Introduire les objets

Introduire un objet, c'est écrire, avant sa première utilisation, une phrase qui lui donne un nom, un ensemble et un statut : quelconque (« soit »), défini (« posons », « notons ») ou soumis à une hypothèse (« supposons », « tel que »). Une lettre n'est introduite que de quatre façons : par l'énoncé, par une phrase de la copie, comme variable muette d'une formule ($\forall x$, $\sum_{k}$, $x \mapsto$), ou comme notation usuelle dont le cours fixe le sens une fois pour toutes ($e$, $\pi$, $\ln$, $\mathbb{R}$). Une lettre qui n'entre dans aucun de ces cas ne désigne rien : la ligne qui la contient n'est ni vraie ni fausse. Les objets introduits par l'énoncé servent dans toute la réponse ; on ne les réintroduit pas et on ne les redéfinit pas.

« Soit $x \in E$ » introduit un élément quelconque de $E$ : on ne sait de lui que ce que dit la phrase, et on ne lui choisit jamais de valeur. Tout ce que l'on démontre ensuite sur $x$ vaut donc pour chaque élément de $E$ : c'est ainsi que l'on démontre une propriété universelle, conclue par « pour tout $x \in E$ ». « Soit $x \in E$ tel que $P(x)$ » se limite aux éléments qui vérifient $P$, et la conclusion ne vaut que pour eux. Au pluriel, on écrit « soient $a$ et $b$ deux réels ». Pour un objet entièrement déterminé par une formule, on préfère « posons » ; « soit $f$ la fonction définie par … » reste admis, l'article « la » disant qu'aucun choix n'est laissé.

« Posons $y = \dots$ » définit un objet nouveau par une expression qui ne fait intervenir que des objets déjà introduits. La phrase de définition n'affirme rien et n'a rien à démontrer, sinon que l'expression a un sens (dénominateur non nul, racine d'un réel positif) ; en revanche, ce que l'on affirme ensuite sur l'objet posé (son signe, son ensemble, le fait qu'il convient comme témoin) se démontre. La lettre posée est neuve : « posons » ne donne jamais une autre valeur à un objet existant. « Notons » baptise un objet dont l'existence est déjà acquise : « notons $c$ la solution de l'équation $f(x) = 0$ » suppose établi qu'une solution existe, et l'article « la » qu'elle est unique (voir « Démontrer une unicité »).

« Supposons $P$ » n'introduit pas un objet mais une assertion, tenue pour vraie jusqu'à la fin du bloc où elle est posée : pour démontrer une implication (« supposons $P$ ; montrons $Q$ »), pour traiter un cas, ou pour raisonner par l'absurde. Les lettres de $P$ sont déjà introduites : « Soit $x \in \mathbb{R}$. Supposons $x > 0$. » Tout ce qui en découle ne vaut que sous $P$, et la conclusion le rappelle : « ainsi, si $x > 0$, alors … ». Une hypothèse d'existence fournit un objet qu'il reste à nommer : « supposons qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = 0$, et fixons un tel $a$ ».

« Fixons $a \in E$ » a le même effet logique que « soit $a \in E$ » : l'objet est quelconque, et la conclusion le rappelle (« $a$ étant quelconque, … »). Le mot ajoute qu'il ne bougera plus pendant que l'on fait varier un autre objet : « fixons $a \in \mathbb{R}$ et étudions la fonction $x \mapsto x^2 - 2ax$ ». On l'emploie aussi pour retenir l'un des objets que promet un « il existe » : « il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que … ; fixons un tel $N$ ». Un objet ainsi fixé n'est pas quelconque : c'est l'un de ceux qui conviennent, on n'écrit jamais « $N$ étant quelconque » à son sujet, et la conclusion finale ne le fait plus intervenir, sauf comme témoin d'une existence. Dans les deux emplois, l'objet fixé désigne le même élément jusqu'à la fin du bloc : on ne lui impose pas plus tard une valeur particulière.

