Fondamental · post-bac | Coup de craie

Fondamental

Apprendre à raisonner et à rédiger : logique, quantificateurs et négation, règles de rédaction, puis chaque type de démonstration (contraposée, absurde, cas, existence et unicité, analyse-synthèse, récurrences), avec une rédaction modèle pour chaque méthode.

39 fiches · 211 méthodes · 279 pièges · Sup, L1, L2

Les fiches sont rangées dans l'ordre de lecture conseillé : à l'intérieur du bloc, chacune ne suppose que les précédentes. Mais rien n'oblige à les lire dans l'ordre : chaque fiche dit ce qu'elle suppose connu.

1Assertions, connecteurs et tables de véritéCe qu'est une assertion, comment la combiner avec non, et, ou, et comment établir sa valeur de vérité ou une équivalence logique par une table.5 méthodes · 6 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
2Algèbre de BooleCalculer avec les connecteurs au lieu de dresser des tables : commutativité, distributivité, lois de De Morgan, absorption, calcul sur {0, 1} et ou exclusif.4 méthodes · 6 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
3Implication et équivalenceLe sens exact de « si… alors » et de « si et seulement si » : implication à hypothèse fausse, réciproque, contraposée, négation d'une implication et d'une équivalence, transitivité.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
4Conditions nécessaires et suffisantesTraduire « il faut », « il suffit », « seulement si » en implications orientées, et comparer la force de deux conditions.4 méthodes · 6 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
5Quantificateurs et variablesÉcrire et lire des énoncés quantifiés, distinguer variables libres et muettes, traduire une définition, et savoir dans quel sens un quantificateur traverse un connecteur ou une implication.5 méthodes · 9 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
6Ordre des quantificateursPourquoi l'ordre des quantificateurs change le sens d'un énoncé, comment lire de quoi dépend chaque objet existentiel, et comment traduire « à partir d'un certain rang » et « pour une infinité d'entiers ».5 méthodes · 7 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
7Nier une propositionÉcrire mécaniquement et sans erreur la négation de n'importe quel énoncé, en particulier d'une définition, préalable à toute contraposée, tout contre-exemple et tout raisonnement par l'absurde.5 méthodes · 7 rédactions modèles · 8 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
8Fonctions booléennes et formes normalesReprésenter une fonction booléenne par sa table puis par une formule : formes normales disjonctive et conjonctive, dualité, systèmes complets de connecteurs et structure abstraite d'algèbre de Boole.6 méthodes · 6 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1, L2
9Réfuter par un contre-exempleDécider entre démontrer et réfuter, puis montrer qu'un énoncé universel ou une implication est faux par un objet explicite, entièrement vérifié ; et savoir qu'aucun exemple ne démontre un énoncé universel.7 méthodes · 7 rédactions modèles · 8 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
10Lire un énoncéDégager la structure d'un énoncé avant d'écrire : hypothèses, conclusion, statut de chaque lettre, sens exact de la consigne et conventions de langage des énoncés.5 méthodes · 7 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
11Introduire les objetsFaire exister sur la copie chaque objet utilisé, avec son ensemble et ses dépendances, par « Soit », « Posons », « Notons », « Supposons », « Fixons », sans jamais confondre un objet et sa valeur.6 méthodes · 7 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
12Enchaîner et justifier chaque étapeRelier les affirmations par les mots qui disent la logique, réserver ⇒ et ⇔ aux énoncés qui portent sur une variable, citer un résultat en vérifiant ses hypothèses, et distinguer une preuve d'une impression.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
13Annoncer, structurer et conclureAnnoncer ce que l'on démontre et comment, découper une démonstration en étapes lisibles, et conclure en répondant exactement à la question.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
14Disjonction de casDécouper une démonstration en cas qui couvrent toutes les situations, traiter chacun jusqu'à la même conclusion, réduire les cas par une symétrie réelle, puis rassembler.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
15Rédiger un calculPrésenter un calcul qui se lit et se vérifie : chaîne orientée d'égalités, étapes justifiées, conditions de validité posées avant de diviser, d'extraire une racine, de composer ou d'écrire une limite.7 méthodes · 10 rédactions modèles · 8 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
16Rédiger une inégalitéÉtablir une inégalité par des étapes licites et justifiées : signe d'une différence, opérations autorisées, fonction auxiliaire, valeur absolue, majoration, encadrement et cas d'égalité.7 méthodes · 10 rédactions modèles · 11 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
17Démontrer une égalitéChoisir la stratégie qui établit que deux objets sont égaux : étudier la différence ou le quotient, calculer séparément, passer par une double inégalité, encadrer un entier, vérifier l'égalité en tout point ; l'égalité par unicité est traitée avec les preuves d'unicité.7 méthodes · 9 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
18Résoudre une équation ou une inéquationDéterminer un ensemble de solutions sans en perdre ni en ajouter : équivalences justifiées ou implications suivies d'une vérification, changement d'inconnue, système, et discussion selon un paramètre.9 méthodes · 10 rédactions modèles · 11 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
