Nier une proposition

La négation d'une proposition $P$, notée $\text{non}\,P$, est la proposition vraie exactement lorsque $P$ est fausse : de $P$ et de $\text{non}\,P$, une et une seule est vraie. Nier un énoncé, sur une copie, c'est écrire une proposition équivalente à $\text{non}\,P$ où le mot « non » n'apparaît plus : la négation a été poussée jusqu'aux relations élémentaires, et chacune a été remplacée par sa négation ($=$ par $\neq$, $\leq$ par $>$, $<$ par $\geq$, $\in$ par $\notin$, et réciproquement). Cette écriture s'obtient par des règles mécaniques ; le sens de l'énoncé sert ensuite à contrôler le résultat.

Rappels des thèmes « Algèbre de Boole » et « Implication et équivalence ». La négation échange « et » et « ou » (lois de De Morgan). La négation d'une implication n'est pas une implication : $P \Rightarrow Q$ n'est fausse que si $P$ est vraie et $Q$ fausse. Une équivalence est fausse lorsque exactement l'une des deux propositions est vraie. Ces lignes servent chaque fois que la négation rencontre un connecteur, avant, entre ou après les quantificateurs ; pour une implication, l'hypothèse est alors recopiée telle quelle.

La négation de « pour tout $x \in E$, $P(x)$ » est « il existe $x \in E$ tel que non $P(x)$ », et la négation de « il existe $x \in E$ tel que $P(x)$ » est « pour tout $x \in E$, non $P(x)$ ». Pour contredire « tous », un seul témoin suffit ; pour contredire « au moins un », il faut que tous échouent. Avec plusieurs quantificateurs placés en tête de l'énoncé, on applique la règle de proche en proche : chaque quantificateur change de nature, leur ordre est conservé, puis la propriété finale est niée. Un quantificateur portant sur un couple se traite comme un seul : $\forall (x,y) \in E^2$ devient $\exists (x,y) \in E^2$.

Une quantification bornée abrège une implication ou une conjonction : $\forall \varepsilon > 0,\ P(\varepsilon)$ signifie $\forall \varepsilon \in \mathbb{R},\ (\varepsilon > 0 \Rightarrow P(\varepsilon))$, et $\exists n \geq N,\ P(n)$ signifie $\exists n \in \mathbb{N},\ (n \geq N \text{ et } P(n))$. En niant la forme longue avec les règles des connecteurs, la condition $\varepsilon > 0$ ressort intacte : la négation de $\forall \varepsilon > 0,\ P(\varepsilon)$ est $\exists \varepsilon > 0,\ \text{non}\,P(\varepsilon)$. La condition écrite après un quantificateur dit où l'on cherche, pas ce que l'on affirme : on la recopie telle quelle, qu'il s'agisse de $x \in \mathbb{R}$, de $\varepsilon > 0$ ou de $n \geq N$.

« Aucun $x$ ne vérifie $P$ » est la négation de « il existe $x$ vérifiant $P$ » et s'écrit $\forall x,\ \text{non}\,P(x)$. « Les $x$ ne vérifient pas tous $P$ » est la négation de « tous les $x$ vérifient $P$ » et s'écrit $\exists x,\ \text{non}\,P(x)$. La phrase « tous les $x$ ne vérifient pas $P$ » hésite entre ces deux sens : on ne l'écrit pas sur une copie. Enfin, « au moins un » a pour négation « aucun », « au plus un » a pour négation « au moins deux », et « exactement un » a pour négation « aucun ou au moins deux ».

« S'écrit », « c'est-à-dire » et « autrement dit » annoncent une reformulation équivalente : c'est le vocabulaire d'une négation, dont chaque étape remplace un énoncé par un énoncé de même valeur de vérité. « Donc » annonce une conséquence, qui ne permet pas de revenir en arrière. Pour poser une négation comme hypothèse, on écrit « Supposons que $(u_n)$ ne soit pas majorée, c'est-à-dire que $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n > M$ » : l'hypothèse est énoncée en français, puis traduite aussitôt en symboles.

