Réfuter par un contre-exemple

1) (a) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^3 \geq x$. Négation : $\exists x \in \mathbb{R},\ x^3 < x$.
(b) $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ (x^2 = y^2 \Rightarrow x = y)$. Négation : $\exists (x, y) \in \mathbb{R}^2,\ x^2 = y^2 \text{ et } x \neq y$.
(c) $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ e^x > M$. Négation : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ e^x \leq M$.
(d) $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + x + 1 = 0$. Négation : $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + x + 1 \neq 0$.
Dans chaque négation, les ensembles sont conservés, chaque quantificateur change de nature et seule la propriété finale est niée. En (b), la négation d'une implication est une conjonction : « hypothèse et non conclusion ».
2) (a) Exhiber un réel $x_0$, puis vérifier par un calcul que $x_0^3 < x_0$ ; il ne reste rien à démontrer.
(b) Exhiber un couple $(x_0, y_0)$, vérifier l'hypothèse $x_0^2 = y_0^2$, puis constater que $x_0 \neq y_0$.
(c) Exhiber un seul réel $M_0$, puis démontrer que $e^x \leq M_0$ pour un réel $x$ quelconque, sans jamais choisir $x$. Une telle réfutation n'existe d'ailleurs pas, car (c) est vrai ; seule la forme était demandée.
(d) Rien à exhiber : la négation est un « pour tout », qui se démontre pour un réel quelconque, introduit par « Soit $x \in \mathbb{R}$ ».
3) Réfutation de (a).
Posons $x_0 = -2$, qui est bien un réel.
On a $x_0^3 = (-2)^3 = -8$ et $-8 < -2$, donc $x_0^3 < x_0$.
Le réel $-2$ met l'énoncé (a) en défaut : (a) est faux.
Réfutation de (b).
Posons $x_0 = 1$ et $y_0 = -1$, qui sont bien deux réels.
On a $x_0^2 = 1$ et $y_0^2 = (-1)^2 = 1$, donc $x_0^2 = y_0^2$ : l'hypothèse est vérifiée.
Mais $1 \neq -1$, donc $x_0 \neq y_0$ : la conclusion est fausse.
Le couple $(1, -1)$ vérifie l'hypothèse sans vérifier la conclusion : (b) est faux.
4) L'argument montre seulement que $0$ n'est pas solution de l'équation. Or réfuter (d), c'est démontrer sa négation, qui est universelle : il faut établir $x^2 + x + 1 \neq 0$ pour tout réel $x$, et un réel qui échoue n'en dit rien. Le même argument, appliqué en $x = 0$, « réfuterait » l'énoncé vrai « il existe un réel $x$ tel que $x^2 + x = 2$ », que $x = 1$ vérifie.
L'énoncé (d) est faux ; démontrons sa négation.
Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$.
Or $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$, donc $x^2 + x + 1 \geq \frac{3}{4} > 0$, et en particulier $x^2 + x + 1 \neq 0$.
Le réel $x$ étant quelconque, $x^2 + x + 1 \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : l'énoncé (d) est faux.

