Relire et corriger une démonstration

a) Maladroite. Le raisonnement est juste et complet : un carré est positif, donc $x^2 + 1 \geq 1$, et $1 > 0$. Mais $x$ n'est pas introduit, la flèche tient lieu de « donc » et aucune phrase ne conclut, sans que le sens en devienne ambigu.
Réécriture : « Soit $x \in \mathbb{R}$. Un carré est positif, donc $x^2 \geq 0$, donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. Ainsi, pour tout réel $x$, $x^2 + 1 > 0$. »
b) Incomplète. Le passage de (1) à (2) divise par $x^2 + 1$. Cette division est permise, puisque $x^2 + 1 \geq 1$, mais rien sur la copie ne l'établit : la ligne (2) est vraie et non justifiée.
Il suffit d'insérer avant (2) : « Or $x^2 \geq 0$, donc $x^2 + 1 \geq 1$, et en particulier $x^2 + 1 \neq 0$ ; en divisant par $x^2 + 1$, on obtient $y = 1$. »
c) Fausse. La ligne (1) part de $|x| = 2$, qui est la conclusion demandée, et la ligne (2) aboutit à $x^2 = 4$, qui est l'hypothèse. La copie démontre donc la réciproque « si $|x| = 2$, alors $x^2 = 4$ », et la ligne (3) prend cette vérification pour une preuve. Aucune justification ajoutée ne répare ce sens inversé : il faut changer le raisonnement.
Réécriture : « Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 = 4$. On a $|x|^2 = x^2 = 4$. Or $|x| \geq 0$, et $2$ est le seul réel positif dont le carré vaut $4$, donc $|x| = 2$. »
À retenir : un défaut d'écriture laisse la preuve juste mais maladroite ; une justification absente, comme un diviseur non nul que rien ne prouve tel, la rend incomplète ; une étape invalide ou un sens inversé la rend fausse.

1) (1) introduit les objets de l'énoncé avec son hypothèse : $a > 0$ et $b > 0$.
(2) vient d'un développement : $a \times \frac{1}{a} = 1$ et $b \times \frac{1}{b} = 1$, les quotients existant car $a \neq 0$ et $b \neq 0$ d'après (1).
(3) est une définition ; $t > 0$ comme quotient de deux réels strictement positifs, d'après (1), et $\frac{b}{a} = \frac{1}{t}$ par calcul.
(4) n'a aucune provenance : ce n'est ni une hypothèse ni une conséquence écrite des lignes (1) à (3). L'inégalité est vraie, mais la copie l'affirme sans preuve.
(5) vient de (2), (3) et (4) : $2 + t + \frac{1}{t} \geq 2 + 2 = 4$.
2) Verdict : incomplète, ligne (4) non justifiée. Les autres lignes passent la grille : objets introduits, divisions par des réels non nuls, conclusion conforme à l'énoncé.
3) On remplace la ligne (4) par deux lignes.
(4a) Un carré est positif, donc $(t - 1)^2 \geq 0$, c'est-à-dire $t^2 + 1 \geq 2t$.
(4b) Or $t > 0$ d'après (3) ; en divisant les deux membres par $t$, le sens de l'inégalité est conservé, donc $t + \frac{1}{t} \geq 2$.
La ligne (5), qui s'appuyait sur (4), s'appuie désormais sur (4b) et reste valable : $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 2 + t + \frac{1}{t} \geq 4$.
Conclusion : pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4$.
À retenir : une ligne vraie mais sortie de nulle part est la faute que la question « d'où vient-elle ? » attrape, et qu'une relecture des seuls calculs laisse passer.

Vérification de l'annotation : pour $x = -1$, la ligne (2) est vraie ($1 = 1$) mais la ligne (1) est fausse, car $\sqrt{1} = 1 \neq -1$. Le sens « (2) entraîne (1) » est donc faux, et $-1$ n'est pas solution.
Rédaction.
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x + 2} = x$.
La racine $\sqrt{x + 2}$ n'est définie que si $x + 2 \geq 0$. Soit donc $x \in [-2, +\infty[$.
Si $x < 0$, alors $x$ n'est pas solution, car $\sqrt{x + 2} \geq 0 > x$.
Supposons désormais $x \geq 0$. Deux réels positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux ; comme $\sqrt{x + 2} \geq 0$ et $x \geq 0$, on a $\sqrt{x + 2} = x$ si et seulement si $x + 2 = x^2$.
Or $x + 2 = x^2$ si et seulement si $x^2 - x - 2 = 0$, c'est-à-dire $(x + 1)(x - 2) = 0$, soit $x = -1$ ou $x = 2$.
Parmi ces deux valeurs, seule $2$ vérifie $x \geq 0$.
Ainsi, un réel $x$ est solution si et seulement si $x = 2$ (on vérifie : $\sqrt{2 + 2} = 2$).
Conclusion : $S = \{2\}$.
À retenir : on n'écrit « si et seulement si » en élevant au carré qu'après avoir établi que les deux membres sont positifs, et l'on traite à part les réels qui rendent un membre négatif.

