Ordre des quantificateurs

Un énoncé quantifié se lit de gauche à droite : chaque quantificateur porte sur tout ce qui le suit, et les objets sont choisis dans l'ordre où ils sont écrits. Échanger un $\forall$ et un $\exists$ change en général le sens de l'énoncé, et parfois sa valeur de vérité. Ainsi $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x$ affirme que chaque réel est dépassé par un réel adapté à lui, ce qui est vrai ; $\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x$ affirme qu'un même réel dépasse tous les réels, lui compris, ce qui est faux.

Dans un énoncé quantifié, un objet introduit par $\exists$ peut dépendre de tout ce qui est choisi avant lui : les données fixées par l'énoncé (la fonction ou la suite étudiée), les variables universelles écrites à sa gauche et les objets existentiels déjà choisis. Il ne dépend d'aucune variable écrite à sa droite, puisque celle-ci n'est pas encore choisie. On peut lire l'énoncé comme un jeu : un adversaire choisit les variables des $\forall$, on choisit celles des $\exists$, chacun à son tour dans l'ordre d'écriture et en connaissant les choix déjà faits. Dans $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ \frac{1}{n+1} < \varepsilon$, le rang $N$ peut dépendre de $\varepsilon$ mais pas de $n$.

Quand l'utiliser : avant de démontrer ou de réfuter un énoncé qui mélange $\forall$ et $\exists$, et chaque fois qu'on recopie une définition (majorée, limite, à partir d'un certain rang).
1) Recopier les quantificateurs dans l'ordre écrit, puis la propriété finale, sans rien déplacer.
2) Pour chaque $\forall x$, noter que $x$ est imposé et quelconque ; sur la copie, il deviendra « Soit $x \in E$. »
3) Pour chaque $\exists y$, lister les variables universelles écrites à sa gauche : ce sont les seules variables universelles dont $y$ peut dépendre (il peut aussi s'exprimer à l'aide des objets existentiels choisis avant lui). L'écrire : « $y$ est choisi après $x$, il peut dépendre de $x$ », et le noter $y_x$ ou $y(x)$ si cela aide.
4) Pour chaque $\forall z$ écrit à droite de $\exists y$, l'écrire aussi : « $y$ est choisi avant $z$, il ne dépend pas de $z$ : il doit convenir pour tous les $z$ ».
5) Paraphraser en français en faisant entendre la dépendance : « pour chaque $x$, on peut trouver un $y$ » ou « un même $y$ convient pour tous les $x$ ».
6) En déduire le squelette de la preuve : une ligne « Soit » par $\forall$, une ligne « Posons » par $\exists$, dans l'ordre des quantificateurs.

Lire les assertions (A) $\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ \exists z \in \mathbb{R},\ z > x + y$ et (B) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists z \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ z > x + y$ en disant de quoi dépend $z$, puis déterminer la valeur de vérité de chacune.
Lecture de (A) : les réels $x$ et $y$ sont universels, donc quelconques ; le réel $z$ est écrit après eux, il peut dépendre de $x$ et de $y$, ce qu'on note $z(x, y)$.
(A) signifie : quels que soient les réels $x$ et $y$, il existe un réel strictement supérieur à leur somme.
Démontrons (A).
Soient $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$.
Posons $z = x + y + 1$, réel construit à partir de $x$ et de $y$.
On a $z - (x + y) = 1 > 0$, donc $z > x + y$.
Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$, il existe $z \in \mathbb{R}$ tel que $z > x + y$ : (A) est vraie.
Lecture de (B) : le réel $x$ est universel ; le réel $z$ est écrit après $x$ mais avant $y$, il peut dépendre de $x$ et pas de $y$, ce qu'on note $z(x)$.
(B) signifie : pour chaque réel $x$, un même réel $z$ dépasse strictement $x + y$ pour tous les réels $y$.
Montrons que (B) est fausse en prenant $x = 0$ : établissons qu'aucun réel $z$ ne vérifie $z > 0 + y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$.
Soit $z \in \mathbb{R}$.
Posons $y = z$, réel construit à partir de $z$.
Alors $0 + y = z$, et l'inégalité $z > 0 + y$ s'écrit $z > z$, qui est fausse.
Ceci valant pour tout $z \in \mathbb{R}$, aucun réel $z$ ne convient pour $x = 0$ ; or (B) en exige un pour chaque réel $x$, donc (B) est fausse.
Conclusion : (A) est vraie et (B) est fausse ; elles ne diffèrent que par la place de $\exists z$, qui peut s'adapter à $y$ dans (A) et ne le peut plus dans (B).
À retenir : pour chaque objet existentiel, on nomme les variables universelles écrites à sa gauche ; ce sont les seules variables universelles dont il peut dépendre, et on les introduit avant lui sur la copie.

