Grand classique · Fonctions1reTerminale

Le tableau de variations

Le dresser, le lire, s'en servir : la notion qui revient dans presque tous les exercices de fonctions, en 1re comme en Terminale.

Au moins une question dans 18 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Dérivation, Limites et continuité, Convexité, composée et fonctions trigonométriques

Pourquoi c'est partout

La consigne « dresser le tableau de variations » est rarement une fin en soi : le tableau est l'outil dont les questions suivantes ont besoin. Une fois qu'il est juste, on y lit le nombre de solutions d'une équation, le signe de

f

, un maximum ou un minimum, une inégalité, un intervalle sur lequel une suite reste coincée.

Conséquence directe : un tableau faux fait perdre la question et toutes celles qui en dépendent. C'est la question où la rigueur rapporte le plus.

En 1re, on travaille sur un intervalle fermé, avec des images aux bornes. En Terminale, s'ajoutent les limites aux bornes ouvertes et le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce qu'il faut savoir

Le lien entre dérivée et variations

Sur un intervalle

I

:

Si

f'(x) > 0

sur

I

, alors

f

est strictement croissante sur

I

.

Si

f'(x) < 0

sur

I

, alors

f

est strictement décroissante sur

I

.

Si

f'

s'annule seulement en quelques points isolés, sans changer de signe, la conclusion ne change pas. Exemple : la dérivée de

x \mapsto x^3

est

3x^2

, nulle en

0

et positive ailleurs ;

x^3

est bien strictement croissante sur

\mathbb{R}

Ce que contient chaque ligne

Ligne de $x$ : les bornes du domaine, puis les valeurs où

f'

s'annule ou change de signe, rangées dans l'ordre croissant. Une valeur interdite s'écrit avec une double barre verticale : on ne relie jamais deux flèches à travers elle.

Ligne(s) de signe : une ligne par facteur de

f'(x)

si besoin, puis la ligne de

f'(x)

, avec un

0

sous chaque valeur qui l'annule.

Ligne de $f$ : une flèche par intervalle, et au bout de chaque flèche une valeur exacte : l'image

f(a)

a

est dans le domaine, la limite si la borne est ouverte ou infinie (Terminale).

Extremum local

f'

s'annule en

a

en changeant de signe,

f

admet un extremum local en

a

: un maximum si

f'

passe de

+

-

, un minimum si elle passe de

-

+

.

Si

f'(a) = 0

sans changement de signe, il n'y a pas d'extremum (c'est le cas de

x^3

0

Les dérivées à avoir en tête

Fonctions de référence :

(x^n)' = n\,x^{n-1}

(donc

(x^2)' = 2x

(x^3)' = 3x^2

, et pour un exposant négatif

\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -\dfrac{2}{x^3}

), une constante a pour dérivée

0

, et

(e^{x})' = e^{x}

: l'exponentielle est sa propre dérivée.

Produit (

u

v

deux fonctions) :

(uv)' = u'v + uv'

Quotient :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Composées (Terminale pour

\ln

) :

(e^{u})' = u'\,e^{u}

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

Réflexe : écrire

u

u'

v

v'

avant d'appliquer la formule. C'est là que se glissent les erreurs de signe.

Les signes à connaître par cœur

Exponentielle :

e^{x} > 0

pour tout réel

x

, donc elle ne change jamais le signe d'un produit.

Logarithme (Terminale) : sur

]0\,;+\infty[

\ln x > 0

si et seulement si

x > 1

.

Fonction affine

mx + p

: on résout

mx + p > 0

comme une inéquation. Par exemple

1 - x > 0 \iff x < 1

.

Trinôme

ax^2 + bx + c

: on calcule le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta > 0

, il a deux racines :

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Il est alors du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles. Si

\Delta \leq 0

, il est du signe de

a

partout (et s'annule en

-\dfrac{b}{2a}

\Delta = 0

Les questions types

1
« Dresser le tableau de variations de $f$ »
La question la plus fréquente. Souvent précédée de « montrer que $f'(x) = \dots$ » : la forme donnée est celle dont on lit le signe, il faut l'utiliser.
1. Annoncer le domaine (et les valeurs interdites).