« Prenons $x = -1$ », ou « choisissons », désigne un objet particulier choisi par le rédacteur : c'est le mot d'un contre-exemple ou d'un témoin, jamais celui d'une lettre déjà introduite comme quelconque. « Un tel $N$ » renvoie à l'un des objets dont on vient d'affirmer l'existence. « Quelconque » et « arbitraire » rappellent qu'aucun choix n'a été fait, ce qui autorise à conclure « pour tout » ; « fixé » précise qu'un objet quelconque ne varie plus. « Considérons » introduit un objet défini ou décrit, comme « posons » ou « notons ».

Chaque phrase d'introduction répond à une forme précise du but ou de l'hypothèse.
« Soit $x \in E$ » : démontrer $\forall x \in E,\ P(x)$ ; « Soit $x \in E$ tel que $P(x)$ », ou « Soit $x \in E$ » puis « Supposons $P(x)$ » : démontrer $\forall x \in E,\ (P(x) \Rightarrow Q(x))$.
« Posons $y = \dots$ », puis vérifier : démontrer $\exists y \in F,\ Q(y)$ par un témoin construit.
« Il existe $y$ tel que $P(y)$ ; fixons un tel $y$ » : utiliser une hypothèse d'existence ; « Notons $y$ … » : nommer un objet dont l'existence est acquise.
« Supposons $P$ » : démontrer $P \Rightarrow Q$, traiter le cas où $P$ est vraie ou, $P$ étant la négation du but, raisonner par l'absurde.

L'ensemble d'appartenance d'un objet est l'ensemble dans lequel on l'introduit : $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}^*$, $[0,1]$, l'ensemble des fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$, celui des suites réelles. Il fixe ce que l'on a le droit de faire de l'objet : diviser par $n$ exige $n \neq 0$, écrire $\sqrt{x}$ exige $x \geq 0$, écrire $f(x)$ exige que $x$ appartienne à l'ensemble de départ de $f$. Pour une fonction, on donne l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ($f : I \to \mathbb{R}$) ; pour une suite, l'ensemble des indices ($(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$). Par convention, « soit $\varepsilon > 0$ » abrège « soit $\varepsilon$ un réel strictement positif » : seul $\mathbb{R}$ se sous-entend ainsi, et un entier se déclare toujours comme tel (« soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq N$ »). Changer l'ensemble change l'énoncé démontré : « soit $n \in \mathbb{N}$ » et « soit $n \in \mathbb{Z}$ » ne prouvent pas la même chose.

Sur une copie, un objet ne peut dépendre que des objets introduits avant lui. Après « soit $\varepsilon > 0$, posons $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ », le réel $\delta$ dépend de $\varepsilon$ ; après « posons $M = 1$, soit $x \in [0,1]$ », le réel $M$ est le même pour tous les $x$. L'ordre des phrases reproduit donc l'ordre des quantificateurs du but : pour $\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall x$, on écrit « soit », puis « posons », puis « soit ». Intervertir deux de ces phrases démontre un autre énoncé (voir « Ordre des quantificateurs ») ; la notation $\delta_\varepsilon$ ou $N_\varepsilon$ rend la dépendance visible.

Une lettre introduite par « soit », « posons » ou « fixons » a pour portée la partie de la copie qui va de sa phrase d'introduction à la fin du bloc qui la contient : la preuve, la question, le cas, l'hérédité d'une récurrence. Dans sa portée, elle désigne un seul objet : on ne lui donne pas une autre valeur, on ne s'en sert pas pour nommer autre chose. Une variable muette ($\forall x$, $\sum_{k=0}^{n}$, $\int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t$, $x \mapsto$) n'a pour portée que sa formule : hors d'elle, la lettre est libre et peut resservir. Tout objet nouveau reçoit donc un nom neuf : indices ($N_1$, $N_2$), lettres voisines ($t$, $s$), notations de dépendance ($N_\varepsilon$).

Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est un objet unique, qui associe un réel à chaque point de $I$ ; $f(x)$ est un nombre, la valeur de $f$ au point $x$, qui n'a de sens qu'une fois $x$ introduit dans $I$. De même, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, que l'on note aussi $u$, est une suite, et $u_n$ est un réel, son terme d'indice $n$. La dérivée $f'$ est une fonction, $f'(x)$ un nombre. Les propriétés globales (continue, dérivable, croissante, majorée, bornée, convergente, paire) ont pour sujet $f$ ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ : un nombre n'est ni croissant ni dérivable. Un nombre, lui, est positif, nul, entier, ou appartient à un intervalle.

