Grand classique · Fonctions1reTerminale

Le second degré

Discriminant, racines, factorisation, signe, sommet de la parabole : l'outil de 1re qu'on réutilise jusqu'au bac, dès qu'un trinôme apparaît.

chapitres liés : Second degré, Dérivation

Pourquoi c'est partout

Le second degré est au programme de 1re, et il revient sans cesse ensuite : pour étudier le signe d'une dérivée, résoudre l'équation

f(\ell) = \ell

d'une suite, ou une équation en

e^{x}

en Terminale.

Toutes les questions se ramènent à quatre gestes : calculer le discriminant, trouver les racines, factoriser, étudier le signe. Les maîtriser sans hésiter libère du temps pour le reste de l'exercice.

Ce qu'il faut savoir

Les trois formes d'un trinôme

Développée :

ax^2 + bx + c

, avec

a \neq 0

.

Canonique :

a(x - \alpha)^2 + \beta

, où :

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

\beta = f(\alpha)

Factorisée (quand il y a deux racines

x_1

x_2

) :

a(x - x_1)(x - x_2)

.

Chaque forme répond à une question : la développée pour calculer, la canonique pour le sommet, la factorisée pour le signe et les racines.

Discriminant et racines

On calcule :

\Delta = b^2 - 4ac

Si $\Delta > 0$ : deux racines,

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Si $\Delta = 0$ : une racine double,

x_0 = -\dfrac{b}{2a}

.

Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, le trinôme ne se factorise pas.

Le signe du trinôme

Règle : le trinôme est du signe de $a$ , sauf entre ses racines (quand il en a deux), où il est du signe contraire.

Avec

a > 0

: positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Avec

a < 0

: l'inverse.

Si

\Delta < 0

, il est du signe de

a

pour tout réel

x

La parabole et son sommet

La courbe de

x \mapsto ax^2 + bx + c

est une parabole, tournée vers le haut si

a > 0

, vers le bas si

a < 0

.

Son sommet a pour coordonnées

(\alpha\,;\beta)

: c'est le minimum si

a > 0

, le maximum si

a < 0

. L'axe de symétrie est la droite

x = \alpha

.

Les racines sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Raccourcis utiles

Pas de terme constant (

c = 0

) : on factorise par

x

directement,

ax^2 + bx = x(ax + b)

.

Pas de terme en $x$ (

b = 0

) : on reconnaît souvent

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

.

Racine évidente : si on trouve

x_1

(essayer

1

-1

2

), l'autre se déduit du produit

x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

ou de la somme

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

Compléter le carré, et lire la translation

Le programme de 1re fait obtenir la forme canonique en complétant le carré, grâce à l'identité :

x^2 + 2px = (x + p)^2 - p^2

Exemple :

x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4

. Si

a \neq 1

, on met d'abord

a

en facteur dans les termes en

x^2

et en

x

.

La forme canonique se lit sur la courbe : la parabole de

x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta

est celle de

x \mapsto ax^2

, translatée de

\alpha

horizontalement et de

\beta

verticalement. Plus généralement, la courbe de

x \mapsto f(x - m)

est celle de

f

décalée de

m

vers la droite :

(x - 3)^2

décale vers la droite,

(x + 3)^2

vers la gauche.

Les questions types

1
« Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ »
La question de base. Avant le discriminant, regarder si un raccourci existe.
1. Si $b = 0$ ou $c = 0$ , factoriser directement.

2. Sinon, identifier $a$ , $b$ , $c$ (avec leurs signes) et calculer $\Delta$ .

3. Appliquer les formules des racines, puis conclure par l'ensemble des solutions $S = \{\dots\}$ .
2
« Factoriser le trinôme »
Souvent pour préparer une étude de signe.
1. Trouver les racines $x_1$ et $x_2$ .

2. Écrire $a(x - x_1)(x - x_2)$ , sans oublier le coefficient $a$ devant.

3. Vérifier en redéveloppant mentalement le terme en $x^2$ .
3
« Résoudre l'inéquation $ax^2 + bx + c \geq 0$ » ou « étudier le signe »
Le signe d'une dérivée du troisième degré se ramène presque toujours à ça.
1. Ramener l'inéquation à « trinôme $\geq 0$ » (tout passer du même côté).

