 n'est pas.
À retenir
(−13)+(+4)=−9
13 - 4 = 9, et le signe est celui de -13, le plus éloigné de zéro
(−13)+(+4)=−17
additionner les distances à zéro suppose deux signes identiques
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
cela marche aussi avec les nombres décimaux
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
les positifs donnent +13, les négatifs donnent -10
Un passage pas clair ?
Demande à Super Craie, elle a lu ce passage.
Voir le corrigé
1) Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires (le cas de 0 mis à part, qui est son propre opposé).
On les trouve donc en changeant seulement le signe.
a) L'opposé de 9 est −9.
Les deux ont pour distance à zéro 9.
Vérification :
(+9)+(−9)=0
b) L'opposé de −12 est +12, que l'on écrit aussi 12.
Distance à zéro commune :
12
Vérification :
(−12)+(+12)=0
c) L'opposé de −6,4 est +6,4.
Distance à zéro commune :
6,4
Vérification :
(−6,4)+(+6,4)=0
d) L'opposé de +25 est −25.
Vérification :
(+25)+(−25)=0
e) L'opposé de 0 est 0.
Vérification :
0+0=0
f) L'opposé de −1 est +1.
Vérification :
(−1)+(+1)=0
2) Deux nombres opposés non nuls ont des signes contraires : si l'un est positif, l'autre est négatif.
Ils ont en revanche exactement la même distance à zéro.
Sur une droite graduée, ils sont donc placés de part et d'autre de 0, à la même distance de l'origine.
Seul 0 fait exception : son opposé est 0 lui-même, et les deux points sont confondus avec l'origine.
3) L'écriture −(−8) se lit « l'opposé de −8 ».
Or : le nombre qui, ajouté à −8, donne 0 est +8.
Donc : −(−8)=+8, que l'on écrit aussi 8.
Vérification :
(−8)+(+8)=0
4) C'est le nombre 0
Car :
0+0=0
Pour tout autre nombre, l'opposé change de signe et ne peut donc pas être égal au nombre de départ.
Le nombre 0 est d'ailleurs le seul nombre à la fois positif et négatif.
Exercice 2
Placer et ranger huit nombres relatifs
On trace une droite graduée qui se prolonge des deux côtés de 0, de −9 à +9, en prenant 1 cm pour unité. 1) Placer sur cette droite les huit points suivants : A d'abscisse −6,B d'abscisse +3,C d'abscisse −1,D d'abscisse +7,E d'abscisse −8,F d'abscisse 0,G d'abscisse +5,H d'abscisse −4. 2) Donner la distance à zéro des abscisses de A, de D et de E. 3) Ranger les huit abscisses dans l'ordre croissant. Indiquer, pour chaque comparaison, la règle utilisée. 4) Recopier et compléter avec le signe < ou le signe > : a) −7…−2 ; b) 0…−3 ; c) −15…+1 ; d) −4,2…−4,9. 5) Encadrer chacun des nombres −4,3 et −0,7 entre deux entiers consécutifs. 6) Ranger enfin les abscisses de B,E,G et H dans l'ordre décroissant.
Voir le corrigé
1) On trace une droite, on marque l'origine 0
Puis : on reporte les graduations de 1 cm en 1 cm : vers la droite pour les nombres positifs, vers la gauche pour les nombres négatifs.
On place ensuite chaque point a son abscisse.
Le point E est le plus a gauche (huit graduations avant 0), le point D est le plus a droite (sept graduations apres 0), et le point F est confondu avec l'origine.
Exercice 3
Lire et placer des points dans un repère
Le plan est muni d'un repère : deux axes gradués perpendiculaires, l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical), qui se coupent en l'origine. Les deux axes sont gradués de −5 à +5, l'unité étant le carreau. Un point est repéré par un couple de coordonnées, l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite. 1) Lire les coordonnées des six points A,B,C,D,E et F de la figure, et les écrire sous la forme A(x;y). 2) Deux de ces six points sont situés sur un axe. Lesquels, et sur quel axe ? 3) Placer ensuite, sur le même repère, les six points G(2;−4),H(−5;3),I(−1;−1),J(4;4),K(0;−2) et L(−3;−5). Décrire, pour G et pour H, le chemin suivi depuis l'origine. 4) Les points M(3;−2) et N(−2;3) sont-ils confondus ? Justifier. 5) Ranger les abscisses des six points A,B,C,D,E et F dans l'ordre croissant.