Deux quantificateurs voisins et de même nature s'échangent sans changer le sens : $\forall x\ \forall y\ P(x,y)$ équivaut à $\forall y\ \forall x\ P(x,y)$, et $\exists x\ \exists y\ P(x,y)$ équivaut à $\exists y\ \exists x\ P(x,y)$. On les regroupe alors en $\forall (x, y) \in E \times F$ ou $\exists (x, y) \in E \times F$. Plus généralement, des quantificateurs de même nature écrits à la suite se permutent librement ; l'échange n'est plus permis en général dès qu'un quantificateur de l'autre nature les sépare : dans $\forall x\ \exists y\ \forall z$, on ne peut pas intervertir $\forall x$ et $\forall z$, car $\exists y$, placé entre eux, peut dépendre de $x$ et ne peut pas dépendre de $z$.

Pour tout prédicat $P(x, y)$, l'assertion $\exists y \in F,\ \forall x \in E,\ P(x, y)$ entraîne $\forall x \in E,\ \exists y \in F,\ P(x, y)$ : si un même $y_0$ convient pour tous les $x$, alors, pour chaque $x$, le choix $y = y_0$ convient. La réciproque est fausse en général : pour la propriété $y > x$ sur $\mathbb{R}$, la seconde assertion est vraie et la première fausse. Pour retenir le sens : déplacer un $\exists$ vers la droite, derrière un $\forall$, donne un énoncé plus faible ; le déplacer vers la gauche donne un énoncé plus fort.

Sur la copie, chaque $\forall x$ devient une ligne « Soit $x \in E$. » et chaque $\exists y$ une ligne « Posons $y = \dots$ », écrites dans l'ordre des quantificateurs. Un objet posé après « Soit $x$ » peut s'exprimer à l'aide de $x$ ; un objet posé avant ne le peut pas, puisque $x$ n'est pas encore introduit. Quand on conclut « $x$ étant quelconque », on généralise l'assertion « il existe $y$ tel que $P(x, y)$ », jamais le $y$ particulier construit pour ce $x$. L'introduction des objets et de leurs dépendances est détaillée dans la fiche « Introduire les objets ».

Quand l'utiliser : le but a la forme $\forall x \in E,\ \exists y \in F,\ P(x, y)$, « pour tout … il existe … ».
1) Introduire la variable universelle : « Soit $x \in E$. » À partir de cette ligne, $x$ est fixé mais quelconque.
2) Au brouillon, chercher $y$ en fonction de $x$ : partir de la propriété voulue $P(x, y)$ et la résoudre, ou la rendre vraie, en l'inconnue $y$.
3) Poser l'objet : « Posons $y = \dots$ », avec une expression qui ne fait intervenir que $x$ et les données de l'énoncé ; ou, si un résultat fournit l'objet sans formule : « D'après …, appliqué à $x$, il existe $y_x \in F$ tel que … », l'indice rappelant que l'objet a été obtenu pour ce $x$.
4) Vérifier l'appartenance, sauf si le résultat invoqué la fournit : « Ce réel appartient bien à $F$ car … ».
5) Vérifier la propriété : « Montrons que $P(x, y)$. », puis le calcul justifié.
6) Conclure : « Ainsi, pour tout $x \in E$, il existe $y \in F$ tel que $P(x, y)$. »
L'objet $y$ a le droit de dépendre de $x$ sans y être obligé : une valeur constante convient si elle vérifie la propriété.