L'écriture $x \mapsto x^2 + 1$ désigne la fonction qui, à chaque $x$ de son ensemble de départ, associe $x^2 + 1$ ; on précise cet ensemble : « $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 + 1$ ». La lettre $x$ y est muette : $x \mapsto x^2 + 1$ et $t \mapsto t^2 + 1$ sont la même fonction, et ce $x$ ne désigne aucun réel introduit ailleurs sur la copie. Les autres lettres de l'expression sont libres : elles doivent être introduites avant, et la fonction en dépend ($x \mapsto ax + b$ dépend de $a$ et de $b$). Pour toute fonction $f$, la fonction $x \mapsto f(x)$ est $f$ elle-même, alors que $f(x)$ seul est un nombre.

Deux fonctions $f, g : I \to \mathbb{R}$ sont égales si elles prennent la même valeur en tout point de $I$ ; de même, $f \leq g$ signifie que $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in I$, et $f \leq 1$ que $f(x) \leq 1$ pour tout $x \in I$. Dans $f \leq 1$ ou $f = 0$, le réel écrit seul désigne la fonction constante égale à ce réel sur $I$ ; une expression qui contient la variable, comme $x^2$, ne désigne jamais une fonction. Pour deux suites, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} = (v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ signifie $u_n = v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ces écritures sont des abréviations de phrases universelles : on ne les écrit qu'après avoir établi la relation en un point quelconque de $I$. Une relation obtenue en un point particulier, ou sur une partie de $I$ seulement, s'écrit avec des valeurs ($f(1) \leq 1$) ou avec son domaine (« pour tout $x \geq 0$, $f(x) \leq 1$ »).

Signal : une lettre apparaît sur la copie, ou sur le brouillon que l'on s'apprête à recopier, sans figurer dans l'énoncé.
1) Relever les lettres de l'énoncé : elles sont déjà introduites, avec le statut que l'énoncé leur donne.
2) Lire le but et les hypothèses pour savoir quelles lettres il faudra créer : chaque « pour tout » du but appelle un « soit » ; chaque « il existe » du but appelle un témoin, soit construit par une formule (« posons »), soit fourni par une hypothèse ou un théorème d'existence (« il existe … ; fixons un tel ») ; chaque « il existe » d'une hypothèse appelle un « fixons un tel ».
3) Écrire la phrase d'introduction avant la première ligne qui utilise la lettre : « Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. »
4) Donner l'ensemble et les contraintes : « Soit $n \in \mathbb{N}^*$. », « Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. »
5) À la relecture, pour chaque opération faite sur l'objet (diviser, prendre une racine ou un logarithme, évaluer une fonction), vérifier que son ensemble l'autorise.
Sur la copie : « Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. » avant tout calcul qui contient $\frac{1}{x}$ ou $\ln(x)$.

Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$, il existe un réel $c$ tel que $a < c < b$.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$.
Posons $c = \dfrac{a + b}{2}$. C'est un réel, construit à partir de $a$ et de $b$ : il dépend de ces deux réels, introduits avant lui.
Montrons que $a < c$. On a $c - a = \dfrac{b - a}{2}$. Or $a < b$, donc $b - a > 0$, donc $c - a > 0$, c'est-à-dire $a < c$.
Montrons que $c < b$. On a $b - c = \dfrac{b - a}{2}$, qui est strictement positif pour la même raison, donc $c < b$.
Ainsi $a < c < b$ : le réel $c$ convient.
Les réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ étant quelconques, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$, il existe un réel $c$ tel que $a < c < b$.
À retenir : chaque lettre naît dans une phrase qui dit son ensemble (« soient … deux réels », « posons … ») et le témoin est posé après les objets dont il dépend.