Voir le corrigé
1) Pour lire les coordonnées d'un point, on descend (ou on monte) du point jusqu'à l'axe des abscisses pour lire l'abscisse
Puis : on rejoint horizontalement l'axe des ordonnées pour lire l'ordonnée.
Les traits en pointillés du point A montrent ce geste : ils arrivent sur 3 sur l'axe horizontal et sur 2 sur l'axe vertical
Donc :
A(3;2)
De la même façon :
B(−4;1),C(−2;−3),D(0;4),E(5;−2),F(−3;0).
Exercice 4
Douze sommes de deux relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs, on dispose de deux règles : · Règle 1, deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. · Règle 2, deux nombres de signes différents : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande. Calculer les douze sommes suivantes. Indiquer à chaque fois laquelle des deux règles on applique. a) (+7)+(+8) ; b) (−6)+(−9) ; c) (+12)+(−5) ; d) (−13)+(+4) ; e) (−8)+(+8) ; f) (+3)+(−11) ; g) (−2,5)+(−3,5) ; h) (+9,2)+(−4,7) ; i) (−15)+(+23) ; j) (−20)+(+7) ; k) (+1,8)+(+2,4) ; l) (−0,5)+(+2,5). 13) Sans poser le calcul, dire si la somme (−27)+(+19) est positive ou négative, et expliquer pourquoi. 14) Quel nombre faut-il ajouter à −7 pour obtenir 0 ? Comment s'appelle ce nombre ?
Voir le corrigé
a) (+7)+(+8) : les deux nombres sont positifs
Donc : règle 1.
Les distances à zéro sont 7 et 8, et 7+8=15.
Exercice 5
Regrouper les positifs et les négatifs
Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. Méthode efficace : on additionne d'abord tous les nombres positifs entre eux, puis tous les nombres négatifs entre eux, et on termine avec deux nombres seulement. Calculer les six sommes suivantes par cette méthode, en écrivant à chaque fois les deux regroupements. S1=(+5)+(−8)+(+11)+(−3) S2=(−7)+(+2)+(−9)+(+4) S3=(+13)+(−6)+(−13)+(+6) S4=(−4,5)+(+7)+(−2,5)+(+1) S5=(−12)+(+5)+(−3)+(+20)+(−9) S6=(+6)+(−15)+(+2,5)+(−1)+(+3,5) 7) Pour S3, trouver une façon encore plus rapide de conclure, sans additionner les positifs entre eux. 8) La figure représente S1 calculée autrement : pas à pas, par des sauts sur une droite graduée. Décrire ce parcours, puis vérifier qu'il donne le même résultat.
Voir le corrigé
S1 : les positifs sont +5 et +11, deux nombres de même signe :
5+11=16
Exercice 6
Les températures d'une journée
Dans une station de montagne, un thermomètre enregistre la température toutes les trois heures. À 0 h, il affiche −2 °C. Voici ensuite les variations mesurées d'un relevé au suivant, dans l'ordre : de 0 h à 3 h : −5 °C ; de 3 h à 6 h : −1 °C ; de 6 h à 9 h : +4 °C ; de 9 h à 12 h : +6 °C ; de 12 h à 15 h : +3 °C ; de 15 h à 18 h : −2 °C ; de 18 h à 21 h : −4 °C ; de 21 h à 24 h : −5 °C. Une variation s'ajoute à la température précédente : par exemple, la première se traduit par la somme (−2)+(−5). 1) Calculer, de proche en proche, les températures relevées à 3 h, 6 h, 9 h, 12 h, 15 h, 18 h, 21 h et 24 h. Indiquer à chaque fois la règle utilisée. 2) Reporter les neuf températures de la journée sur une droite graduée allant de −9 à +6. 3) Ranger ces neuf températures dans l'ordre croissant. À quelle heure a-t-il fait le plus froid ? le plus chaud ? 4) Combien de relevés donnent une température négative non nulle ? 5) Calculer la somme des huit variations de la journée, en regroupant les variations positives d'un côté et les négatives de l'autre. Que représente le résultat obtenu ? 6) Vérifier que la température de 0 h, augmentée de cette somme, redonne bien la température de 24 h.