2. Calculer $f'(x)$ (en écrivant la formule de dérivation utilisée) et la factoriser pour obtenir un produit ou un quotient de facteurs dont on connaît le signe. Les trois outils : mettre un facteur commun en évidence, reconnaître une identité remarquable, ou calculer un discriminant.

3. Justifier le signe de chaque facteur par une phrase, puis en déduire celui de $f'(x)$ .

4. Dresser le tableau et compléter le bout des flèches par des valeurs exactes.
2
« Étudier le signe de $f'(x)$ » quand il ne se lit pas
La dérivée contient un morceau dont le signe n'est pas évident (par exemple $x^2 - 1 + \ln x$ ). L'énoncé introduit alors une fonction auxiliaire $g$ , souvent dans une partie A.
1. Étudier $g$ pour elle-même (dérivée, variations).

2. Trouver où $g$ s'annule (valeur évidente ou solution $\alpha$ du théorème des valeurs intermédiaires).

3. En déduire le signe de $g$ , donc celui de $f'$ .
Fiche détaillée :Fonction auxiliaire pour piloter le signe de $f'$
3
« Montrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ »
Terminale
Le tableau est dressé ; on cherche combien de fois la courbe passe à la hauteur $k$ .
1. Sur le tableau, repérer l'intervalle où $k$ est atteint.

2. Sur cet intervalle, écrire les trois arguments : $f$ est continue, $f$ est strictement monotone, $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.

3. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puis traiter les autres intervalles : y montrer que $k$ n'est pas atteint (ou l'est une fois de plus).
4
« En déduire le signe de $f(x)$ »
Juste après l'existence de $\alpha$ avec $f(\alpha) = 0$ . Le « en déduire » interdit de tout recommencer : il faut lire le tableau.
1. Repérer sur le tableau où $f$ vaut $0$ (en $\alpha$ ).

2. $f$ étant strictement monotone de part et d'autre, conclure par intervalle : par exemple « $f$ est strictement croissante sur $[a\,;b]$ et $f(\alpha) = 0$ , donc $f(x) < 0$ pour $x < \alpha$ et $f(x) > 0$ pour $x > \alpha$ ».
5
« Déterminer le maximum de $f$ » ou « montrer que $f(x) \geq m$ »
Un extremum se lit sur le tableau ; une inégalité entre deux fonctions se ramène à l'étude de leur différence.
1. Repérer tous les sommets candidats : les extremums locaux et les valeurs aux bornes d'un intervalle fermé.

2. Comparer ces valeurs : le maximum est la plus grande.

3. Pour une inégalité $u(x) \geq v(x)$ , étudier $d = u - v$ et lire son minimum.
Fiche détaillée :Prouver une inégalité par étude de la fonction différence
6
Le tableau est donné, ou c'est la courbe qui l'est
« Par lecture graphique », « à l'aide du tableau ci-dessous » : on lit, on ne calcule pas, mais on justifie quand même.
1. Variations de $f$ $\Rightarrow$ signe de $f'$ : là où $f$ croît, $f' \geq 0$ .

2. Lire les valeurs particulières (extremums, zéros) et les citer dans la réponse.

3. Ne jamais affirmer une valeur exacte qu'on ne fait que lire : dire « environ » ou s'appuyer sur un point dont les coordonnées sont données.
Fiche détaillée :Traduire une lecture graphique en langage de dérivée
7
Le tableau de $f$ au service d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
La partie B d'un exercice reprend la fonction de la partie A pour définir une suite.
1. Lire sur le tableau un intervalle $I$ sur lequel $f$ est croissante et tel que $f(I) \subset I$ .