Montrer que pour tout $x \in \left]0, 1\right[$, il existe $y \in \left]0, 1\right[$ tel que $x < y$.
Soit $x \in \left]0, 1\right[$.
Posons $y = \frac{x + 1}{2}$ ; ce réel est construit à partir de $x$.
Vérifions que $y \in \left]0, 1\right[$. Comme $0 < x < 1$, on a $1 < x + 1 < 2$, donc $\frac{1}{2} < y < 1$, et en particulier $0 < y < 1$.
Vérifions que $x < y$. On a $y - x = \frac{x + 1}{2} - x = \frac{1 - x}{2}$, et $1 - x > 0$ car $x < 1$, donc $y - x > 0$, c'est-à-dire $x < y$.
Ainsi, pour tout $x \in \left]0, 1\right[$, il existe $y \in \left]0, 1\right[$ tel que $x < y$.
À retenir : on introduit $x$, on pose $y$ par une formule en $x$, puis on vérifie séparément que $y$ est dans le bon ensemble et qu'il a la propriété voulue.

Une constante est uniforme en $x$ si elle est choisie avant $x$ et convient pour tous les $x$ : forme $\exists M,\ \forall x$. Elle peut dépendre de $x$ si elle est choisie après $x$ : forme $\forall x,\ \exists M$ ; l'ordre l'y autorise sans l'y obliger. Pour $f : E \to \mathbb{R}$, « $f$ est majorée » s'écrit $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in E,\ f(x) \le M$ ; en revanche $\forall x \in E,\ \exists M \in \mathbb{R},\ f(x) \le M$ est vraie pour toute fonction, avec $M = f(x)$, et n'apprend donc rien. Les mots « uniforme », « indépendant de $x$ », « le même pour tous » signalent un $\exists$ placé avant le $\forall$.

Quand un objet existentiel dépend d'une variable, on l'inscrit dans sa notation : $N_\varepsilon$ ou $N(\varepsilon)$ pour un rang obtenu à partir de $\varepsilon$, $M_x$ ou $M(x)$ pour un réel obtenu à partir de $x$. Cette notation sert de garde-fou : elle empêche d'utiliser $N_\varepsilon$ pour un autre $\varepsilon$, et montre d'un coup d'œil qu'un $M(x)$ ne peut pas servir de majorant commun à tous les $x$. À l'inverse, une valeur comme $M = 2$, où aucune variable ne figure, ne porte pas d'indice : c'est une constante uniforme.

Quand l'utiliser : le but a la forme $\exists y \in F,\ \forall x \in E,\ P(x, y)$, ou contient « majorée », « minorée », « bornée », « uniforme », « une constante indépendante de ».
1) Au brouillon, étudier $P(x, y)$ pour $x$ quelconque et chercher une valeur qui convient pour tous les $x$ à la fois, par exemple en majorant l'expression par une quantité où $x$ ne figure plus.
2) Poser l'objet avant la variable universelle qu'il précède : « Posons $y = \dots$ ». L'expression ne contient aucune variable introduite plus bas par « Soit » ; elle peut contenir des nombres, les données de l'énoncé et les variables déjà introduites plus haut.
3) Introduire ensuite la variable universelle : « Soit $x \in E$. Montrons que $P(x, y)$. »
4) Vérifier $y \in F$, puis $P(x, y)$ par un calcul valable pour ce $x$ quelconque.
5) Conclure en rappelant l'indépendance : « Le réel $y$, fixé avant $x$, ne dépend pas de $x$ ; ainsi il existe $y \in F$ tel que pour tout $x \in E$, $P(x, y)$. »
Contrôle : relire la ligne « Posons $y = \dots$ ». Si une lettre introduite plus bas par « Soit » y figure, cette ligne n'a pas de sens ; et si l'on remonte « Soit $x$ » au-dessus d'elle pour la réparer, la preuve n'établit plus que $\forall x\ \exists y$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n = \frac{2n + 1}{n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $(u_n)$ est majorée.
Il s'agit d'établir $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le M$ : le majorant doit être fixé avant $n$.
Posons $M = 2$.
Soit $n \in \mathbb{N}$.
On a $2n + 1 \le 2n + 2 = 2(n + 1)$.
Comme $n + 1 > 0$, on peut diviser les deux membres par $n + 1$ sans changer le sens de l'inégalité : $u_n = \frac{2n + 1}{n + 1} \le 2 = M$.
Le réel $M = 2$ a été posé avant l'introduction de $n$ et ne contient pas $n$ : c'est le même majorant pour tous les termes.
Ainsi il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le M$ : la suite $(u_n)$ est majorée, par $2$.
À retenir : pour prouver un $\exists M\ \forall n$, on écrit « Posons $M = \dots$ » avant « Soit $n$ », avec une valeur où $n$ ne figure pas.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ est majorée, c'est-à-dire : $\forall n \in \mathbb{N},\ \exists M \in \mathbb{R},\ u_n \le M$. »
Cet énoncé est vrai pour toute suite réelle : pour chaque $n$, le réel $M = u_n$ convient. Il ne traduit donc pas « majorée » : la suite de terme général $n$, qui n'est pas majorée, le vérifie.
Version correcte : « La suite $(u_n)$ est majorée, c'est-à-dire : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le M$. » Un même réel $M$, choisi avant $n$, majore tous les termes.
Contrôle : une traduction vraie pour tous les objets ne peut pas exprimer une propriété que certains objets n'ont pas.