Quand la négation atteint la propriété finale, on nie la relation. Dans $\mathbb{R}$, deux nombres sont toujours comparables : la négation d'une inégalité large est l'inégalité stricte dans l'autre sens, et réciproquement ; la valeur frontière change de camp. Une double inégalité est une conjonction, sa négation est donc une disjonction : on sort de l'intervalle par la gauche ou par la droite. L'inclusion n'est pas un ordre total : $A \not\subset B$ ne signifie pas $B \subset A$, mais qu'un élément de $A$ n'appartient pas à $B$.

Quand l'utiliser : dès qu'il faut la négation d'un énoncé quantifié, pour une contraposée, un raisonnement par l'absurde, un contre-exemple ou une question « montrer que ... n'est pas ... ».
1) Écrire l'énoncé entièrement en symboles : chaque quantificateur avec son domaine ($x \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$, $n \geq N$), des parenthèses autour de chaque implication, de chaque « et », de chaque « ou ». Les objets fixés par l'énoncé (la suite, la fonction) ne sont pas quantifiés, et la négation ne les touche pas.
2) Placer « non » devant l'énoncé entier, puis le faire avancer d'un cran par ligne, de gauche à droite : le quantificateur franchi change de nature ($\forall$ devient $\exists$, $\exists$ devient $\forall$), sa variable et son domaine sont recopiés à l'identique.
3) Quand « non » rencontre un connecteur, avant, entre ou après les quantificateurs, appliquer la règle de ce connecteur : $\text{non}(A \text{ et } B)$ devient $(\text{non}\,A) \text{ ou } (\text{non}\,B)$, $\text{non}(A \text{ ou } B)$ devient $(\text{non}\,A) \text{ et } (\text{non}\,B)$, $\text{non}(A \Rightarrow B)$ devient $A \text{ et } (\text{non}\,B)$. Continuer ensuite dans chaque bloc qui porte encore un « non ». L'hypothèse d'une implication est recopiée telle quelle, quantificateurs compris : la négation ne la traverse pas. Sur une relation élémentaire, $\leq$ devient $>$, $=$ devient $\neq$, $\in$ devient $\notin$.
4) Écrire le résultat sur la copie : « La négation de ... s'écrit : ... », sans aucun « non » resté devant un bloc.
5) Relire : chaque quantificateur que la négation a traversé a changé de nature, à sa place, avec son domaine recopié ; ceux de l'hypothèse d'une implication sont inchangés ; aucune implication traversée ne subsiste ; chaque relation atteinte est niée, valeur frontière comprise.

Écrire la négation de $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n| \leq \varepsilon$, puis montrer que la suite constante égale à $1$ vérifie cette négation.
Faisons traverser la négation de gauche à droite, un quantificateur par ligne, en recopiant chaque domaine.
$\text{non}(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n| \leq \varepsilon)$
équivaut à $\exists \varepsilon > 0,\ \text{non}(\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ |u_n| \leq \varepsilon)$,
qui équivaut à $\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \text{non}(\forall n \geq N,\ |u_n| \leq \varepsilon)$,
qui équivaut à $\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ |u_n| > \varepsilon$.
La négation cherchée est cette dernière proposition.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrons qu'elle vérifie cette négation.
Posons $\varepsilon = \frac{1}{2}$ ; on a bien $\varepsilon > 0$.
Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = N$ ; on a bien $n \geq N$.
Alors $|u_n| = 1$ et $1 > \frac{1}{2}$, donc $|u_n| > \varepsilon$.
Ainsi, avec $\varepsilon = \frac{1}{2}$, pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ tel que $|u_n| > \varepsilon$ : la suite constante égale à $1$ vérifie la négation.
À retenir : on nie un quantificateur par ligne en recopiant son domaine, puis on démontre la négation dans l'ordre de ses quantificateurs, « Posons » pour un $\exists$ et « Soit » pour un $\forall$.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Énoncé : « $f$ est strictement positive sur $]0, +\infty[$ », c'est-à-dire $\forall x > 0,\ f(x) > 0$.
Ligne fautive : « Sa négation s'écrit $\exists x \leq 0,\ f(x) \leq 0$. »
L'erreur : la condition $x > 0$ dit où l'on prend $x$ ; elle ne fait pas partie de ce que l'on affirme. La nier, c'est parler d'autres nombres que ceux de l'énoncé. La même faute transforme $\forall \varepsilon > 0$ en $\exists \varepsilon \leq 0$, ou $\forall n \geq N$ en $\exists n < N$.
Contrôle qui la démasque : la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x$ est strictement positive sur $]0, +\infty[$, et elle vérifie aussi la ligne fautive, puisque pour $x = 0$ on a $x \leq 0$ et $f(x) = 0 \leq 0$. Deux énoncés vrais en même temps ne sont pas négations l'un de l'autre.
Version correcte : « Sa négation s'écrit $\exists x > 0,\ f(x) \leq 0$. »