2. Trouver les racines, puis appliquer la règle : du signe de $a$ sauf entre les racines.

3. Lire l'ensemble des solutions dans un tableau de signes, en faisant attention aux crochets (racines incluses si $\geq$ ).
Guide complet :Le tableau de variations
4
« Déterminer la forme canonique » ou « le maximum de $f$ »
Problèmes d'optimisation (aire maximale, bénéfice maximal) ou étude de la parabole.
1. Compléter le carré (la méthode que nomme le programme de 1re), ou calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ , puis $\beta = f(\alpha)$ .

2. Écrire $a(x - \alpha)^2 + \beta$ .

3. Conclure : extremum $\beta$ atteint en $x = \alpha$ (maximum si $a < 0$ , minimum si $a > 0$ ).
5
Équation « déguisée » : $e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0$ , $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ …
Terminale
Terminale (pour l'exponentielle). On reconnaît un trinôme en une autre quantité.
1. Poser $X = e^{x}$ (ou $X = x^2$ ) : l'équation devient un trinôme en $X$ , car $e^{2x} = (e^{x})^2$ .

2. Résoudre le trinôme en $X$ .

3. Revenir à $x$ en résolvant $e^{x} = X$ , ce qui n'est possible que si $X > 0$ .

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -2x^2 + 4x + 6

.

1. Résoudre

f(x) = 0

et en déduire une forme factorisée de

f(x)

.

2. Étudier le signe de

f(x)

.

3. Déterminer la forme canonique de

f

et son maximum.

4. Résoudre l'inéquation

f(x) \geq 6

Rédaction

1. On identifie les coefficients avec leurs signes :

a = -2

b = 4

c = 6

\Delta = 4^2 - 4 \times (-2) \times 6 = 16 + 48 = 64

(attention :

-4 \times (-2) \times 6 = +48

, deux signes moins donnent un plus.)

\Delta > 0

\sqrt{64} = 8

: deux racines.

x_1 = \dfrac{-4 - 8}{2 \times (-2)} = \dfrac{-12}{-4} = 3

x_2 = \dfrac{-4 + 8}{2 \times (-2)} = \dfrac{4}{-4} = -1

Les solutions de

f(x) = 0

sont

-1

3

S = \{-1\,;3\}

.

Forme factorisée :

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

, donc

f(x) = -2(x + 1)(x - 3)

(car

x - (-1) = x + 1

a = -2 < 0

: le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

f(x) > 0

sur

]-1\,;3[

f(x) = 0

-1

et en

3

, et

f(x) < 0

sur

]-\infty\,;-1[

et sur

]3\,;+\infty[

3. On calcule l'abscisse du sommet :

\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-2)} = -\dfrac{4}{-4} = 1

puis son ordonnée :

\beta = f(1) = -2 + 4 + 6 = 8

Forme canonique :

f(x) = -2(x - 1)^2 + 8

.

Vérification (en redéveloppant) :

-2(x^2 - 2x + 1) + 8 = -2x^2 + 4x - 2 + 8 = -2x^2 + 4x + 6

. C'est bien

f(x)

.

Comme

a < 0

, la parabole est tournée vers le bas : le maximum de

f

est

8

, atteint en

x = 1

4. On passe tout du même côté :

-2x^2 + 4x + 6 \geq 6

-2x^2 + 4x \geq 0

Il n'y a plus de terme constant : on factorise directement par

-2x

(pas besoin de discriminant).

-2x(x - 2) \geq 0

Les racines sont

0

2

, et le coefficient de

x^2

est

-2 < 0

: l'expression est positive entre les racines.

S = [0\,;2]

(les crochets sont fermés car l'inégalité est large :

0

2

sont solutions.)

Exemple Terminale

Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation :

e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0

Rédaction

Idée.

e^{2x} = (e^{x})^2

(règle

e^{2x} = e^{x} \times e^{x}

). Si l'on pose

X = e^{x}

, l'équation devient un trinôme en

X

.