Ce qui se garde : l'identité $a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$, valable pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$, et l'idée d'utiliser un carré positif.
Ce qui s'écarte : l'ordre. La copie établit seulement que l'inégalité voulue entraîne $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$, ce qui ne dit rien de l'inégalité voulue.
Rédaction.
Montrons que pour tous réels $a$ et $b$ positifs, $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$.
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Leurs racines carrées sont définies, avec $(\sqrt{a})^2 = a$, $(\sqrt{b})^2 = b$ et $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
Un carré est positif, donc $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$.
Or $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$, donc $a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$, c'est-à-dire $a + b \geq 2\sqrt{ab}$.
En divisant par $2$, qui est strictement positif, on obtient $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$.
Conclusion : pour tous réels $a$ et $b$ positifs, $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$.
À retenir : une chaîne trouvée en partant du but se recopie en partant de l'évidence, et chaque étape y est justifiée dans le sens où elle se lit.

1) Verdict.
Objets introduits : $n$ n'est pas introduit. Maladroit.
Sens des implications : les flèches tiennent lieu de « donc », sans ambiguïté sur le sens. Maladroit.
Provenance : « l'un d'eux est multiple de $3$ » est vrai, mais aucune ligne ne l'établit. Incomplet, ligne non justifiée.
Calcul : $(n - 1)n(n + 1) = n(n^2 - 1) = n^3 - n$ est juste.
Conclusion : « divisible par $3$ » ne dit pas quel nombre l'est. Maladroit.
Verdict global : raisonnement juste, incomplet sur un point, maladroit ailleurs ; aucune étape fausse.
2) Rédaction.
Montrons que pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $3$ divise $n^3 - n$.
Soit $n \in \mathbb{Z}$. On a $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$.
Par division euclidienne de $n$ par $3$, il existe $q \in \mathbb{Z}$ et $r \in \{0, 1, 2\}$ tels que $n = 3q + r$. Distinguons trois cas.
Cas $r = 0$ : $n = 3q$, donc $n^3 - n = 3q(n - 1)(n + 1)$.
Cas $r = 1$ : $n - 1 = 3q$, donc $n^3 - n = 3q\,n(n + 1)$.
Cas $r = 2$ : $n + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1)$, donc $n^3 - n = 3(q + 1)(n - 1)n$.
Dans chaque cas, $n^3 - n = 3m$ où $m$ est un produit d'entiers, donc un entier : $3$ divise $n^3 - n$.
Les trois cas épuisent les valeurs possibles de $r$.
Conclusion : pour tout entier $n$, $n^3 - n$ est divisible par $3$.
À retenir : on garde l'idée juste de la copie, on démontre l'affirmation qu'elle admettait, et l'on remplace chaque flèche par une phrase.

L'énoncé est faux, ce qui garantit une erreur : si un tel $N$ existait, l'entier naturel $N + 1$ vérifierait $N + 1 \leq N$, ce qui est faux.
Les lignes (1) à (3) sont justes : pour l'entier $n$ fixé en (1), $N = n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $n$.
L'erreur se situe au passage de (3) à (4). Dans (4), l'entier $N$ est annoncé avant $n$ : il doit être le même pour tous les $n$. Or celui de (2) est défini à partir de $n$ : il change quand $n$ change.
Nom de l'erreur : inversion de l'ordre des quantificateurs ; l'objet fourni par « il existe » dépend d'un objet qui, dans l'énoncé, n'est introduit qu'après lui (question 2 de la grille).
Ce que la copie démontre réellement : pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $n \leq N$, énoncé vrai mais différent.
Rédaction correcte.
Montrons que l'énoncé est faux, c'est-à-dire que pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $n > N$.
Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = N + 1$ ; alors $n \in \mathbb{N}$ et $n > N$.
Ainsi, aucun entier naturel ne majore tous les entiers naturels : l'énoncé proposé est faux.
À retenir : dans « il existe $N$ tel que pour tout $n$ », $N$ se choisit avant $n$ et ne peut pas s'écrire à l'aide de $n$.