Énoncé : « $(u_n)$ est majorée », c'est-à-dire $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq M$.
Ligne fautive 1 : « Sa négation s'écrit $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n \leq M$. » Les quantificateurs ont changé, l'inégalité est restée.
Ligne fautive 2 : « Sa négation s'écrit $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n > M$. » L'inégalité est niée, les quantificateurs sont restés.
L'erreur : la négation traverse tout l'énoncé, quantificateurs et propriété finale ; s'arrêter en chemin produit un énoncé sans lien logique avec le premier. Contrôle : la suite nulle est majorée et vérifie la ligne 2 (avec $M = -1$) ; la suite de terme général $n$ n'est pas majorée et ne vérifie pas la ligne 1 (aucun entier naturel n'est inférieur ou égal à $-1$).
Version correcte : « $(u_n)$ n'est pas majorée s'écrit $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n > M$. »

Ligne fautive : « $f$ n'est pas majorée par $3$ sur $[0, 1]$, c'est-à-dire qu'il existe $x \in [0, 1]$ tel que $f(x) \geq 3$. »
L'erreur : « c'est-à-dire » annonce une reformulation équivalente, ici la négation de $\forall x \in [0, 1],\ f(x) \leq 3$. Or $f(x) \leq 3$ et $f(x) \geq 3$ sont vraies en même temps lorsque $f(x) = 3$ ; elles ne peuvent pas être négations l'une de l'autre. La valeur frontière $3$ appartient à l'énoncé $f(x) \leq 3$, elle doit changer de camp dans la négation. Écrite avec « donc », la même conclusion serait juste, car un réel strictement supérieur à $3$ est supérieur ou égal à $3$ : la faute est de la donner pour la négation.
Contrôle qui la démasque : la fonction constante égale à $3$ est majorée par $3$ sur $[0, 1]$, et elle vérifie aussi « il existe $x \in [0, 1]$ tel que $f(x) \geq 3$ », avec $x = 0$. Deux énoncés vrais en même temps ne sont pas négations l'un de l'autre.
Version correcte : « $f$ n'est pas majorée par $3$ sur $[0, 1]$, c'est-à-dire qu'il existe $x \in [0, 1]$ tel que $f(x) > 3$. » De même, la négation de $x > 0$ est $x \leq 0$, et non $x < 0$.

La négation de « pour tout $x \in E$, si $P(x)$ alors $Q(x)$ » est « il existe $x \in E$ tel que $P(x)$ et non $Q(x)$ » : on enchaîne la règle du quantificateur et celle de l'implication. La flèche disparaît ; le résultat affirme l'existence d'un objet qui vérifie l'hypothèse sans vérifier la conclusion, c'est-à-dire d'un contre-exemple. Si la conclusion contient elle-même des quantificateurs, la négation continue de les traverser ; ceux de l'hypothèse, qu'elle ne traverse pas, sont recopiés sans changement.