Changement de variable. Avec

X = e^{x}

X^2 - 3X + 2 = 0

Résolution du trinôme.

a = 1

b = -3

c = 2

\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1

\Delta > 0

\sqrt{1} = 1

, donc deux solutions :

X_1 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1

X_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2

.

Retour à $x$ . On résout

e^{x} = 1

e^{x} = 2

. Les deux valeurs sont strictement positives, donc chacune donne une solution (on applique

\ln

) :

e^{x} = 1 \iff x = \ln 1 = 0

e^{x} = 2 \iff x = \ln 2

S = \{0\,;\ln 2\}

Vérification : pour

x = 0

e^{0} - 3e^{0} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

. Pour

x = \ln 2

e^{2\ln 2} = 4

e^{\ln 2} = 2

, donc

4 - 6 + 2 = 0

Pièges classiques

Oublier le signe d'un coefficient : dans $-2x^2 + 4x + 6$ , $a = -2$ , pas $2$ . Toute la suite en dépend.
Se tromper dans $-4ac$ quand $a$ ou $c$ est négatif : écrire chaque facteur entre parenthèses, $-4 \times (-2) \times 6$ .
Oublier le coefficient $a$ dans la forme factorisée : $-2(x + 1)(x - 3)$ et non $(x + 1)(x - 3)$ .
Inverser la règle du signe : « du signe de $a$ » vaut à l'extérieur des racines.
Calculer un discriminant inutile quand $b = 0$ ou $c = 0$ : une factorisation directe est plus rapide et plus sûre.
Garder une solution $X \leq 0$ après le changement de variable $X = e^{x}$ : $e^{x}$ est toujours strictement positif.
Compléter le carré en ajoutant au lieu de retrancher : $x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$ , et non $(x - 4)^2 + 16$ .

Avant de rendre la copie

$a$ , $b$ , $c$ sont identifiés avec leurs signes.
Le calcul de $\Delta$ est écrit, avec des parenthèses autour des nombres négatifs.
La forme factorisée contient le coefficient $a$ .
La règle du signe est appliquée en regardant le signe de $a$ .
L'ensemble des solutions est écrit avec les bons crochets.
Après un changement de variable, je suis revenu à la variable de départ.

Chargement…

Pourquoi c'est partout

Le second degré est au programme de 1re, et il revient sans cesse ensuite : pour étudier le signe d'une dérivée, résoudre l'équation

f(\ell) = \ell

d'une suite, ou une équation en

e^{x}

Ce qu'il faut savoir

Les trois formes d'un trinôme

Développée :

ax^2 + bx + c

, avec

a \neq 0

.

Canonique :

a(x - \alpha)^2 + \beta

, où :

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

\beta = f(\alpha)

Factorisée (quand il y a deux racines

x_1

x_2

) :

a(x - x_1)(x - x_2)

.

Chaque forme répond à une question : la développée pour calculer, la canonique pour le sommet, la factorisée pour le signe et les racines.

Discriminant et racines

On calcule :

\Delta = b^2 - 4ac

Si $\Delta > 0$ : deux racines,

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Si $\Delta = 0$ : une racine double,

x_0 = -\dfrac{b}{2a}

.

Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, le trinôme ne se factorise pas.

Le signe du trinôme

Règle : le trinôme est du signe de $a$ , sauf entre ses racines (quand il en a deux), où il est du signe contraire.

Avec

a > 0

: positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Avec

a < 0

: l'inverse.

Si

\Delta < 0

, il est du signe de

a

pour tout réel

x

La parabole et son sommet

La courbe de

x \mapsto ax^2 + bx + c

est une parabole, tournée vers le haut si

a > 0

, vers le bas si

a < 0

.

Son sommet a pour coordonnées

(\alpha\,;\beta)

: c'est le minimum si

a > 0

, le maximum si

a < 0

. L'axe de symétrie est la droite

x = \alpha

.

Les racines sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Raccourcis utiles

Pas de terme constant (

c = 0

) : on factorise par

x

directement,

ax^2 + bx = x(ax + b)

.