2. Mener la récurrence : l'hérédité applique $f$ (croissante) aux membres de l'encadrement.
Fiche détaillée :Suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : monotonie et convergence

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

[-2\,;2]

par

f(x) = x^3 - 3x + 1

.

1. Dresser le tableau de variations de

f

.

2. Déterminer le maximum de

f

sur

[-2\,;2]

et la ou les valeurs de

x

où il est atteint.

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est un polynôme, donc dérivable sur

[-2\,;2]

. On dérive terme à terme avec

(x^n)' = n\,x^{n-1}

(x^3)' = 3x^2

(-3x)' = -3

et la constante

1

a pour dérivée

0

. Pour tout

x

[-2\,;2]

f'(x) = 3x^2 - 3.

Signe de $f'(x)$ , méthode 1 : factoriser. Les deux termes contiennent

3

, on le met en facteur :

f'(x) = 3(x^2 - 1).

On reconnaît l'identité remarquable

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

avec

a = x

b = 1

f'(x) = 3(x - 1)(x + 1).

Le facteur

3

est positif.

x + 1 > 0 \iff x > -1

x - 1 > 0 \iff x > 1

. On rassemble les signes dans un tableau, ligne par ligne, et on applique la règle des signes d'un produit.

Signe de $f'(x)$ , méthode 2 : le discriminant.

3x^2 - 3

est un trinôme avec

a = 3

b = 0

c = -3

\Delta = 0^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 36

\Delta > 0

\sqrt{36} = 6

, donc deux racines :

x_1 = \dfrac{0 - 6}{2 \times 3} = -1

x_2 = \dfrac{0 + 6}{2 \times 3} = 1

. Comme

a = 3 > 0

, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Valeurs à placer au bout des flèches (aux bornes et là où

f'

s'annule). Attention aux parenthèses :

(-2)^3 = -8

f(-2) = (-2)^3 - 3 \times (-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3

f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1

f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

Conclusion.

f

est strictement croissante sur

[-2\,;-1]

, strictement décroissante sur

[-1\,;1]

et strictement croissante sur

[1\,;2]

.

2. Sur le tableau, les valeurs candidates pour le maximum sont le maximum local

f(-1) = 3

et la valeur à la borne droite

f(2) = 3

(une borne peut être plus haute qu'un sommet).

Le maximum de

f

sur

[-2\,;2]

est

3

, atteint en

x = -1

et en

x = 2

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = (2 - x)\,e^{x}

.

1. Montrer que

f'(x) = (1 - x)\,e^{x}

puis dresser le tableau de variations complet de

f

.

2. Montrer que l'équation

f(x) = 1

admet exactement deux solutions sur

\mathbb{R}

. On note

\beta

la plus grande : en donner un encadrement d'amplitude

10^{-2}

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est le produit de deux fonctions dérivables sur

\mathbb{R}

. On utilise la formule de la dérivée d'un produit :

(uv)' = u'v + uv'

On écrit chaque morceau avant de calculer :

u(x) = 2 - x

, donc

u'(x) = -1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

(l'exponentielle est sa propre dérivée).

On remplace dans la formule :

f'(x) = (-1) \times e^{x} + (2 - x) \times e^{x}

Factorisation.

e^{x}

apparaît dans les deux termes : on le met en facteur, comme dans

k\,a + k\,b = k\,(a + b)

f'(x) = e^{x}\,\big(-1 + 2 - x\big)

f'(x) = (1 - x)\,e^{x}.

Signe de $f'(x)$ . Pour tout réel

x

e^{x} > 0

, donc

f'(x)

a le signe de

1 - x

. Or

1 - x > 0 \iff x < 1

f'(x)

est positive sur

]-\infty\,;1[

, nulle en

1

, négative sur

]1\,;+\infty[

.

Valeur au sommet.

f(1) = (2 - 1) \times e^{1} = e

.

Limite en $-\infty$ .