Quand l'utiliser : l'énoncé contient « pour tout ..., si ... alors ... », « tout ... qui vérifie ... vérifie ... », ou une définition bâtie sur un « si » (fonction croissante, par exemple).
1) Mettre l'implication entre parenthèses et repérer l'hypothèse $P(x)$ et la conclusion $Q(x)$ : $\forall x \in E,\ (P(x) \Rightarrow Q(x))$.
2) Nier le quantificateur en gardant son domaine : $\exists x \in E,\ \text{non}(P(x) \Rightarrow Q(x))$.
3) Remplacer la négation de l'implication par « hypothèse et négation de la conclusion » : $\exists x \in E,\ (P(x) \text{ et } \text{non}\,Q(x))$. Si $Q(x)$ contient des quantificateurs ou une inégalité, continuer à nier jusqu'au bout.
4) Vérifier qu'il ne reste aucune flèche, puis écrire : « La négation s'écrit : il existe $x \in E$ tel que $P(x)$ et non $Q(x)$ », avec non $Q(x)$ remplacé par sa forme niée.
5) Pour démontrer cette négation, exhiber l'objet et vérifier séparément les deux morceaux : « Posons $x = \ldots$. D'une part, $P(x)$ est vraie car ... . D'autre part, $Q(x)$ est fausse car ... . »

Écrire la négation de $\forall x \in \mathbb{R},\ (x^2 = 1 \Rightarrow x = 1)$ et démontrer que cette négation est vraie.
L'énoncé est de la forme $\forall x \in \mathbb{R},\ (P(x) \Rightarrow Q(x))$, d'hypothèse $P(x)$ : « $x^2 = 1$ » et de conclusion $Q(x)$ : « $x = 1$ ».
Sa négation est $\exists x \in \mathbb{R},\ \text{non}(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1)$.
Or la négation d'une implication est la conjonction de son hypothèse et de la négation de sa conclusion.
La négation cherchée s'écrit donc $\exists x \in \mathbb{R},\ (x^2 = 1 \text{ et } x \neq 1)$.
Montrons qu'elle est vraie. Posons $x = -1$, qui est un réel.
D'une part, $x^2 = (-1)^2 = 1$.
D'autre part, $-1 \neq 1$, donc $x \neq 1$.
Ainsi le réel $-1$ vérifie $x^2 = 1$ et $x \neq 1$ : la négation est vraie.
À retenir : la négation d'un « pour tout, si ... alors ... » ne contient plus de flèche, et on la démontre en exhibant un objet dont on vérifie séparément qu'il satisfait l'hypothèse et qu'il ne satisfait pas la conclusion.

Énoncé : « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ », c'est-à-dire $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$.
Ligne fautive : « $f$ n'est pas croissante s'écrit $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (x \leq y \Rightarrow f(x) > f(y))$. »
L'erreur : une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie. Avec $x = 1$ et $y = 0$, l'hypothèse $1 \leq 0$ est fausse, donc l'implication est vraie quelle que soit $f$ : la ligne fautive est vraie pour toutes les fonctions, y compris pour $x \mapsto x$, qui est croissante.
Autres formes de la même faute : nier aussi l'hypothèse, $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (x > y \Rightarrow f(x) > f(y))$, énoncé vrai lui aussi pour toutes les fonctions (avec $x = 0$ et $y = 1$) ; ou proposer la contraposée $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (f(x) > f(y) \Rightarrow x > y)$, qui est équivalente à l'énoncé et non à sa négation.
Version correcte : « $f$ n'est pas croissante s'écrit $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (x \leq y \text{ et } f(x) > f(y))$. »

« $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang » s'écrit $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ P(n)$. Sa négation, $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ \text{non}\,P(n)$, dit qu'au-delà de tout seuil on trouve un rang où $P$ échoue : c'est exactement dire que non $P(n)$ est vraie pour une infinité d'entiers $n$, car une partie de $\mathbb{N}$ est infinie si et seulement si aucun entier ne la majore. Symétriquement, la négation de « $P(n)$ pour une infinité de $n$ » est « non $P(n)$ à partir d'un certain rang ». « Une infinité » n'est ni « tous » ni « à partir d'un certain rang » : il y a une infinité d'entiers impairs, mais « $n$ est impair » n'est vraie à partir d'aucun rang.