Ligne fautive : « Soit $n \in \mathbb{N}$. Posons $M = u_n$. Alors $u_n \le M$, donc $(u_n)$ est majorée. »
Le réel $M$ est posé après $n$ et vaut $u_n$ : il dépend de $n$. Cette rédaction démontre $\forall n\ \exists M,\ u_n \le M$, vrai pour toute suite, et non $\exists M\ \forall n,\ u_n \le M$.
Version correcte : poser d'abord un réel où $n$ ne figure pas, puis introduire $n$. Pour $u_n = \frac{2n + 1}{n + 1}$ : « Posons $M = 2$. Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme $2n + 1 \le 2(n + 1)$ et $n + 1 > 0$, on a $u_n \le 2 = M$. Le réel $M$ ne dépendant pas de $n$, la suite $(u_n)$ est majorée. »
Contrôle : la ligne « Posons $M = \dots$ » doit précéder « Soit $n \in \mathbb{N}$ » et ne pas contenir $n$.

Quand l'utiliser : on demande si l'on peut échanger deux quantificateurs, si la réciproque de la propriété « $\exists y\ \forall x$ entraîne $\forall x\ \exists y$ » est vraie, ou de comparer deux énoncés qui ne diffèrent que par l'ordre.
1) Choisir un exemple simple où chaque $x$ a un $y$ qui lui convient, mais où aucun $y$ ne convient à tous : $y > x$ sur $\mathbb{R}$, ou $f(x) \le M$ pour une fonction non majorée.
2) Démontrer $\forall x\ \exists y\ P(x, y)$ en construisant $y$ à partir de $x$ : « Soit $x \in E$. Posons $y = \dots$ »
3) Montrer qu'aucun $y$ ne convient pour tous les $x$ : « Soit $y \in F$. », puis « Posons $x = \dots$ », valeur construite à partir de $y$ ; vérifier que $x \in E$ ; établir enfin que $P(x, y)$ est fausse.
4) Généraliser : « Ceci valant pour tout $y \in F$, aucun $y$ ne vérifie $P(x, y)$ pour tout $x \in E$ : l'assertion $\exists y \in F,\ \forall x \in E,\ P(x, y)$ est fausse. »
5) Conclure : « Sur cet exemple, $\forall x\ \exists y$ est vraie et $\exists y\ \forall x$ est fausse : la première n'entraîne donc pas la seconde en général. »
L'écriture mécanique de la négation d'un énoncé quantifié est l'objet de la fiche « Nier une proposition » ; ici, montrer qu'aucun $y$ ne convient suffit.