Signal : on s'apprête à écrire un objet ou une affirmation qui n'est pas encore sur la copie. Question à se poser : est-ce un objet arbitraire, un objet que l'on fabrique, un objet fourni par une hypothèse ou un théorème, ou une affirmation tenue pour vraie ?
1) Objet arbitraire, parce que le but commence par « pour tout » : « Soit $x \in E$. » Aucune valeur ne lui sera ensuite imposée.
2) Objet fabriqué par une formule à partir d'objets déjà présents (témoin, fonction auxiliaire, abréviation) : « Posons $y = \dots$ ». La définition exige seulement que la formule ait un sens ; les propriétés de l'objet posé (son ensemble, le fait que le témoin convient) se démontrent ensuite.
3) Objet fourni par une hypothèse ou un théorème d'existence : « il existe $a \in E$ tel que … ; fixons un tel $a$ », ou « notons $a$ … » s'il est déjà décrit.
4) Affirmation tenue pour vraie (hypothèse d'une implication, cas, absurde) : « Supposons que … » ; ses lettres sont déjà introduites.
5) Contrôle : un « soit » n'est jamais suivi d'un choix de valeur pour la même lettre ; un « posons » ne contient qu'une définition, une lettre neuve égale à une expression, jamais une affirmation (« posons $x^2 = x$ » est une hypothèse déguisée) ; un « supposons » ne fait jamais apparaître une lettre inconnue.

Montrer que pour tout entier $n \geq 2$, si $n$ n'est pas premier, alors $n$ admet un diviseur $d$ tel que $2 \leq d \leq \sqrt{n}$.
Soit $n$ un entier tel que $n \geq 2$.
Supposons que $n$ n'est pas premier, et montrons que $n$ admet un diviseur $d$ tel que $2 \leq d \leq \sqrt{n}$.
L'entier $n$ vérifie $n \geq 2$ et n'est pas premier, donc, par définition d'un nombre premier, il existe un diviseur positif $a$ de $n$ autre que $1$ et $n$. Fixons un tel entier $a$.
Un diviseur positif de l'entier $n \geq 1$ est compris entre $1$ et $n$ ; comme $a \neq 1$ et $a \neq n$, on a $2 \leq a \leq n - 1$.
Posons $b = \dfrac{n}{a}$. Comme $a$ divise $n$, $b$ est un entier et $n = ab$ ; en particulier, $b$ divise $n$. Comme $0 < a < n$, on a $b > 1$, donc $b \geq 2$ car $b$ est entier.
Posons $d = \min(a, b)$. L'entier $d$ est égal à $a$ ou à $b$, qui divisent tous deux $n$, donc $d$ divise $n$ ; de plus, $d \geq 2$ car $a \geq 2$ et $b \geq 2$.
Comme $0 < d \leq a$ et $0 < d \leq b$, on a $d^2 \leq ab = n$. La racine carrée étant croissante sur $\mathbb{R}_+$, on en déduit $\sqrt{d^2} \leq \sqrt{n}$ ; or $\sqrt{d^2} = d$ car $d \geq 0$, donc $d \leq \sqrt{n}$.
Ainsi $n$ admet un diviseur $d$ tel que $2 \leq d \leq \sqrt{n}$.
L'entier $n \geq 2$ étant quelconque, pour tout entier $n \geq 2$, si $n$ n'est pas premier, alors $n$ admet un diviseur $d$ tel que $2 \leq d \leq \sqrt{n}$.
À retenir : « soit » pour l'entier quelconque, « supposons » pour l'hypothèse de l'implication, « fixons » pour l'objet que livre un « il existe », « posons » pour chaque objet fabriqué à partir des précédents.

Signal : le but a la forme « pour tout …, il existe … » (limite, continuité, inégalité vraie à partir d'un rang) : l'objet à construire vient après un objet quelconque.
1) Écrire le but quantifié et repérer, pour chaque objet existentiel, ce dont il a le droit de dépendre : les données de l'énoncé et tous les objets introduits avant lui, jamais ceux qui viennent après lui dans le but.
2) Introduire les objets universels de tête : « Soit $\varepsilon > 0$. »
3) Au brouillon, partir de la conclusion voulue pour trouver une valeur qui convient.
4) Sur la copie, poser l'objet après ceux dont il dépend, et vérifier qu'il appartient à l'ensemble exigé : « Posons $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$ ; c'est un entier naturel. »
5) Introduire les objets universels suivants avec la restriction du but : « Soit $n$ un entier tel que $n \geq N$. », puis vérifier la conclusion.
6) Conclure en remontant les quantificateurs : « Le réel $\varepsilon > 0$ étant quelconque, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que … ».