Quand l'utiliser : l'énoncé dit « à partir d'un certain rang » ou « pour $n$ assez grand », ou contient une définition qui le dit, et il faut établir que ce n'est pas le cas.
1) Traduire : « $P(n)$ à partir d'un certain rang » s'écrit $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ P(n)$.
2) Nier en gardant les domaines : $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ \text{non}\,P(n)$, puis écrire non $P(n)$ sous forme niée ($<$, $\neq$, ...).
3) Annoncer : « Montrons que, pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n \geq N$ tel que ... . »
4) Rédiger : « Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = \ldots$ », avec un rang donné par une formule qui dépend de $N$ ($N$, $2N$, $2N + 1$, ...). Vérifier séparément que $n \geq N$, puis que non $P(n)$ est vraie.
5) Conclure avec les mots de l'énoncé : « Ainsi non $P(n)$ est vraie pour une infinité d'entiers $n$ : $P(n)$ n'est pas vraie à partir d'un certain rang. »
Un seul rang où $P$ échoue ne suffit pas : le rang exhibé doit dépasser n'importe quel seuil $N$ donné à l'avance.

Montrer que la suite de terme général $(-1)^n$ n'est pas positive à partir d'un certain rang.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, posons $u_n = (-1)^n$.
L'assertion « $(u_n)$ est positive à partir d'un certain rang » s'écrit $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n \geq 0$.
Sa négation s'écrit $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ u_n < 0$. Montrons cette négation.
Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = 2N + 1$.
Comme $N \geq 0$, on a $n = 2N + 1 \geq N + 1 > N$, donc $n \geq N$.
De plus, $u_n = (-1)^{2N+1} = \left((-1)^2\right)^N \times (-1) = -1$, donc $u_n < 0$.
Ainsi, pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe un entier $n \geq N$ tel que $u_n < 0$.
Donc $u_n < 0$ pour une infinité d'entiers $n$ : la suite de terme général $(-1)^n$ n'est pas positive à partir d'un certain rang.
À retenir : pour réfuter « à partir d'un certain rang », on se donne un seuil $N$ quelconque, on exhibe au-delà de ce seuil, par une formule en $N$, un rang où la propriété échoue, et l'on conclut qu'elle échoue pour une infinité d'entiers.

Chaque définition s'écrit d'abord en symboles, puis se nie par les règles précédentes ; $(u_n)$ est une suite réelle, $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ ou sur un intervalle $I$. Une suite n'est pas majorée si, pour tout réel $M$, l'un au moins de ses termes est strictement supérieur à $M$ ; elle n'est pas bornée si, pour tout réel $M$, l'un au moins de ses termes dépasse strictement $M$ en valeur absolue ; elle n'est pas croissante dès qu'elle descend strictement en au moins un rang. Une fonction n'est pas croissante s'il existe deux points rangés dans l'ordre dont les images sont rangées dans l'ordre strictement inverse ; elle n'est pas périodique si chaque $T > 0$ est mis en défaut en au moins un point.

Quand l'utiliser : il faut montrer qu'un objet n'a pas une propriété (« n'est pas majorée », « n'est pas périodique »), ou décider s'il l'a (« la suite est-elle croissante ? »), ou encore supposer le contraire d'une définition dans une contraposée ou un raisonnement par l'absurde.
1) Écrire la définition en symboles, appliquée à l'objet de l'énoncé : « $(u_n)$ est majorée » s'écrit $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq M$. L'objet est fixé : on ne le quantifie pas.
2) Écrire sa négation sur la copie, mécaniquement : « $(u_n)$ n'est pas majorée s'écrit $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N},\ u_n > M$. »
3) Si la réponse n'est pas connue, placer la définition et sa négation côte à côte et lire ce que chacune exige : un seul $M$ valable pour tous les rangs, ou, pour chaque $M$, un rang qui le dépasse. Tester sur quelques valeurs, puis choisir l'énoncé que l'on sait établir.
4) Lire dans l'énoncé retenu le plan de la preuve : chaque $\forall$ devient « Soit ... », chaque $\exists$ devient « Posons ... », dans l'ordre d'écriture ; un objet posé ne dépend que des objets introduits avant lui.
5) Rédiger en suivant ce plan, puis conclure avec les mots de la question : « Ainsi $(u_n)$ n'est pas majorée. »