2 - x

tend vers

+\infty

e^{x}

vers

0

: c'est une forme indéterminée «

\infty \times 0

». On développe pour faire apparaître une limite connue :

f(x) = 2e^{x} - x\,e^{x}

. Or

\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0

et, par croissances comparées,

\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0

. Donc

\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 2 \times 0 - 0 = 0

.

Limite en $+\infty$ .

\lim\limits_{x \to +\infty} (2 - x) = -\infty

\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty

: un produit «

-\infty \times (+\infty)

» n'est pas indéterminé, donc

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

2. L'idée, avant de rédiger. Sur le tableau, la hauteur

1

est atteinte une fois en montant (entre

0

e \approx 2{,}72

), puis une fois en descendant (entre

e

-\infty

). On le démontre intervalle par intervalle avec le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue (sans saut) et strictement monotone (sans retour en arrière) passe une seule fois par chaque valeur comprise entre ses valeurs aux bornes.

Sur $]-\infty\,;1]$ :

f

est continue et strictement croissante, de limite

0

-\infty

jusqu'à

f(1) = e

. Elle prend donc toutes les valeurs de

]0\,;e]

(

0

est exclu : c'est une limite, jamais atteinte). Comme

0 < 1 \leq e

, l'équation

f(x) = 1

admet une unique solution

\alpha

sur cet intervalle.

Sur $[1\,;+\infty[$ :

f

est continue et strictement décroissante, de

f(1) = e

jusqu'à une limite

-\infty

. Elle prend toutes les valeurs de

]-\infty\,;e]

, et

1

en fait partie : l'équation admet une unique solution

\beta

sur cet intervalle.

L'équation

f(x) = 1

admet donc exactement deux solutions sur

\mathbb{R}

.

Encadrement de $\beta$ . Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, on avance d'abord au pas de

0{,}1

f(1{,}8) \approx 1{,}21 > 1

f(1{,}9) \approx 0{,}67 < 1

, donc

\beta

est entre

1{,}8

1{,}9

. On affine au pas de

0{,}01

f(1{,}84) \approx 1{,}007 > 1

f(1{,}85) \approx 0{,}954 < 1

. Comme

f

est décroissante sur

[1\,;+\infty[

, la valeur

1

est franchie entre les deux :

1{,}84 < \beta < 1{,}85.

Pièges classiques

Écrire une valeur approchée au bout d'une flèche : on écrit $e$ , pas $2{,}72$ ; $\ln 2$ , pas $0{,}69$ . L'approximation se donne à part, si elle est demandée.
Confondre le signe de $f$ et celui de $f'$ : la ligne de signe du tableau de variations est celle de $f'(x)$ . Le signe de $f$ est une autre question, qui se lit sur la ligne des variations.
Écrire $f(+\infty)$ : ça n'existe pas. Au bout d'une flèche qui va vers une borne infinie ou ouverte, on écrit la limite.
Oublier de justifier le signe : « $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ » doit être écrit. Un tableau sans justification du signe de $f'$ ne rapporte pas tous les points.
Réunir deux intervalles : $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , mais pas sur leur réunion ( $-1 < 1$ et pourtant $\tfrac{1}{-1} < \tfrac{1}{1}$ ). On conclut intervalle par intervalle.
Se tromper dans la dérivée d'un produit : $(uv)'$ n'est pas $u'v'$ . Écrire $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ séparément évite aussi d'oublier le signe moins de $u'(x) = -1$ quand $u(x) = 2 - x$ .
Croire que $f'(a) = 0$ donne toujours un extremum : il faut un changement de signe de $f'$ en $a$ .
Chercher le maximum sur un intervalle fermé sans regarder les bornes : dans l'exemple de 1re, le maximum $3$ est atteint en $-1$ mais aussi à la borne $2$ .