1) Domaine : les entiers naturels $n$. Hypothèse : « $n$ est divisible par $4$ et par $6$ ». Conclusion : « $n$ est divisible par $24$ ».
L'énoncé s'écrit $\forall n \in \mathbb{N},\ \left((4 \mid n \text{ et } 6 \mid n) \Rightarrow 24 \mid n\right)$ ; sa négation est $\exists n \in \mathbb{N},\ 4 \mid n \text{ et } 6 \mid n \text{ et } 24 \nmid n$.
Il faut donc exhiber un entier naturel divisible par $4$ et par $6$, mais pas par $24$.
2) Rédaction complétée.
« Montrons que (E) est faux, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $n$ divisible par $4$ et par $6$ mais non divisible par $24$.
Posons $n = 12$ ; c'est bien un entier naturel.
On a $12 = 4 \times 3$ et $12 = 6 \times 2$, avec $3$ et $2$ entiers, donc $12$ est divisible par $4$ et par $6$ : l'hypothèse est vérifiée.
Supposons que $24$ divise $12$ ; il existerait alors un entier $k$ tel que $12 = 24k$, d'où $k = \frac{1}{2}$, ce qui est impossible puisque $\frac{1}{2}$ n'est pas un entier.
Donc $12$ n'est pas divisible par $24$ : la conclusion est fausse.
Ainsi l'entier $12$ vérifie l'hypothèse de (E) sans vérifier sa conclusion : l'énoncé (E) est faux. »
3) Avec $n = 8$, la conclusion est bien fausse, mais l'hypothèse aussi : si l'on avait $8 = 6k$, alors $k = \frac{4}{3}$, qui n'est pas un entier, donc $8$ n'est pas divisible par $6$. Pour cet entier, l'implication est vraie, puisque son hypothèse est fausse : rien n'est réfuté.
Avec $n = 24$, l'hypothèse est vérifiée, mais la conclusion aussi, puisque $24 = 24 \times 1$. L'implication est encore vraie pour cet entier, qui est compatible avec (E).
Un contre-exemple doit réunir les deux exigences à la fois : hypothèse vraie et conclusion fausse. Au brouillon, on parcourt les multiples communs de $4$ et de $6$, soit $0$, $12$, $24$, $36$, et ainsi de suite, à la recherche d'un entier qui ne soit pas multiple de $24$ : $0$ et $24$ le sont, $12$ ne l'est pas.

(a) L'énoncé est vrai. Démonstration.
Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrons que $n^2 + n$ est pair. On a $n^2 + n = n(n + 1)$.
Premier cas : $n$ est pair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$ ; alors $n(n + 1) = 2 \times k(n + 1)$, où $k(n + 1)$ est un entier, donc $n(n + 1)$ est pair.
Second cas : $n$ est impair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$ ; alors $n + 1 = 2(k + 1)$ et $n(n + 1) = 2 \times n(k + 1)$, où $n(k + 1)$ est un entier, donc $n(n + 1)$ est pair.
Tout entier naturel étant pair ou impair, $n^2 + n$ est pair dans tous les cas. L'entier $n$ étant quelconque, l'énoncé (a) est vrai.
(b) L'énoncé est faux. Contre-exemple.
Posons $n = 2$, qui est bien un entier naturel.
On a $n^3 - n = 8 - 2 = 6$.
Si $4$ divisait $6$, il existerait un entier $k$ tel que $6 = 4k$, d'où $k = \frac{3}{2}$, qui n'est pas un entier ; donc $6$ n'est pas divisible par $4$.
L'entier $2$ met l'énoncé (b) en défaut : (b) est faux.
(c) L'énoncé est faux. Aucun essai ne peut le montrer : démontrons sa négation, « pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n^2 + n + 1$ n'est pas pair ».
Soit $n \in \mathbb{N}$. D'après (a), il existe un entier $m$ tel que $n^2 + n = 2m$, donc $n^2 + n + 1 = 2m + 1$.
Si $n^2 + n + 1$ était pair, il existerait un entier $p$ tel que $2m + 1 = 2p$, d'où $p - m = \frac{1}{2}$, ce qui est impossible pour une différence d'entiers ; donc $n^2 + n + 1$ n'est pas pair.
L'entier $n$ étant quelconque, aucun entier naturel $n$ ne rend $n^2 + n + 1$ pair : (c) est faux.
(d) L'énoncé est vrai. Un exemple suffit.
Posons $n = 3$ ; c'est un entier naturel et $3 \geq 2$.
On a $n^3 - n = 27 - 3 = 24 = 4 \times 6$, où $6$ est un entier, donc $n^3 - n$ est divisible par $4$.
L'entier $3$ convient : (d) est vrai.
Remarque de brouillon. En (b), les essais $n = 0$ et $n = 1$ donnent $0$, qui est divisible par $4$ : ils ne prouvaient rien, et $n = 2$ fait tomber l'énoncé. En (c), aucune accumulation d'essais ne pouvait conclure.
À retenir : un « pour tout » se prouve pour un élément quelconque et se réfute par un objet ; un « il existe » se prouve par un objet et se réfute par une preuve valable pour tout élément.