Comparer les assertions (A) $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x$ et (B) $\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x$ : démontrer (A) et réfuter (B).
Démontrons (A).
Soit $x \in \mathbb{R}$.
Posons $y = x + 1$, réel construit à partir de $x$.
On a $y - x = 1 > 0$, donc $y > x$.
Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $y \in \mathbb{R}$ tel que $y > x$ : (A) est vraie.
Réfutons (B) en montrant qu'aucun réel $y$ ne vérifie $y > x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Soit $y \in \mathbb{R}$.
Posons $x = y$, réel construit à partir de $y$.
L'inégalité $y > x$ s'écrit alors $y > y$, qui est fausse.
Ceci valant pour tout $y \in \mathbb{R}$, aucun réel ne dépasse tous les réels : (B) est fausse.
Conclusion : (A) est vraie et (B) est fausse, alors qu'elles ne diffèrent que par l'ordre de $\forall x$ et $\exists y$ ; un énoncé de la forme $\forall x\ \exists y$ n'entraîne donc pas en général l'énoncé $\exists y\ \forall x$.
À retenir : pour réfuter un $\exists y\ \forall x$, on prend un $y$ quelconque et on construit à partir de lui un $x$ qui le met en défaut.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$. Montrer que l'assertion $\forall x \in \mathbb{R},\ \exists M \in \mathbb{R},\ f(x) \le M$ est vraie, alors que $f$ n'est pas majorée.
Démontrons l'assertion.
Soit $x \in \mathbb{R}$.
Posons $M = x^2$ ; ce réel dépend de $x$, ce que l'ordre $\forall x\ \exists M$ autorise.
On a $f(x) = x^2 = M$, donc $f(x) \le M$.
Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \le M$.
Montrons que $f$ n'est pas majorée, c'est-à-dire qu'aucun réel $M$ ne vérifie $f(x) \le M$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Soit $M \in \mathbb{R}$.
Posons $x = |M| + 1$, réel construit à partir de $M$.
On a $x \ge 1$ et $x > 0$ ; en multipliant l'inégalité $x \ge 1$ par $x > 0$, on obtient $x^2 \ge x$.
Par ailleurs $x = |M| + 1 > |M| \ge M$.
Donc $f(x) = x^2 \ge x > M$ : le réel $M$ ne majore pas $f$.
Ceci valant pour tout $M \in \mathbb{R}$, la fonction $f$ n'est pas majorée.
Conclusion : l'assertion $\forall x\ \exists M,\ f(x) \le M$ est vraie bien que $f$ ne soit pas majorée ; elle est d'ailleurs vraie pour toute fonction, en posant $M = f(x)$.
À retenir : un $M$ posé après $x$ ne prouve rien sur la majoration ; pour réfuter « majorée », on met chaque $M$ en défaut par un $x$ construit à partir de lui.

Soit $P(n)$ une propriété de l'entier naturel $n$. « $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang », ou « pour $n$ assez grand », s'écrit $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ P(n)$ : on fixe un seuil, puis tous les entiers qui l'atteignent conviennent. « $P(n)$ est vraie pour une infinité d'entiers » s'écrit $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ P(n)$ : au-delà de tout seuil, on trouve encore un entier qui convient, ce qui revient à dire que l'ensemble des $n$ vérifiant $P(n)$ n'est pas majoré, c'est-à-dire qu'il est infini, puisqu'une partie de $\mathbb{N}$ est finie si et seulement si elle est majorée. Dans ces écritures, $\forall n \ge N$ et $\exists n \ge N$ abrègent « pour tout entier naturel $n$ tel que $n \ge N$ » et « il existe un entier naturel $n$ tel que $n \ge N$ ».

Si $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang, elle est vraie pour une infinité d'entiers : si le rang $N_0$ convient, alors pour tout $N \in \mathbb{N}$, l'entier $n = \max(N, N_0)$ vérifie $n \ge N$ et, comme $n \ge N_0$, $P(n)$. La réciproque est fausse : « $n$ est pair » est vraie pour une infinité d'entiers (pour tout $N$, l'entier $2N$ convient), mais pas à partir d'un certain rang, puisque tout seuil $N$ est dépassé par l'entier impair $2N + 1$. Ce n'est pas un cas particulier de la propriété « $\exists y\ \forall x$ entraîne $\forall x\ \exists y$ », qui garde la nature de chaque variable : ici $N$ passe d'un $\exists$ à un $\forall$ et $n$ d'un $\forall$ à un $\exists$, d'où la preuve directe par $\max(N, N_0)$ ; le lien avec la négation est traité dans la fiche « Nier une proposition ».