Les calculs sont justes : (1) est vraie et l'égalité (3) découle bien de (2). L'erreur est de logique.
Elle se situe en (2) : on suppose $P(n + 1)$, c'est-à-dire ce que l'hérédité doit démontrer, et l'on en déduit $P(n)$. Les lignes (2) à (4) établissent donc « si $P(n + 1)$, alors $P(n)$ », réciproque de l'implication demandée « si $P(n)$, alors $P(n + 1)$ » : la conclusion de l'hérédité est prise pour hypothèse.
Ce schéma ne propage rien vers le haut. Avec $Q(n)$ : « $n = 1$ », $Q(1)$ est vraie et, pour tout $n \geq 1$, $Q(n + 1)$ est fausse, donc « si $Q(n + 1)$, alors $Q(n)$ » est vraie ; pourtant $Q(2)$ est fausse.
Rédaction correcte.
Montrons par récurrence que pour tout $n \geq 1$, $P(n)$ est vraie.
Initialisation : pour $n = 1$, la somme se réduit à $1$, et $1^2 = 1$, donc $P(1)$ est vraie.
Hérédité : soit $n \geq 1$ tel que $P(n)$ soit vraie. Montrons $P(n + 1)$.
Le terme qui suit $2n - 1$ est $2(n + 1) - 1 = 2n + 1$, donc, d'après $P(n)$, $1 + 3 + \dots + (2n - 1) + (2n + 1) = n^2 + 2n + 1$.
Or $n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$, donc $P(n + 1)$ est vraie.
Conclusion : $P(1)$ est vraie et, pour tout $n \geq 1$, $P(n)$ entraîne $P(n + 1)$ ; par récurrence, pour tout $n \geq 1$, $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.
À retenir : l'hérédité part de $P(n)$ et arrive à $P(n + 1)$ ; une hérédité qui suppose $P(n + 1)$ ne démontre rien.

1) Pour tout réel $x$, (E) équivaut à $(x - 2)(x + 1) - 3(x - 2) = 0$, c'est-à-dire à $(x - 2)^2 = 0$, soit à $x = 2$. La réponse de la copie est juste.
2) En $x = 2$ : (1) donne $0 = 0$, (2) donne $3 = 3$, (3) donne $2 = 2$ ; toutes les lignes sont vraies. Pour $x \neq 2$, la ligne (1) est déjà fausse. Aucun essai ne montre donc une ligne vraie suivie d'une ligne fausse : l'erreur, s'il y en a une, ne produit aucune ligne fausse, et il faut juger l'enchaînement lui-même.
Le passage de (1) à (2) divise par $x - 2$ sans avoir établi $x - 2 \neq 0$. Or, pour la seule solution $x = 2$, ce diviseur est nul : l'opération invoquée est interdite précisément dans le seul cas qui compte. L'implication « (E) entraîne $x + 1 = 3$ » se trouve vraie, mais la justification écrite ne l'établit pas : la ligne (2) n'a pas de provenance valide.
3) Même en admettant (2), les lignes (1) à (3) prouvent seulement que toute solution vaut $2$, c'est-à-dire $S \subset \{2\}$. Écrire $S = \{2\}$ exige aussi $\{2\} \subset S$, donc de vérifier que $2$ est solution : l'inclusion réciproque manque.
4) La même rédaction donne pour (E') : « en divisant par $x - 2$, $x + 1 = 4$, donc $x = 3$, donc $S = \{3\}$ ». Or (E') équivaut à $(x - 2)(x - 3) = 0$, donc son ensemble de solutions est $\{2, 3\}$. En $x = 2$, la ligne (E') est vraie et la ligne $x + 1 = 4$ est fausse : la méthode perd une solution.
Conclusion sur la copie : elle est fausse malgré une réponse juste. Pour (E), le diviseur s'annule justement en la solution de l'équation simplifiée, et c'est cette coïncidence qui masque la faute ; une démonstration se juge sur ses enchaînements, pas sur son résultat.
5) Rédaction.
Résolvons (E) dans $\mathbb{R}$. Soit $x \in \mathbb{R}$.
On a $(x - 2)(x + 1) = 3(x - 2)$ si et seulement si $(x - 2)(x + 1) - 3(x - 2) = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $(x - 2)(x + 1 - 3) = 0$, soit $(x - 2)^2 = 0$.
Un carré est nul si et seulement si le réel élevé au carré est nul, donc (E) équivaut à $x - 2 = 0$, c'est-à-dire à $x = 2$.
Conclusion : l'ensemble des solutions de (E) est $S = \{2\}$.
À retenir : une réponse juste ne valide pas une preuve ; pour juger une étape suspecte, on la rejoue sur un problème de même forme.