Écrire la négation de « la suite $(u_n)$ est croissante », puis montrer que la suite de terme général $|n - 2|$ n'est ni croissante ni décroissante.
Par définition, « $(u_n)$ est croissante » s'écrit $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leq u_{n+1}$.
Sa négation s'écrit donc $\exists n \in \mathbb{N},\ u_n > u_{n+1}$.
De même, « $(u_n)$ est décroissante » s'écrit $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geq u_{n+1}$, et sa négation s'écrit $\exists n \in \mathbb{N},\ u_n < u_{n+1}$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, posons $v_n = |n - 2|$. On a $v_0 = 2$, $v_1 = 1$, $v_2 = 0$ et $v_3 = 1$.
Montrons que $(v_n)$ n'est pas croissante. Pour $n = 0$, on a $v_0 = 2 > 1 = v_1$ : il existe donc un rang $n$ tel que $v_n > v_{n+1}$, et $(v_n)$ n'est pas croissante.
Montrons que $(v_n)$ n'est pas décroissante. Pour $n = 2$, on a $v_2 = 0 < 1 = v_3$ : il existe donc un rang $n$ tel que $v_n < v_{n+1}$, et $(v_n)$ n'est pas décroissante.
Conclusion : la suite de terme général $|n - 2|$ n'est ni croissante ni décroissante.
À retenir : on écrit la négation de chaque définition avant de chercher ; elle réduit la tâche à exhiber un seul rang, et « non croissante » se démontre indépendamment de « non décroissante ».

Écrire la négation de $\exists T > 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x + T) = f(x)$, puis montrer que la fonction $x \mapsto x^2$ n'est pas périodique.
La négation franchit les deux quantificateurs en conservant les domaines $T > 0$ et $x \in \mathbb{R}$, puis nie l'égalité ; elle s'écrit :
$\forall T > 0,\ \exists x \in \mathbb{R},\ f(x + T) \neq f(x)$.
Par définition, une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est périodique si elle vérifie $\exists T > 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ f(x + T) = f(x)$ ; elle n'est donc pas périodique si elle vérifie la négation précédente.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $f(x) = x^2$. Montrons que $f$ vérifie cette négation.
Soit $T > 0$. Posons $x = 0$, qui est un réel.
Alors $f(x + T) = f(T) = T^2$ et $f(x) = f(0) = 0$.
Comme $T > 0$, on a $T^2 = T \times T > 0$, donc $T^2 \neq 0$, c'est-à-dire $f(x + T) \neq f(x)$.
Ainsi, pour tout $T > 0$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x + T) \neq f(x)$ : la fonction $x \mapsto x^2$ n'est pas périodique.
À retenir : la négation fixe l'ordre de la preuve, « Soit $T > 0$ » d'abord, puis un point $x$ qui a le droit de dépendre de $T$ ; ici, $x = 0$ convient pour tous les $T$.

Le mot du langage courant qui semble opposé à une propriété n'en est en général pas la négation : « non croissante » n'est pas « décroissante », « non majorée » n'est pas « minorée ». Une propriété $Q$ est la négation de $P$ seulement si, pour chaque objet, exactement l'une des deux est vraie. Pour croissante et décroissante, cela échoue dans les deux sens : une suite constante est à la fois croissante et décroissante, la suite de terme général $|n - 2|$ n'est ni l'une ni l'autre. Pour un réel, « non positif » est bien « strictement négatif », mais dire qu'une fonction n'est pas positive signifie seulement qu'elle prend au moins une valeur strictement négative. Pour un entier, « non pair » est bien « impair », car tout entier est pair ou impair, et jamais les deux.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ n'est pas croissante, donc elle est décroissante, donc $u_n \leq u_0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. »
L'erreur : « $(u_n)$ n'est pas croissante » signifie seulement $\exists n \in \mathbb{N},\ u_n > u_{n+1}$, une descente à un rang ; « décroissante » exige $u_n \geq u_{n+1}$ à tous les rangs. La suite définie par $u_n = |n - 2|$ n'est pas croissante, car $u_0 = 2 > 1 = u_1$, et pourtant $u_5 = 3 > 2 = u_0$.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ n'est pas croissante, donc il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $u_{n_0} > u_{n_0 + 1}$. » On n'en tire rien sur les autres rangs.