19Bâtir le plan d'une preuve selon le butLire la forme logique de ce qu'il faut démontrer et en déduire le squelette de la preuve (premières et dernières lignes) avant d'en chercher le contenu.7 méthodes · 7 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
20Exploiter les hypothèsesTirer parti d'une hypothèse selon sa forme : séparer une conjonction, spécialiser un énoncé universel, fixer le témoin d'un énoncé existentiel, appliquer une implication.8 méthodes · 8 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
21Chercher une démonstrationLes réflexes de recherche au brouillon (petits cas, cas limites, figure, conjecture, travail à rebours, problème plus simple) et le passage du brouillon à une copie rédigée dans l'ordre.6 méthodes · 7 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
22Raisonnement directAller des hypothèses à la conclusion par des déductions justifiées : enchaîner des résultats du cours, isoler un lemme, introduire une quantité auxiliaire, et reconnaître quand un autre raisonnement s'impose.5 méthodes · 7 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
23Raisonnement par contraposéeDémontrer P ⇒ Q en démontrant non Q ⇒ non P, et utiliser la contraposée d'un théorème connu pour établir une conclusion négative : quand ce détour s'impose, comment l'annoncer, comment nier sans toucher aux objets fixés.5 méthodes · 8 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
24Raisonnement par l'absurdeSupposer la négation de ce que l'on veut établir, en déduire une contradiction nommée, conclure ; distinguer ce raisonnement de la contraposée et connaître les démonstrations classiques.4 méthodes · 8 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
25Démontrer une équivalenceDémontrer « P si et seulement si Q » par deux implications annoncées, par une chaîne d'équivalences justifiées maillon par maillon, ou par un cycle d'implications.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
26Démontrer une existenceProuver qu'un objet existe : l'exhiber et vérifier qu'il convient, invoquer un théorème d'existence, ou raisonner sans construction (absurde, moyenne, tiroirs).7 méthodes · 7 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
27Démontrer une unicitéProuver qu'un objet est unique en montrant que deux objets qui conviennent sont égaux, rédiger une existence et unicité en deux parties séparées, et se servir de l'unicité pour démontrer une égalité.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
28Raisonnement par analyse-synthèseTrouver tous les objets qui vérifient une propriété : l'analyse suppose une solution et en tire sa forme nécessaire, la synthèse vérifie que les candidats conviennent.4 méthodes · 6 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
29Récurrence simpleLe principe de récurrence et sa rédaction complète : prédicat P(n) posé, initialisation au bon rang, hérédité à n fixé (de n à n + 1 ou de n - 1 à n), conclusion.8 méthodes · 8 rédactions modèles · 9 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
30Définir un objet par récurrenceDéfinir une suite ou une puissance par récurrence, justifier par récurrence que chaque terme existe, puis établir par récurrence une propriété de tous les termes.5 méthodes · 7 rédactions modèles · 8 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1, L2
31Récurrence doubleLa récurrence adaptée aux énoncés dont le rang n + 2 dépend des rangs n et n + 1 : double initialisation, hérédité à deux rangs, réduction à une récurrence simple.3 méthodes · 4 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
32Récurrence forteLa récurrence dont l'hypothèse porte sur tous les rangs précédents, indispensable quand l'hérédité fait appel à un rang inférieur quelconque.4 méthodes · 5 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
33Récurrence finie, descendante et sur d'autres ensembles d'indicesAdapter le principe de récurrence à l'ensemble d'indices visé : ensemble fini ⟦n₀, N⟧, descente de N vers n₀, rangs pairs et impairs, entiers relatifs, puissances de 2 suivies d'une descente.7 méthodes · 7 rédactions modèles · 10 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
34Choisir la propriété de récurrenceFormuler la propriété qui passe : choisir la variable (dont la taille d'un objet), fixer ce qui doit l'être, quantifier ce qui varie, renforcer un énoncé trop faible, choisir entre simple, double et forte.5 méthodes · 6 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
35Principe du plus petit élémentUtiliser la propriété de ℕ qui fonde la récurrence : considérer le plus petit contre-exemple, le premier rang qui vérifie une propriété, un objet extrémal, et l'étendre aux parties minorées de ℤ.5 méthodes · 5 rédactions modèles · 4 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
36Descente infinieProuver une impossibilité en construisant, à partir d'une solution entière, une solution strictement plus petite, ce qu'aucune suite d'entiers naturels ne peut faire indéfiniment.3 méthodes · 3 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
37Raisonnement par invariantTrouver une quantité conservée au cours d'une transformation pour prouver qu'un état est inaccessible, et prouver l'arrêt d'un processus par une quantité entière qui décroît strictement.5 méthodes · 6 rédactions modèles · 7 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
38Choisir et combiner ses raisonnementsLa synthèse du bloc : choisir le raisonnement adapté à la forme du but, imbriquer plusieurs raisonnements et découper une démonstration longue.5 méthodes · 6 rédactions modèles · 6 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1
39Relire et corriger une démonstrationRelire une copie comme un correcteur : contrôler la logique et pas seulement les calculs, repérer et nommer l'erreur d'une démonstration fausse, puis la réécrire.3 méthodes · 5 rédactions modèles · 5 pièges · 8 exercices · 12 QCM · Sup, L1

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