Voir le corrigé
1) On ajoute chaque variation a la température précédente.
A 3 h :
(−2)+(−5)
Les deux nombres sont négatifs, c'est la règle des memes signes : 2+5=7, et on garde le signe −.
Exercice 7
Valeur absolue, opposé et signe strict
On considère les huit nombres suivants : −3 ; 0 ; +4,5 ; −0,7 ; +12 ; −12 ; 0,2 ; −25. 1) Classer ces nombres en trois listes : les nombres strictement positifs, les nombres strictement négatifs, et ceux qui ne sont ni l'un ni l'autre. 2) Donner la valeur absolue de chacun des huit nombres. 3) Parmi ces huit nombres, trouver deux nombres opposés. Que remarque-t-on sur leurs valeurs absolues ? 4) Ranger les huit nombres dans l'ordre croissant, puis ranger leurs valeurs absolues dans l'ordre croissant. Les deux rangements sont-ils identiques ? Expliquer pourquoi.
2) La distance a zéro se lit sans tenir compte du signe : c'est la distance, sur la droite, entre le point et l'origine.
L'abscisse de A est −6, sa distance a zéro vaut 6.
L'abscisse de D est +7, sa distance a zéro vaut 7.
L'abscisse de E est −8, sa distance a zéro vaut 8.
3) Sur la droite graduée, le plus grand est toujours le plus a droite.
On lit donc l'ordre croissant en parcourant la droite de gauche a droite :
−8<−6<−4<−1<0<3<5<7
soit, avec les noms des points : E,A,H,C,F,B,G,D.
Les règles utilisees, dans l'ordre :
· −8<−6,−6<−4 et −4<−1 : ce sont trois comparaisons entre deux nombres négatifs.
Le plus grand est celui dont la distance a zéro est la plus petite.
Les distances a zéro sont 8,6,4 et 1 ;
Comme 8>6>4>1 : l'ordre des nombres est l'ordre inverse.
C'est le piège du chapitre : −8 est plus petit que −1, alors que 8 est plus grand que 1.
· −1<0 : un nombre négatif non nul est situe a gauche de l'origine, il est donc plus petit que 0.
· 0<3 : un nombre positif non nul est situe a droite de l'origine, il est donc plus grand que 0.
· 3<5<7 : ce sont des nombres positifs, on les compare comme d'habitude.
4) a) −7<−2 : deux négatifs, les distances a zéro sont 7 et 2 ;
Comme 7>2 : c'est −7 le plus petit.
b) 0>−3 : tout nombre négatif non nul est plus petit que 0.
c) −15<+1 : un nombre négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif, même si sa distance a zéro est bien plus grande.
d) −4,2>−4,9 : deux négatifs, les distances a zéro sont 4,2 et 4,9.
Comme 4,2<4,9 : c'est −4,2 le plus grand (il est plus proche de 0, donc plus a droite).
5) Le nombre 4,3 est compris entre 4 et 5.
En passant aux négatifs, on parcourt la droite dans l'autre sens : −4,3 est donc compris entre −5 et −4, et il est plus proche de −4.
On écrit −5<−4,3<−4.
De même, 0,7 est compris entre 0 et 1
Donc :
−1<−0,7<0
6) L'ordre décroissant se lit de la droite vers la gauche : 5>3>−4>−8, soit G,B,H,E.
On écrit toujours l'abscisse en premier et l'ordonnée en second, séparées par un point-virgule.
2) Le point D a pour abscisse 0 : il n'est ni à droite ni à gauche de l'origine, il est donc sur l'axe des ordonnées.
Le point F a pour ordonnée 0 : il n'est ni au-dessus ni au-dessous de l'origine, il est donc sur l'axe des abscisses.
3) On place chaque point en partant de l'origine, en se déplaçant d'abord horizontalement (l'abscisse), puis verticalement (l'ordonnée).
Pour G(2;−4) : depuis l'origine, on avance de 2 carreaux vers la droite (l'abscisse 2 est positive)
Puis : on descend de 4 carreaux (l'ordonnée −4 est négative).
Le point G est en bas à droite.