Deux couples sont égaux lorsque leurs composantes le sont une à une : $(a,b) = (c,d)$ signifie $a = c$ et $b = d$. La négation est donc une disjonction : deux couples sont distincts dès que l'une au moins des composantes diffère. Deux fonctions $f, g : E \to \mathbb{R}$ sont égales lorsque $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in E$ ; elles sont distinctes dès qu'il existe au moins un point qui les sépare. En particulier, « $f$ n'est pas la fonction nulle », noté $f \neq 0$, signifie que $f$ prend au moins une valeur non nulle, ce qui est bien plus faible que « $f$ ne s'annule pas sur $E$ ».

Ligne fautive : « Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $(a,b) \neq (0,0)$. Alors $a \neq 0$ et $b \neq 0$, donc $ab \neq 0$. »
L'erreur : $(a,b) = (0,0)$ signifie « $a = 0$ et $b = 0$ », dont la négation est « $a \neq 0$ ou $b \neq 0$ ». Le couple $(1,0)$ est différent de $(0,0)$, mais $b = 0$ et $ab = 0$ : la conclusion est fausse.
Version correcte : « Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $(a,b) \neq (0,0)$. Alors $a \neq 0$ ou $b \neq 0$, donc $a^2 > 0$ ou $b^2 > 0$ ; comme $a^2 \geq 0$ et $b^2 \geq 0$, on en déduit $a^2 + b^2 > 0$. »

Ligne fautive : « Comme $f$ n'est pas la fonction nulle, $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et l'on peut diviser par $f(x)$. »
L'erreur : $f \neq 0$ est la négation de $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = 0$ ; la négation change le quantificateur et s'écrit $\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$. La fonction $x \mapsto x$ n'est pas la fonction nulle et s'annule pourtant en $0$ : on ne peut pas diviser par sa valeur en $0$.
Version correcte : « Comme $f$ n'est pas la fonction nulle, il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $f(x_0) \neq 0$, et l'on peut diviser par $f(x_0)$. » Seule l'hypothèse « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ », c'est-à-dire $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$, autorise la division en tout point.

« Il existe un unique $x \in E$ tel que $P(x)$ », noté $\exists !\, x \in E,\ P(x)$, est la conjonction d'une existence (au moins un élément vérifie $P$) et d'une unicité (au plus un élément vérifie $P$). Sa négation est donc une disjonction : ou bien aucun élément ne vérifie $P$, ou bien au moins deux éléments distincts le vérifient. Ne garder qu'un des deux cas donne un énoncé plus fort que la négation, qui peut être faux alors que la négation est vraie. Les manières de démontrer l'une ou l'autre relèvent des thèmes « Démontrer une existence » et « Démontrer une unicité ».

Ligne fautive : « L'équation $x^2 = 4$ n'admet pas une unique solution réelle, donc elle n'admet aucune solution réelle. »
L'erreur : « exactement une solution » a pour négation « aucune solution ou au moins deux solutions distinctes » ; la ligne fautive oublie le second cas. Ici l'équation a deux solutions, $2$ et $-2$ : l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse. La faute symétrique oublie le premier cas : l'équation $x^2 = -4$ n'admet pas une unique solution réelle, et n'en admet pourtant pas deux.
Version correcte : « L'équation $x^2 = 4$ n'admet pas une unique solution réelle, donc ou bien elle n'en admet aucune, ou bien elle en admet au moins deux distinctes. »

Écrire la négation de « l'équation $x^2 = x$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ », puis démontrer cette négation.
L'énoncé est la conjonction d'une existence et d'une unicité : $\left(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = x\right) \text{ et } \left(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ \big((x^2 = x \text{ et } y^2 = y) \Rightarrow x = y\big)\right)$.
Sa négation est la disjonction des deux négations.
La négation de l'existence est $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \neq x$.
La négation de l'unicité, qui est une implication quantifiée, est $\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ (x^2 = x \text{ et } y^2 = y \text{ et } x \neq y)$.
La négation cherchée s'écrit donc : $\left(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \neq x\right) \text{ ou } \left(\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2,\ x^2 = x \text{ et } y^2 = y \text{ et } x \neq y\right)$.
Pour démontrer une disjonction, il suffit d'en démontrer un membre ; montrons le second.
Posons $x = 0$ et $y = 1$, qui sont des réels.
On a $x^2 = 0 = x$ et $y^2 = 1 = y$ ; de plus $0 \neq 1$, donc $x \neq y$.
Ainsi il existe deux réels distincts solutions de $x^2 = x$ : le second membre est vrai, donc la négation est vraie.
À retenir : nier « il existe un unique » ouvre deux cas, « aucun » ou « au moins deux » ; on écrit les deux, puis on démontre celui qui est vrai.