Pas de terme en $x$ (

b = 0

) : on reconnaît souvent

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

.

Racine évidente : si on trouve

x_1

(essayer

1

-1

2

), l'autre se déduit du produit

x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

ou de la somme

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

Compléter le carré, et lire la translation

Le programme de 1re fait obtenir la forme canonique en complétant le carré, grâce à l'identité :

x^2 + 2px = (x + p)^2 - p^2

Exemple :

x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4

. Si

a \neq 1

, on met d'abord

a

en facteur dans les termes en

x^2

et en

x

.

La forme canonique se lit sur la courbe : la parabole de

x \mapsto a(x - \alpha)^2 + \beta

est celle de

x \mapsto ax^2

, translatée de

\alpha

horizontalement et de

\beta

verticalement. Plus généralement, la courbe de

x \mapsto f(x - m)

est celle de

f

décalée de

m

vers la droite :

(x - 3)^2

décale vers la droite,

(x + 3)^2

vers la gauche.

Les questions types

« Résoudre l'équation

ax^2 + bx + c = 0

La question de base. Avant le discriminant, regarder si un raccourci existe.

1. Si

b = 0

c = 0

, factoriser directement.

2. Sinon, identifier

a

b

c

(avec leurs signes) et calculer

\Delta

.

3. Appliquer les formules des racines, puis conclure par l'ensemble des solutions

S = \{\dots\}

« Factoriser le trinôme »

Souvent pour préparer une étude de signe.

1. Trouver les racines

x_1

x_2

.

2. Écrire

a(x - x_1)(x - x_2)

, sans oublier le coefficient $a$ devant.

3. Vérifier en redéveloppant mentalement le terme en

x^2

« Résoudre l'inéquation

ax^2 + bx + c \geq 0

» ou « étudier le signe »

Le signe d'une dérivée du troisième degré se ramène presque toujours à ça.

1. Ramener l'inéquation à « trinôme

\geq 0

» (tout passer du même côté).

2. Trouver les racines, puis appliquer la règle : du signe de

a

sauf entre les racines.

3. Lire l'ensemble des solutions dans un tableau de signes, en faisant attention aux crochets (racines incluses si

\geq

Guide complet :Le tableau de variations

« Déterminer la forme canonique » ou « le maximum de

f

Problèmes d'optimisation (aire maximale, bénéfice maximal) ou étude de la parabole.

1. Compléter le carré (la méthode que nomme le programme de 1re), ou calculer

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

, puis

\beta = f(\alpha)

.

2. Écrire

a(x - \alpha)^2 + \beta

.

3. Conclure : extremum

\beta

atteint en

x = \alpha

(maximum si

a < 0

, minimum si

a > 0

Équation « déguisée » :

e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

…

Terminale

Terminale (pour l'exponentielle). On reconnaît un trinôme en une autre quantité.

1. Poser

X = e^{x}

(ou

X = x^2

) : l'équation devient un trinôme en

X

, car

e^{2x} = (e^{x})^2

.

2. Résoudre le trinôme en

X

.

3. Revenir à

x

en résolvant

e^{x} = X

, ce qui n'est possible que si

X > 0

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -2x^2 + 4x + 6

.

1. Résoudre

f(x) = 0

et en déduire une forme factorisée de

f(x)

.

2. Étudier le signe de

f(x)

.

3. Déterminer la forme canonique de

f

et son maximum.

4. Résoudre l'inéquation

f(x) \geq 6

Rédaction

1. On identifie les coefficients avec leurs signes :

a = -2

b = 4

c = 6

\Delta = 4^2 - 4 \times (-2) \times 6 = 16 + 48 = 64

(attention :

-4 \times (-2) \times 6 = +48

, deux signes moins donnent un plus.)

\Delta > 0

\sqrt{64} = 8

: deux racines.

x_1 = \dfrac{-4 - 8}{2 \times (-2)} = \dfrac{-12}{-4} = 3

x_2 = \dfrac{-4 + 8}{2 \times (-2)} = \dfrac{4}{-4} = -1

Les solutions de

f(x) = 0

sont

-1

3

S = \{-1\,;3\}

.