Pour H(−5;3) : depuis l'origine, on recule de 5 carreaux vers la gauche (l'abscisse −5 est négative)
Puis : on monte de 3 carreaux (l'ordonnée 3 est positive).
Le point H est en haut à gauche.
De même : I(−1;−1) est à un carreau à gauche puis un carreau vers le bas ;
J(4;4) est à quatre carreaux à droite puis quatre carreaux vers le haut ;
K(0;−2) ne se déplace pas horizontalement puis descend de 2, il est donc sur l'axe des ordonnées, comme le point D ;
L(−3;−5) est à trois carreaux à gauche puis cinq carreaux vers le bas.
4) Non, ils ne sont pas confondus.
Dans un couple de coordonnées, l'ordre compte : le premier nombre est l'abscisse, le second l'ordonnée.
Le point M a pour abscisse 3 et pour ordonnée −2 : il est à droite et en bas.
Le point N a pour abscisse −2 et pour ordonnée 3 : il est à gauche et en haut.
Ce sont bien deux points différents.
5) Les abscisses sont 3 ; −4 ; −2 ; 0 ; 5 ; −3.
Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite ;
tout négatif non nul est plus petit que 0, lui-même plus petit que les positifs non nuls.
On obtient :
−4<−3<−2<0<3<5
soit, dans l'ordre, les points B,F,C,D,A,E.
Le signe commun est +.
Donc :
(+7)+(+8)=+15
Vérification :
8+7=15
b) (−6)+(−9) : les deux nombres sont négatifs
Donc : règle 1.
Les distances à zéro sont 6 et 9, et 6+9=15.
Le signe commun est −.
Donc :
(−6)+(−9)=−15
Vérification :
9+6=15
c) (+12)+(−5) : signes différents
Donc : règle 2.
Les distances à zéro sont 12 et 5, et 12−5=7.
La plus grande distance à zéro est celle de +12, qui est positif.
Donc :
(+12)+(−5)=+7
Vérification :
5+7=12
d) (−13)+(+4) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
13 et 4, et 13−4=9
Le nombre le plus éloigné de zéro est −13, qui est négatif.
Donc :
(−13)+(+4)=−9
Vérification :
4+9=13
e) (−8)+(+8) : signes différents
Donc : règle 2.
Les deux distances à zéro valent 8, et 8−8=0.
Ces deux nombres sont opposés, leur somme vaut 0.
Donc :
(−8)+(+8)=0
f) (+3)+(−11) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
3 et 11, et 11−3=8
Le plus éloigné de zéro est −11, qui est négatif.
Donc :
(+3)+(−11)=−8
Vérification :
3+8=11
g) (−2,5)+(−3,5) : deux nombres négatifs
Donc : règle 1.
Distances à zéro :
2,5 et 3,5, et 2,5+3,5=6
Le signe commun est −.
Donc :
(−2,5)+(−3,5)=−6
Vérification :
3,5+2,5=6
h) (+9,2)+(−4,7) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
9,2 et 4,7, et 9,2−4,7=4,5
Le plus éloigné de zéro est +9,2, qui est positif.
Donc :
(+9,2)+(−4,7)=+4,5
Vérification :
4,7+4,5=9,2
i) (−15)+(+23) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
15 et 23, et 23−15=8
Le plus éloigné de zéro est +23, qui est positif.
Donc :
(−15)+(+23)=+8
Vérification :
15+8=23
j) (−20)+(+7) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
20 et 7, et 20−7=13
Le plus éloigné de zéro est −20, qui est négatif.
Donc :
(−20)+(+7)=−13
Vérification :
7+13=20
k) (+1,8)+(+2,4) : deux nombres positifs
Donc : règle 1.
Distances à zéro :
1,8 et 2,4, et 1,8+2,4=4,2
Le signe commun est +.
Donc :
(+1,8)+(+2,4)=+4,2
Vérification :
2,4+1,8=4,2
l) (−0,5)+(+2,5) : signes différents
Donc : règle 2.
Distances à zéro :
0,5 et 2,5, et 2,5−0,5=2
Le plus éloigné de zéro est +2,5, qui est positif.