Avant de rendre la copie

Le domaine est annoncé, ses bornes sont dans la première ligne.
$f'(x)$ est calculée et factorisée.
Le signe de chaque facteur est justifié par une phrase.
Chaque flèche monte là où $f' > 0$ et descend là où $f' < 0$ .
Au bout des flèches : valeurs exactes (images aux bornes fermées, limites aux bornes ouvertes).
Les valeurs interdites ont leur double barre.
Une phrase conclut : « $f$ est strictement croissante sur … et strictement décroissante sur … ».

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Le tableau de variations

Le dresser, le lire, s'en servir : la notion qui revient dans presque tous les exercices de fonctions, en 1re comme en Terminale.

Au moins une question dans 18 sujets de bac sur 24 analysés · chapitres liés : Dérivation, Limites et continuité, Convexité, composée et fonctions trigonométriques

Pourquoi c'est partout

f

Ce qu'il faut savoir

Le lien entre dérivée et variations

Sur un intervalle

I

:

Si

f'(x) > 0

sur

I

, alors

f

est strictement croissante sur

I

.

Si

f'(x) < 0

sur

I

, alors

f

est strictement décroissante sur

I

.

Si

f'

s'annule seulement en quelques points isolés, sans changer de signe, la conclusion ne change pas. Exemple : la dérivée de

x \mapsto x^3

est

3x^2

, nulle en

0

et positive ailleurs ;

x^3

est bien strictement croissante sur

\mathbb{R}

Ce que contient chaque ligne

Ligne de $x$ : les bornes du domaine, puis les valeurs où

f'

f'(x)

si besoin, puis la ligne de

f'(x)

, avec un

0

sous chaque valeur qui l'annule.

Ligne de $f$ : une flèche par intervalle, et au bout de chaque flèche une valeur exacte : l'image

f(a)

a

est dans le domaine, la limite si la borne est ouverte ou infinie (Terminale).

Extremum local

f'

s'annule en

a

en changeant de signe,

f

admet un extremum local en

a

: un maximum si

f'

passe de

+

-

, un minimum si elle passe de

-

+

.

Si

f'(a) = 0

sans changement de signe, il n'y a pas d'extremum (c'est le cas de

x^3

0

Les dérivées à avoir en tête

Fonctions de référence :

(x^n)' = n\,x^{n-1}

(donc

(x^2)' = 2x

(x^3)' = 3x^2

, et pour un exposant négatif

\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -\dfrac{2}{x^3}

), une constante a pour dérivée

0

, et

(e^{x})' = e^{x}

: l'exponentielle est sa propre dérivée.

Produit (

u

v

deux fonctions) :

(uv)' = u'v + uv'

Quotient :

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Composées (Terminale pour

\ln

) :

(e^{u})' = u'\,e^{u}

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

Réflexe : écrire

u

u'

v

v'

avant d'appliquer la formule. C'est là que se glissent les erreurs de signe.

Les signes à connaître par cœur

Exponentielle :

e^{x} > 0

pour tout réel

x

, donc elle ne change jamais le signe d'un produit.

Logarithme (Terminale) : sur

]0\,;+\infty[

\ln x > 0

si et seulement si

x > 1

.

Fonction affine

mx + p

: on résout

mx + p > 0

comme une inéquation. Par exemple

1 - x > 0 \iff x < 1

.

Trinôme

ax^2 + bx + c

: on calcule le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

\Delta > 0

, il a deux racines :

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Il est alors du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles. Si

\Delta \leq 0

, il est du signe de

a

partout (et s'annule en

-\dfrac{b}{2a}

\Delta = 0

Les questions types

« Dresser le tableau de variations de

f

La question la plus fréquente. Souvent précédée de « montrer que

f'(x) = \dots

» : la forme donnée est celle dont on lit le signe, il faut l'utiliser.

1. Annoncer le domaine (et les valeurs interdites).

2. Calculer

f'(x)

(en écrivant la formule de dérivation utilisée) et la factoriser pour obtenir un produit ou un quotient de facteurs dont on connaît le signe. Les trois outils : mettre un facteur commun en évidence, reconnaître une identité remarquable, ou calculer un discriminant.