Forme factorisée :

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

, donc

f(x) = -2(x + 1)(x - 3)

(car

x - (-1) = x + 1

a = -2 < 0

: le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

f(x) > 0

sur

]-1\,;3[

f(x) = 0

-1

et en

3

, et

f(x) < 0

sur

]-\infty\,;-1[

et sur

]3\,;+\infty[

3. On calcule l'abscisse du sommet :

\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-2)} = -\dfrac{4}{-4} = 1

puis son ordonnée :

\beta = f(1) = -2 + 4 + 6 = 8

Forme canonique :

f(x) = -2(x - 1)^2 + 8

.

Vérification (en redéveloppant) :

-2(x^2 - 2x + 1) + 8 = -2x^2 + 4x - 2 + 8 = -2x^2 + 4x + 6

. C'est bien

f(x)

.

Comme

a < 0

, la parabole est tournée vers le bas : le maximum de

f

est

8

, atteint en

x = 1

4. On passe tout du même côté :

-2x^2 + 4x + 6 \geq 6

-2x^2 + 4x \geq 0

Il n'y a plus de terme constant : on factorise directement par

-2x

(pas besoin de discriminant).

-2x(x - 2) \geq 0

Les racines sont

0

2

, et le coefficient de

x^2

est

-2 < 0

: l'expression est positive entre les racines.

S = [0\,;2]

(les crochets sont fermés car l'inégalité est large :

0

2

sont solutions.)

Exemple Terminale

Résoudre dans

\mathbb{R}

l'équation :

e^{2x} - 3e^{x} + 2 = 0

Rédaction

Idée.

e^{2x} = (e^{x})^2

(règle

e^{2x} = e^{x} \times e^{x}

). Si l'on pose

X = e^{x}

, l'équation devient un trinôme en

X

.

Changement de variable. Avec

X = e^{x}

X^2 - 3X + 2 = 0

Résolution du trinôme.

a = 1

b = -3

c = 2

\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1

\Delta > 0

\sqrt{1} = 1

, donc deux solutions :

X_1 = \dfrac{3 - 1}{2} = 1

X_2 = \dfrac{3 + 1}{2} = 2

.

Retour à $x$ . On résout

e^{x} = 1

e^{x} = 2

. Les deux valeurs sont strictement positives, donc chacune donne une solution (on applique

\ln

) :

e^{x} = 1 \iff x = \ln 1 = 0

e^{x} = 2 \iff x = \ln 2

S = \{0\,;\ln 2\}

Vérification : pour

x = 0

e^{0} - 3e^{0} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

. Pour

x = \ln 2

e^{2\ln 2} = 4

e^{\ln 2} = 2

, donc

4 - 6 + 2 = 0

Pièges classiques

Oublier le signe d'un coefficient : dans

-2x^2 + 4x + 6

a = -2

, pas

2

. Toute la suite en dépend.

Se tromper dans $-4ac$ quand

a

c

est négatif : écrire chaque facteur entre parenthèses,

-4 \times (-2) \times 6

Oublier le coefficient $a$ dans la forme factorisée :

-2(x + 1)(x - 3)

et non

(x + 1)(x - 3)

Inverser la règle du signe : « du signe de

a

» vaut à l'extérieur des racines.

Calculer un discriminant inutile quand

b = 0

c = 0

: une factorisation directe est plus rapide et plus sûre.

Garder une solution $X \leq 0$ après le changement de variable

X = e^{x}

e^{x}

est toujours strictement positif.

Compléter le carré en ajoutant au lieu de retrancher :

x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16

, et non

(x - 4)^2 + 16

Avant de rendre la copie

a

b

c

sont identifiés avec leurs signes.

Le calcul de

\Delta

est écrit, avec des parenthèses autour des nombres négatifs.

La forme factorisée contient le coefficient

a

La règle du signe est appliquée en regardant le signe de

a

L'ensemble des solutions est écrit avec les bons crochets.

Après un changement de variable, je suis revenu à la variable de départ.