Quand l'utiliser : l'énoncé contient « à partir d'un certain rang », « pour $n$ assez grand », « pour une infinité de $n$ » ou « pour des $n$ arbitrairement grands ».
1) Isoler la propriété $P(n)$ que doit vérifier l'entier $n$.
2) Traduire : « à partir d'un certain rang » donne $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ P(n)$ ; « pour une infinité d'entiers » donne $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ P(n)$. Si des variables universelles précèdent (un $\varepsilon$, un $A$), les laisser à gauche : le rang peut dépendre d'elles, et on le note $N_\varepsilon$ ou $N_A$.
3) Pour un certain rang : obtenir le rang en fonction des seules variables déjà introduites, « Posons $N = \dots$ » ou « D'après …, il existe $N_\varepsilon \in \mathbb{N}$ tel que … », puis « Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge N$. Montrons que $P(n)$. »
4) Pour une infinité d'entiers : « Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = \dots$ », en fonction de $N$, puis vérifier les deux conditions $n \ge N$ et $P(n)$.
5) Conclure en revenant à la phrase de l'énoncé : « $P(n)$ est vraie à partir du rang $N$ » ou « $P(n)$ est vraie pour une infinité d'entiers $n$ ».

On admet que pour tout réel $A$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $N > A$. Démontrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout entier $n \ge N$, $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$, et indiquer de quoi dépend $N$.
L'énoncé s'écrit $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ \frac{1}{n + 1} < \varepsilon$ : le rang $N$ est choisi après $\varepsilon$ et avant $n$, il peut dépendre de $\varepsilon$ mais pas de $n$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Appliquons la propriété admise au réel $A = \frac{1}{\varepsilon}$ : il existe un entier naturel, que l'on note $N_\varepsilon$, tel que $N_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon}$.
Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge N_\varepsilon$.
On a $n + 1 > n \ge N_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon}$, donc $n + 1 > \frac{1}{\varepsilon}$.
Les réels $n + 1$ et $\frac{1}{\varepsilon}$ sont strictement positifs et la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0, +\infty\right[$, donc $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$.
Ainsi, pour tout $\varepsilon > 0$, l'entier $N_\varepsilon$ vérifie : pour tout entier $n \ge N_\varepsilon$, $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$, ce qui démontre l'énoncé.
Dépendance : le rang $N_\varepsilon$ a été obtenu à partir de $\varepsilon$ seul, et il ne peut pas être choisi indépendamment de $\varepsilon$.
En effet, soit $N \in \mathbb{N}$ ; pour le réel $\varepsilon = \frac{1}{N + 1} > 0$, l'entier $n = N$ vérifie $n \ge N$ et $\frac{1}{n + 1} = \varepsilon$, donc l'inégalité $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$ est fausse.
Ainsi aucun entier $N$ ne convient pour tous les réels $\varepsilon > 0$ à la fois.
À retenir : on introduit $\varepsilon$, on obtient le rang à partir de $\varepsilon$ seul et on le note $N_\varepsilon$, puis on introduit $n \ge N_\varepsilon$.

Montrer que $n^2 + 1$ est divisible par $5$ pour une infinité d'entiers naturels $n$.
Il s'agit d'établir $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ 5 \mid n^2 + 1$ : le seuil $N$ est imposé, l'entier $n$ est choisi ensuite et peut dépendre de $N$.
Soit $N \in \mathbb{N}$.
Posons $n = 5N + 2$, entier naturel construit à partir de $N$.
On a $n - N = 4N + 2 > 0$, donc $n \ge N$.
Par ailleurs $n^2 + 1 = (5N + 2)^2 + 1 = 25N^2 + 20N + 5 = 5(5N^2 + 4N + 1)$, et $5N^2 + 4N + 1$ est un entier, donc $5$ divise $n^2 + 1$.
Ainsi, pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe un entier $n \ge N$ tel que $5$ divise $n^2 + 1$ : l'entier $n^2 + 1$ est divisible par $5$ pour une infinité d'entiers naturels $n$.
À retenir : pour « une infinité d'entiers », on reçoit un seuil $N$ quelconque, on construit à partir de lui un entier $n$, et on vérifie à la fois $n \ge N$ et la propriété.