Montrer que pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta > 0$ tel que pour tout réel $x$ vérifiant $|x| < \delta$, on a $|2x| < \varepsilon$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Posons $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$. Le réel $\delta$ est construit à partir de $\varepsilon$, introduit avant lui, et $\delta > 0$ car $\varepsilon > 0$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $|x| < \delta$.
Alors $|2x| = 2|x| < 2\delta = \varepsilon$.
Ainsi, pour tout réel $x$ tel que $|x| < \delta$, on a $|2x| < \varepsilon$ : le réel $\delta$ convient.
Le réel $\varepsilon > 0$ étant quelconque, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un réel $\delta > 0$ ayant la propriété demandée.
À retenir : trois quantificateurs, trois phrases dans leur ordre (« soit $\varepsilon$ », « posons $\delta$ », « soit $x$ ») ; le $\delta$ posé entre les deux ne dépend que de $\varepsilon$.

Montrer que pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N \geq 1$ tel que pour tout entier $n \geq N$, on a $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$.
Soit $\varepsilon > 0$.
Posons $N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$. C'est un entier, construit à partir de $\varepsilon$, introduit avant lui.
Comme $\dfrac{1}{\varepsilon} > 0$, on a $\left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor \geq 0$, donc $N \geq 1$. Par définition de la partie entière, $\left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor > \dfrac{1}{\varepsilon} - 1$, donc $N > \dfrac{1}{\varepsilon}$.
Soit $n$ un entier tel que $n \geq N$.
Alors $n \geq N > \dfrac{1}{\varepsilon} > 0$. La fonction inverse étant strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, on obtient $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$.
Ainsi, pour tout entier $n \geq N$, $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ : l'entier $N$ convient.
Le réel $\varepsilon > 0$ étant quelconque, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N \geq 1$ tel que pour tout entier $n \geq N$, $\dfrac{1}{n} < \varepsilon$.
À retenir : le rang $N$ est posé juste après $\varepsilon$ et avant $n$, et l'on vérifie qu'il appartient à l'ensemble exigé ($N \geq 1$) avant de s'en servir.

Signal : on invoque une définition, une hypothèse ou un théorème écrit avec des lettres qui désignent déjà autre chose sur la copie, ou l'on utilise deux fois le même « il existe ».
1) Relire le résultat et séparer ses lettres muettes (quantifiées) de ses lettres libres.
2) Comparer avec les lettres en service sur la copie à cet endroit.
3) Pour chaque conflit, choisir un nom neuf et l'écrire : « d'après la définition appliquée à $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$, il existe $M_2 \in \mathbb{R}$ tel que … ».
4) Si le même « il existe » sert deux fois, donner deux noms : les deux objets sont a priori différents. On ne les réunit qu'en fabriquant un objet commun : « Posons $M = M_1 + M_2$ », « Posons $N = \max(N_1, N_2)$ ».
5) Pour appliquer une propriété universelle en un point dont l'expression fait intervenir des lettres déjà prises, dire la substitution : « la propriété, appliquée au réel $t = x^2$, donne … ».

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites réelles majorées. Montrer que la suite $(u_n + v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée.
La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée : il existe un réel $M_1$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M_1$. Fixons un tel réel $M_1$.
La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée : il existe un réel $M_2$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n \leq M_2$. Fixons un tel réel $M_2$.
Posons $M = M_1 + M_2$. C'est un réel, qui ne dépend d'aucun entier.
Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $u_n \leq M_1$ et $v_n \leq M_2$, donc, en additionnant ces deux inégalités, $u_n + v_n \leq M_1 + M_2 = M$.
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n + v_n \leq M$ : la suite $(u_n + v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est majorée par $M$.
À retenir : la définition « il existe un majorant » sert deux fois ; elle livre deux réels a priori différents, nommés $M_1$ et $M_2$ avant d'être combinés.