Quand l'utiliser : après chaque négation écrite, et toujours quand l'énoncé contient une implication, une inégalité, un « unique » ou plusieurs quantificateurs. Principe : pour un objet donné, un énoncé et sa négation ne sont jamais vrais ensemble, ni faux ensemble.
1) Contrôle de forme : chaque quantificateur que la négation a traversé a changé de nature, à sa place, avec son domaine recopié ; ceux de l'hypothèse d'une implication sont recopiés sans changement ; plus aucune flèche, sauf à l'intérieur d'une hypothèse recopiée ; chaque relation atteinte est niée, valeur frontière comprise.
2) Choisir des objets tests très simples : une suite constante, la suite de terme général $n$, les fonctions $x \mapsto 0$, $x \mapsto x$, $x \mapsto x^2$, le couple $(1,0)$. Viser les endroits où l'erreur se cache : la frontière d'une inégalité, une équation à plusieurs solutions, un point où l'hypothèse d'une implication est fausse.
3) Pour chaque objet, décider séparément si l'énoncé de départ est vrai, puis si l'énoncé proposé comme négation est vrai.
4) Verdict : si un objet les rend tous deux vrais, ou tous deux faux, l'énoncé proposé n'est pas la négation ; on reprend la négation cran par cran. Au brouillon : « Pour $x \mapsto x$, les deux énoncés sont faux ; le second n'est donc pas la négation du premier. »
5) Portée : un test raté prouve que l'énoncé proposé n'est pas la négation de l'énoncé de départ ; un test réussi ne prouve rien, il rend seulement l'erreur moins probable.

Un étudiant propose « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ » comme négation de « $f$ est la fonction nulle ». Écrire ces deux énoncés avec des quantificateurs, contrôler la proposition sur la fonction $x \mapsto x$, puis écrire la bonne négation et montrer que $x \mapsto x$ la satisfait sans satisfaire « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ ».
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
« $f$ est la fonction nulle » s'écrit $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) = 0$.
« $f$ s'annule sur $\mathbb{R}$ » s'écrit $\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) = 0$ ; sa négation, « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ », s'écrit donc $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$.
Contrôle de forme. La proposition garde le quantificateur $\forall$ de l'énoncé de départ, qui n'est placé sous aucune implication : une négation l'aurait changé en $\exists$. La proposition est donc suspecte.
Objet test. Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction définie par $g(x) = x$.
Énoncé de départ pour $g$ : on a $g(1) = 1 \neq 0$, donc « $g$ est la fonction nulle » est faux.
Proposition pour $g$ : on a $g(0) = 0$, donc « $g$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ » est faux.
Verdict. Pour la même fonction $g$, les deux énoncés sont faux ; « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ » n'est donc pas la négation de « $f$ est la fonction nulle ».
Négation correcte. La négation traverse $\forall x \in \mathbb{R}$, qui devient $\exists x \in \mathbb{R}$, puis nie l'égalité : « $f$ n'est pas la fonction nulle » s'écrit $\exists x \in \mathbb{R},\ f(x) \neq 0$.
Nouveau contrôle. Posons $x = 1$. On a $g(x) = 1 \neq 0$, donc $g$ vérifie cette négation, tandis que « $g$ est la fonction nulle » est faux : exactement l'un des deux énoncés est vrai, et le test ne met pas cette négation en défaut.
Ainsi la fonction $x \mapsto x$ vérifie « $f$ n'est pas la fonction nulle » et ne vérifie pas « $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ ».
À retenir : pour contrôler une négation, on décide séparément, pour un même objet, si l'énoncé est vrai et si la négation proposée est vraie ; s'ils sont vrais ensemble ou faux ensemble, la négation est à reprendre.