Ligne fautive : « Soit $\varepsilon > 0$ et soit $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$, $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$. Soit $n \ge N$. Comme $\varepsilon$ est quelconque, on a $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $\frac{1}{n + 1} \le 0$. »
Le rang $N$ a été obtenu à partir de $\varepsilon$ : c'est $N_\varepsilon$, et l'inégalité n'est garantie que pour les $n \ge N_\varepsilon$, avec ce $\varepsilon$-là. On ne peut donc pas faire varier $\varepsilon$ en gardant $n$ : pour $\varepsilon = \frac{1}{10}$, le rang $N = 10$ convient et $n = 10$ vérifie $\frac{1}{11} < \frac{1}{10}$, mais pas $\frac{1}{11} < \frac{1}{100}$.
Version correcte : « Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N_\varepsilon \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N_\varepsilon$, $\frac{1}{n + 1} < \varepsilon$. » Ce qu'on en déduit pour $n \ge N_\varepsilon$ ne concerne que ce $\varepsilon$ ; pour un autre réel $\varepsilon' > 0$, on revient à l'énoncé, qui fournit un rang $N_{\varepsilon'}$ en général différent.
Contrôle : on ne conclut « $\varepsilon$ étant quelconque » que sur une assertion où ne figure aucun objet choisi après $\varepsilon$.

Ligne fautive : « $n^2 + 1$ est divisible par $5$ pour une infinité d'entiers, c'est-à-dire : $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \in \mathbb{N},\ 5 \mid n^2 + 1$. Soit $N \in \mathbb{N}$ ; l'entier $n = 2$ convient. »
Sans la condition $n \ge N$, la variable $N$ ne joue plus aucun rôle : l'énoncé écrit dit seulement qu'il existe un entier convenable, et le seul exemple $n = 2$ le démontre. Un entier choisi sans regarder $N$ ne peut pas dépasser tous les seuils : $n = 2$ ne vérifie pas $n \ge 3$.
Version correcte : « $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ 5 \mid n^2 + 1$. Soit $N \in \mathbb{N}$. Posons $n = 5N + 2$ ; on a $n \ge N$ et $n^2 + 1 = 5(5N^2 + 4N + 1)$. »
Contrôle : dans une preuve de « pour une infinité d'entiers », l'entier $n$ est construit à partir de $N$, et la vérification de $n \ge N$ figure sur la copie.

Ligne fautive : « La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$, donc $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall A \in \mathbb{R},\ \forall n \ge N,\ u_n > A$. »
Lu en français, cet énoncé affirme qu'à partir d'un même rang, chaque terme dépasse tous les réels à la fois. Aucune suite réelle ne le vérifie : pour $A = u_N$ et $n = N$, il faudrait $u_N > u_N$.
Version correcte : « $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ u_n > A$ » : le seuil $A$ est imposé d'abord, et le rang, qui en dépend, se note $N_A$.
Contrôle : après avoir recopié une définition, la relire en français ; un énoncé obtenu qui serait vrai pour tous les objets, ou pour aucun, signale le plus souvent deux quantificateurs permutés.

« Uniforme », « indépendant de $x$ », « le même pour tous » : l'objet existentiel est placé avant le $\forall x$. « Qui dépend de $x$ », « pour chaque $x$, on peut trouver » : il est placé après. « À partir d'un certain rang », « pour $n$ assez grand » : $\exists N,\ \forall n \ge N$ ; « pour une infinité de $n$ », « pour des $n$ arbitrairement grands » : $\forall N,\ \exists n \ge N$. Sur la copie, « Soit » introduit une variable universelle, « Posons » fixe un objet choisi, et « qui ne dépend que de $\varepsilon$ » justifie qu'un choix respecte l'ordre.

Échanges permis entre quantificateurs de même nature qu'aucun quantificateur de l'autre nature ne sépare : $(\forall x\ \forall y\ P) \iff (\forall y\ \forall x\ P)$ et $(\exists x\ \exists y\ P) \iff (\exists y\ \exists x\ P)$ ; implication sans réciproque : $(\exists y\ \forall x\ P(x, y)) \implies (\forall x\ \exists y\ P(x, y))$.
Dépendances : dans $\forall a\ \exists b\ \forall c\ \exists d\ P$, l'objet $b$ peut dépendre de $a$, l'objet $d$ de $a$ et de $c$.
« $f$ majorée » : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall x \in E,\ f(x) \le M$.
« À partir d'un certain rang » : $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ P(n)$ ; « pour une infinité d'entiers » : $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \ge N,\ P(n)$.
À partir d'un certain rang entraîne pour une infinité d'entiers, sans réciproque.