Signal : une expression en $x$ ($f(x) - x$, $x^2 + 1$, $e^x - 1 - x$) doit être dérivée, étudiée, composée, comparée à une autre ou soumise à un théorème (valeurs intermédiaires, sens de variation).
1) Donner un nom neuf à la fonction, avec ensemble de départ, ensemble d'arrivée et règle : « Posons $g : [0,1] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x) - x$. »
2) Justifier les propriétés globales de la fonction nommée : « $g$ est continue sur $[0,1]$ comme différence de deux fonctions continues sur $[0,1]$ ».
3) Appliquer le théorème à la fonction, ou la dériver, et n'écrire ses valeurs que derrière un objet introduit : « $g$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$, $g'(x) = \dots$ ».
4) Traduire la conclusion obtenue sur la fonction en une conclusion sur les objets de l'énoncé : « $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$ ».
Pour composer : vérifier que $f$ prend ses valeurs dans l'ensemble de départ de $g$, écrire « Posons $h = g \circ f$ », puis « pour tout $x \in I$, $h(x) = g(f(x))$ ».

Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = c$.
Posons $g : [0,1] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x) - x$.
La fonction $g$ est continue sur $[0,1]$, comme différence de la fonction $f$ et de la fonction $x \mapsto x$, toutes deux continues sur $[0,1]$.
On a $g(0) = f(0)$. Or $f(0) \in [0,1]$, donc $g(0) \geq 0$.
On a $g(1) = f(1) - 1$. Or $f(1) \in [0,1]$, donc $f(1) \leq 1$, d'où $g(1) \leq 0$.
Ainsi $g$ est continue sur le segment $[0,1]$ et $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [0,1]$ tel que $g(c) = 0$. Fixons un tel réel $c$.
Alors $f(c) - c = 0$, c'est-à-dire $f(c) = c$ : le réel $c$ convient.
À retenir : la phrase « posons $g$ » crée un objet unique, dont on peut dire qu'il est continu et auquel on applique le théorème des valeurs intermédiaires, ce qu'aucune valeur $f(x) - x$ ne permet ; son ensemble d'arrivée est $\mathbb{R}$, et non $[0,1]$, car $g$ peut prendre des valeurs négatives.

Signal : relecture de toute ligne qui contient une fonction ou une suite, et en particulier des écritures « $f(x)$ est croissante », « $u_n$ est majorée », « $f = x^2$ », « $f \leq 1$ », « $(x^2)'$ ».
1) Pour chaque membre de chaque relation, dire ce qu'il est : un nombre, une fonction, une suite, un ensemble.
2) Un $=$ ou un $\leq$ relie deux nombres ($f(x) \leq 1$, pour un $x$ introduit) ou deux fonctions ($f = g$, $f \leq g$, qui abrègent une propriété vraie en tout point). Un réel écrit seul en face d'une fonction ($f \leq 1$, $g \geq 0$, $f = 0$) désigne la fonction constante égale à ce réel, sur le même ensemble de départ, ce qui garde les deux membres de même nature ; une expression qui contient la variable ($x^2$, $2x$) ne désigne jamais une fonction. Un $\in$ relie un objet à un ensemble d'objets de sa nature ($f(x) \in [0,1]$, et non $f \in [0,1]$).
3) Toute propriété globale (continue, dérivable, croissante, majorée, convergente) a pour sujet $f$ ou $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, jamais $f(x)$ ou $u_n$.
4) Toute valeur $f(x)$, $f'(x)$ ou $u_n$ est précédée de l'introduction de $x$ ou de $n$, ou d'un « pour tout ».
5) Pour une dérivée : nommer la fonction, puis écrire « $f$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x \in I$, $f'(x) = \dots$ » ; sans nom, écrire « la dérivée de la fonction $x \mapsto x^2$ est la fonction $x \mapsto 2x$ ».