Donc :
(−0,5)+(+2,5)=+2
Vérification :
0,5+2=2,5
Bilan : le résultat est négatif quand les deux nombres sont négatifs (cas b et g), ou quand le nombre le plus éloigné de zéro est négatif (cas d, f et j).
13) La somme (−27)+(+19) est négative.
Les deux nombres sont de signes différents : le résultat prend le signe de celui dont la distance à zéro est la plus grande.
Ici 27>19, et c'est −27 qui l'emporte.
La réponse est donc négative, sans qu'il soit besoin de calculer.
14) Il faut ajouter +7
Car :
(−7)+(+7)=0
Ce nombre s'appelle l'opposé de −7.
D'où :
+16
Les négatifs sont −8 et −3, également de même signe :
8+3=11
D'où :
−11
Il reste (+16)+(−11) : signes différents, 16−11=5, et le plus éloigné de zéro est +16, qui est positif.
Donc :
S1=+5
Vérification :
11+5=16
S2 : les positifs donnent 2+4=6, soit +6.
Les négatifs donnent 7+9=16, soit −16.
Il reste (+6)+(−16) : signes différents, 16−6=10, et le plus éloigné de zéro est −16, qui est négatif.
Donc :
S2=−10
Vérification :
6+10=16
S3 : les positifs donnent 13+6=19, soit +19.
Les négatifs donnent 6+13=19, soit −19.
Il reste (+19)+(−19) : ces deux nombres sont opposés, leur somme vaut 0.
Donc :
S3=0
S4 : les positifs donnent 7+1=8, soit +8.
Les négatifs donnent 4,5+2,5=7, soit −7.
Il reste (+8)+(−7) : signes différents, 8−7=1, et le plus éloigné de zéro est +8, qui est positif.
Donc :
S4=+1
Vérification :
7+1=8
S5 : les positifs donnent 5+20=25, soit +25.
Les négatifs donnent 12+3=15 puis 15+9=24, soit −24.
Il reste (+25)+(−24) : signes différents, 25−24=1, et le plus éloigné de zéro est +25, qui est positif.
Donc :
S5=+1
Vérification :
24+1=25
S6 : les positifs donnent 6+2,5=8,5 puis 8,5+3,5=12, soit +12.
Les négatifs donnent 15+1=16, soit −16.
Il reste (+12)+(−16) : signes différents, 16−12=4, et le plus éloigné de zéro est −16, qui est négatif.
Donc :
S6=−4
Vérification :
12+4=16
7) Dans S3, on repère directement deux couples de nombres opposés : (+13) avec (−13), et (−6) avec (+6).
Comme l'ordre des termes est libre, on écrit S3=[(+13)+(−13)]+[(−6)+(+6)]=0+0=0.
Chercher les couples d'opposés avant de calculer fait gagner beaucoup de temps.
8) Sur la figure, on part du point d'abscisse +5.
Le premier saut vaut −8 : il va vers la gauche de 8 graduations et arrive en −3, ce qui correspond à (+5)+(−8)=−3 (signes différents, 8−5=3, on garde le signe de −8).
Le deuxième saut vaut +11 : il va vers la droite de 11 graduations et arrive en +8
Car : (−3)+(+11)=+8 (signes différents, 11−3=8, on garde le signe de +11).
Le troisième saut vaut −3 : il repart vers la gauche de 3 graduations et arrive en +5
Car : (+8)+(−3)=+5 (signes différents, 8−3=5, on garde le signe de +8).
Le point d'arrivée est +5 :
on retrouve bien S1=+5
Les sauts vers la droite correspondent aux termes positifs, les sauts vers la gauche aux termes négatifs.
La température est −7 °C.
Vérification :
5+2=7
A 6 h :
(−7)+(−1)
Memes signes :
7+1=8, signe −
La température est −8 °C.
A 9 h :
(−8)+(+4)
Signes différents : 8−4=4, et le nombre le plus eloigne de zéro est −8, qui est négatif.
La température est −4 °C.
Vérification :
4+4=8
A 12 h :
(−4)+(+6)
Signes différents : 6−4=2, et le plus eloigne de zéro est +6, qui est positif.
La température est +2 °C.
Vérification :
4+2=6
A 15 h :
(+2)+(+3)
Memes signes :
2+3=5, signe +
La température est +5 °C.