3. Justifier le signe de chaque facteur par une phrase, puis en déduire celui de

f'(x)

.

4. Dresser le tableau et compléter le bout des flèches par des valeurs exactes.

« Étudier le signe de

f'(x)

» quand il ne se lit pas

La dérivée contient un morceau dont le signe n'est pas évident (par exemple

x^2 - 1 + \ln x

). L'énoncé introduit alors une fonction auxiliaire

g

, souvent dans une partie A.

1. Étudier

g

pour elle-même (dérivée, variations).

2. Trouver où

g

s'annule (valeur évidente ou solution

\alpha

du théorème des valeurs intermédiaires).

3. En déduire le signe de

g

, donc celui de

f'

Fiche détaillée :Fonction auxiliaire pour piloter le signe de

f'

« Montrer que l'équation

f(x) = k

admet une unique solution

\alpha

Terminale

Le tableau est dressé ; on cherche combien de fois la courbe passe à la hauteur

k

1. Sur le tableau, repérer l'intervalle où

k

est atteint.

2. Sur cet intervalle, écrire les trois arguments :

f

est continue,

f

est strictement monotone,

k

est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes.

3. Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, puis traiter les autres intervalles : y montrer que

k

n'est pas atteint (ou l'est une fois de plus).

« En déduire le signe de

f(x)

Juste après l'existence de

\alpha

avec

f(\alpha) = 0

. Le « en déduire » interdit de tout recommencer : il faut lire le tableau.

1. Repérer sur le tableau où

f

vaut

0

(en

\alpha

).

2.

f

étant strictement monotone de part et d'autre, conclure par intervalle : par exemple «

f

est strictement croissante sur

[a\,;b]

f(\alpha) = 0

, donc

f(x) < 0

pour

x < \alpha

f(x) > 0

pour

x > \alpha

».

« Déterminer le maximum de

f

» ou « montrer que

f(x) \geq m

Un extremum se lit sur le tableau ; une inégalité entre deux fonctions se ramène à l'étude de leur différence.

1. Repérer tous les sommets candidats : les extremums locaux et les valeurs aux bornes d'un intervalle fermé.

2. Comparer ces valeurs : le maximum est la plus grande.

3. Pour une inégalité

u(x) \geq v(x)

, étudier

d = u - v

et lire son minimum.

Fiche détaillée :Prouver une inégalité par étude de la fonction différence

Le tableau est donné, ou c'est la courbe qui l'est

« Par lecture graphique », « à l'aide du tableau ci-dessous » : on lit, on ne calcule pas, mais on justifie quand même.

1. Variations de

f

\Rightarrow

signe de

f'

: là où

f

croît,

f' \geq 0

.

2. Lire les valeurs particulières (extremums, zéros) et les citer dans la réponse.

3. Ne jamais affirmer une valeur exacte qu'on ne fait que lire : dire « environ » ou s'appuyer sur un point dont les coordonnées sont données.

Fiche détaillée :Traduire une lecture graphique en langage de dérivée

Le tableau de

f

au service d'une suite

u_{n+1} = f(u_n)

La partie B d'un exercice reprend la fonction de la partie A pour définir une suite.

1. Lire sur le tableau un intervalle

I

sur lequel

f

est croissante et tel que

f(I) \subset I

.

2. Mener la récurrence : l'hérédité applique

f

(croissante) aux membres de l'encadrement.

Fiche détaillée :Suite

u_{n+1} = f(u_n)

: monotonie et convergence

Exemples rédigés comme au bac

Exemple 1re

Soit

f

la fonction définie sur

[-2\,;2]

par

f(x) = x^3 - 3x + 1

.

1. Dresser le tableau de variations de

f

.

2. Déterminer le maximum de

f

sur

[-2\,;2]

et la ou les valeurs de

x

où il est atteint.