A 18 h :
(+5)+(−2)
Signes différents : 5−2=3, et le plus eloigne de zéro est +5, qui est positif.
La température est +3 °C.
Vérification :
2+3=5
A 21 h :
(+3)+(−4)
Signes différents : 4−3=1, et le plus eloigne de zéro est −4, qui est négatif.
La température est −1 °C.
Vérification :
3+1=4
A 24 h :
(−1)+(−5)
Memes signes :
1+5=6, signe −
La température est −6 °C.
On retient les neuf releves, en degres Celsius : −2 ; −7 ; −8 ; −4 ; +2 ; +5 ; +3 ; −1 ; −6.
2) On trace une droite graduée de −9 a +6, une graduation par degre
Puis : on place chaque releve a l'abscisse égale a sa température en écrivant l'heure a cote du point : « 0 h » a −2, « 3 h » a −7, « 6 h » a −8, « 9 h » a −4, « 12 h » a +2, « 15 h » a +5, « 18 h » a +3, « 21 h » a −1 et « 24 h » a −6.
Six points se trouvent a gauche de 0 (les températures négatives) et trois a droite (les températures positives).
3) Sur la droite graduée, la plus petite température est la plus a gauche.
On lit :
−8<−7<−6<−4<−2<−1<2<3<5
Entre les nombres négatifs, on a bien range du plus eloigne de zéro au plus proche : les distances a zéro sont 8,7,6,4,2 puis 1.
Ensuite, tout nombre négatif non nul est plus petit que tout nombre positif non nul, et entre les positifs on compare comme d'habitude.
Il a fait le plus froid a 6 h, avec −8 °C.
Il a fait le plus chaud a 15 h, avec +5 °C.
4) Les températures négatives non nulles sont −2 (a 0 h), −7 (a 3 h), −8 (a 6 h), −4 (a 9 h), −1 (a 21 h) et −6 (a 24 h) : cela fait six releves sur neuf.
Les trois autres, a 12 h, 15 h et 18 h, sont positifs.
5) La somme des variations est
(−5)+(−1)+(+4)+(+6)+(+3)+(−2)+(−4)+(−5)
On regroupe les variations positives :
4+6=10 puis 10+3=13, soit +13
On regroupe les variations négatives :
5+1=6
Puis :
6+2=8
Puis :
8+4=12
Puis :
12+5=17, soit −17
Il reste (+13)+(−17) : signes différents, 17−13=4, et le nombre le plus eloigne de zéro est −17, qui est négatif.
La somme vaut donc −4.
Vérification :
13+4=17
Ce résultat est le bilan de la journée : entre 0 h et 24 h, la température a baisse de 4 °C.
Les hausses et les baisses ne se compensent pas tout a fait, et les baisses l'emportent.
6) La température de 0 h augmentée du bilan donne (−2)+(−4).
Les deux nombres sont négatifs, règle des memes signes : 2+4=6, signe −, soit −6 °C.
C'est bien la température relevee a 24 h.
Le calcul de proche en proche et le bilan par une seule somme donnent donc le même résultat : c'est normal, puisque dans une somme on peut regrouper les termes dans l'ordre que l'on veut.
· Ni l'un ni l'autre : 0, qui est à la fois positif et négatif sans être strictement l'un des deux.
2) La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro, c'est-à-dire le nombre sans son signe :
∣−3∣=3∣0∣=0∣+4,5∣=4,5∣−0,7∣=0,7
∣+12∣=12∣−12∣=12∣0,2∣=0,2∣−25∣=25
3) Les nombres +12 et −12 sont opposés
Car :
12+(−12)=0
Ils ont la même valeur absolue, 12 : deux nombres opposés sont à la même distance de 0, de part et d'autre.
4) Dans l'ordre croissant, les nombres se rangent ainsi :
−25<−12<−3<−0,7<0<0,2<+4,5<+12
Et leurs valeurs absolues :
0<0,2<0,7<3<4,5<12=12<25
Les deux rangements sont différents.
Pour ranger des nombres, le signe compte : −25 est le plus petit des nombres.
Pour ranger des valeurs absolues, seule la distance à zéro compte : 25 est la plus grande.
Vérification : les deux listes contiennent bien huit éléments.