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est un polynôme, donc dérivable sur

[-2\,;2]

. On dérive terme à terme avec

(x^n)' = n\,x^{n-1}

(x^3)' = 3x^2

(-3x)' = -3

et la constante

1

a pour dérivée

0

. Pour tout

x

[-2\,;2]

f'(x) = 3x^2 - 3.

Signe de $f'(x)$ , méthode 1 : factoriser. Les deux termes contiennent

3

, on le met en facteur :

f'(x) = 3(x^2 - 1).

On reconnaît l'identité remarquable

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

avec

a = x

b = 1

f'(x) = 3(x - 1)(x + 1).

Le facteur

3

est positif.

x + 1 > 0 \iff x > -1

x - 1 > 0 \iff x > 1

. On rassemble les signes dans un tableau, ligne par ligne, et on applique la règle des signes d'un produit.

Signe de $f'(x)$ , méthode 2 : le discriminant.

3x^2 - 3

est un trinôme avec

a = 3

b = 0

c = -3

\Delta = 0^2 - 4 \times 3 \times (-3) = 36

\Delta > 0

\sqrt{36} = 6

, donc deux racines :

x_1 = \dfrac{0 - 6}{2 \times 3} = -1

x_2 = \dfrac{0 + 6}{2 \times 3} = 1

. Comme

a = 3 > 0

, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

Valeurs à placer au bout des flèches (aux bornes et là où

f'

s'annule). Attention aux parenthèses :

(-2)^3 = -8

f(-2) = (-2)^3 - 3 \times (-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3

f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1

f(2) = 2^3 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

Conclusion.

f

est strictement croissante sur

[-2\,;-1]

, strictement décroissante sur

[-1\,;1]

et strictement croissante sur

[1\,;2]

.

2. Sur le tableau, les valeurs candidates pour le maximum sont le maximum local

f(-1) = 3

et la valeur à la borne droite

f(2) = 3

(une borne peut être plus haute qu'un sommet).

Le maximum de

f

sur

[-2\,;2]

est

3

, atteint en

x = -1

et en

x = 2

Exemple Terminale

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = (2 - x)\,e^{x}

.

1. Montrer que

f'(x) = (1 - x)\,e^{x}

puis dresser le tableau de variations complet de

f

.

2. Montrer que l'équation

f(x) = 1

admet exactement deux solutions sur

\mathbb{R}

. On note

\beta

la plus grande : en donner un encadrement d'amplitude

10^{-2}

Rédaction

1. Calcul de la dérivée.

f

est le produit de deux fonctions dérivables sur

\mathbb{R}

. On utilise la formule de la dérivée d'un produit :

(uv)' = u'v + uv'

On écrit chaque morceau avant de calculer :

u(x) = 2 - x

, donc

u'(x) = -1

v(x) = e^{x}

, donc

v'(x) = e^{x}

(l'exponentielle est sa propre dérivée).

On remplace dans la formule :

f'(x) = (-1) \times e^{x} + (2 - x) \times e^{x}

Factorisation.

e^{x}

apparaît dans les deux termes : on le met en facteur, comme dans

k\,a + k\,b = k\,(a + b)

f'(x) = e^{x}\,\big(-1 + 2 - x\big)

f'(x) = (1 - x)\,e^{x}.

Signe de $f'(x)$ . Pour tout réel

x

e^{x} > 0

, donc

f'(x)

a le signe de

1 - x

. Or

1 - x > 0 \iff x < 1

f'(x)

est positive sur

]-\infty\,;1[

, nulle en

1

, négative sur

]1\,;+\infty[

.

Valeur au sommet.

f(1) = (2 - 1) \times e^{1} = e

.

Limite en $-\infty$ .

2 - x

tend vers

+\infty

e^{x}

vers

0

: c'est une forme indéterminée «

\infty \times 0

». On développe pour faire apparaître une limite connue :

f(x) = 2e^{x} - x\,e^{x}

. Or

\lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0

et, par croissances comparées,

\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x} = 0

. Donc

\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 2 \times 0 - 0 = 0

.

Limite en $+\infty$ .

\lim\limits_{x \to +\infty} (2 - x) = -\infty

\lim\limits_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty

: un produit «

-\infty \times (+\infty)

» n'est pas indéterminé, donc

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

2. L'idée, avant de rédiger. Sur le tableau, la hauteur

1

est atteinte une fois en montant (entre

0

e \approx 2{,}72

), puis une fois en descendant (entre

e

-\infty

f

est continue et strictement croissante, de limite

0

-\infty

jusqu'à

f(1) = e

. Elle prend donc toutes les valeurs de

]0\,;e]

(

0

est exclu : c'est une limite, jamais atteinte). Comme

0 < 1 \leq e

, l'équation

f(x) = 1

admet une unique solution

\alpha

sur cet intervalle.

Sur $[1\,;+\infty[$ :

f

est continue et strictement décroissante, de

f(1) = e

jusqu'à une limite

-\infty

. Elle prend toutes les valeurs de

]-\infty\,;e]

, et

1

en fait partie : l'équation admet une unique solution

\beta

sur cet intervalle.

L'équation

f(x) = 1

admet donc exactement deux solutions sur

\mathbb{R}

.

Encadrement de $\beta$ . Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, on avance d'abord au pas de

0{,}1

f(1{,}8) \approx 1{,}21 > 1

f(1{,}9) \approx 0{,}67 < 1

, donc

\beta

est entre

1{,}8

1{,}9

. On affine au pas de

0{,}01

f(1{,}84) \approx 1{,}007 > 1

f(1{,}85) \approx 0{,}954 < 1

. Comme

f

est décroissante sur

[1\,;+\infty[

, la valeur

1

est franchie entre les deux :

1{,}84 < \beta < 1{,}85.

Pièges classiques

Écrire une valeur approchée au bout d'une flèche : on écrit

e

, pas

2{,}72

;

\ln 2

, pas

0{,}69

. L'approximation se donne à part, si elle est demandée.

Confondre le signe de $f$ et celui de $f'$ : la ligne de signe du tableau de variations est celle de

f'(x)

. Le signe de

f

est une autre question, qui se lit sur la ligne des variations.

Écrire $f(+\infty)$ : ça n'existe pas. Au bout d'une flèche qui va vers une borne infinie ou ouverte, on écrit la limite.

Oublier de justifier le signe : «

e^{x} > 0

pour tout réel

x

» doit être écrit. Un tableau sans justification du signe de

f'

ne rapporte pas tous les points.

Réunir deux intervalles :

x \mapsto \dfrac{1}{x}

est décroissante sur

]-\infty\,;0[

et sur

]0\,;+\infty[

, mais pas sur leur réunion (

-1 < 1

et pourtant

\tfrac{1}{-1} < \tfrac{1}{1}

). On conclut intervalle par intervalle.

Se tromper dans la dérivée d'un produit :

(uv)'

n'est pas

u'v'

. Écrire

u

u'

v

v'

séparément évite aussi d'oublier le signe moins de

u'(x) = -1

quand

u(x) = 2 - x

Croire que $f'(a) = 0$ donne toujours un extremum : il faut un changement de signe de

f'

a

Chercher le maximum sur un intervalle fermé sans regarder les bornes : dans l'exemple de 1re, le maximum

3

est atteint en

-1

mais aussi à la borne

2

Avant de rendre la copie

Le domaine est annoncé, ses bornes sont dans la première ligne.

f'(x)

est calculée et factorisée.

Le signe de chaque facteur est justifié par une phrase.

Chaque flèche monte là où

f' > 0

et descend là où

f' < 0

Au bout des flèches : valeurs exactes (images aux bornes fermées, limites aux bornes ouvertes).

Les valeurs interdites ont leur double barre.

Une phrase conclut : «

f

est strictement croissante sur … et strictement décroissante sur … ».