Réécrire correctement : « la dérivée de $f(x) = x^2 + 1$ est $2x$, donc $f(x)$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$ » ; « la suite $u_n = \frac{1}{n}$ est décroissante car $u_{n+1} \leq u_n$ » ; « $(x^2)' = 2x$ ».
Première phrase.
Posons $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2 + 1$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme fonction polynomiale, et, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $f'(x) = 2x \geq 0$ : la dérivée de $f$ est positive sur l'intervalle $\mathbb{R}_+$, donc la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$.
Deuxième phrase.
Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = \dfrac{1}{n}$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On a $0 < n < n + 1$, donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n} = u_n$, par stricte décroissance de la fonction inverse sur $\mathbb{R}_+^*$.
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n+1} \leq u_n$ : la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante.
Troisième phrase.
La fonction $x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme fonction polynomiale, et sa dérivée est la fonction $x \mapsto 2x$.
À retenir : on nomme la fonction ou la suite, on lui attribue les propriétés globales, et l'on n'écrit ses valeurs que derrière un « pour tout » ou un objet introduit ; l'écriture $(x^2)'$ prétend dériver un nombre.

Ligne fautive : « $f$ est croissante sur $I$, donc $f(a) \leq f(b)$. »
Les lettres $a$ et $b$ n'ont été introduites nulle part : le lecteur ne sait ni où elles vivent, ni si elles sont quelconques ou particulières, ni si $a \leq b$. La phrase ne peut être ni vraie ni fausse, et selon ce que l'on imagine pour $a$ et $b$, l'inégalité peut être fausse.
Version correcte : « Soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$ tels que $a \leq b$. Comme $f$ est croissante sur $I$, on a $f(a) \leq f(b)$. »
Même faute, même remède pour le $M$ d'un majorant, le $N$ d'un rang ou le $\varepsilon$ d'une limite : une lettre qui apparaît sans phrase d'introduction est à introduire ou à supprimer.

Ligne fautive : « Soit $\varepsilon > 0$. Prenons $\varepsilon = \frac{1}{10}$ et posons $N = 11$ : pour tout entier $n \geq N$, $\frac{1}{n} < \varepsilon$. »
Après « soit », $\varepsilon$ est quelconque : lui imposer une valeur revient à ne traiter qu'un cas, et « pour tout $\varepsilon > 0$ » n'est pas démontré. Le rang $N = 11$ ne convient d'ailleurs pas pour $\varepsilon = \frac{1}{100}$.
Version correcte : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$. », et la preuve se poursuit sans jamais donner de valeur à $\varepsilon$.
Variante tout aussi fréquente : « Soit $n \in \mathbb{N}$. Posons $n = 2k$. » Ici $n$ reçoit une forme imposée et $k$ n'est pas introduit. Si l'on travaille sur un entier pair, la version correcte est : « Soit $n \in \mathbb{N}$ pair. Il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k$ ; fixons un tel $k$. » Si le but porte sur tout $n \in \mathbb{N}$, ajouter « pair » réduirait l'énoncé démontré : on distingue alors le cas où $n$ est pair et le cas où il est impair (voir « Disjonction de cas »).

Lignes fautives : « la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ » ; « la suite $u_n$ converge vers $0$ ».
$f(x)$ est un nombre, la valeur de $f$ en un point $x$ jamais introduit, et $u_n$ est un réel, le terme d'indice $n$ : un nombre n'est ni décroissant ni convergent. L'objet qui porte ces propriétés est la fonction, ou la suite tout entière.
Versions correctes : « la fonction $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ » ; « la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ ».
Même faute avec « $f(x)$ est continue », « $u_n$ est majorée », ou « $f'(x)$ est positive » écrit sans « pour tout $x$ ».

Ligne fautive : « Posons $f = x^2$. Alors $f' = 2x$. »
À gauche du signe $=$ se trouve une fonction, à droite un nombre qui dépend d'un $x$ jamais introduit : l'égalité relie deux objets de natures différentes, et l'ensemble de départ de $f$ n'est pas donné. La seconde égalité a le même défaut.
Version correcte : « Posons $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 2x$. »
La forme « notons $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ » est également correcte : le mot « par » y sous-entend « pour tout $x \in \mathbb{R}$ ».

Ligne fautive, pour $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \dfrac{2x}{1 + x^2}$ : « On a $f(1) = 1$, donc $f \leq 1$. »
L'écriture $f \leq 1$ abrège « pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq 1$ » ; une valeur en un point ne dit rien des autres points. Même faute si l'inégalité n'est établie que sur une partie de l'ensemble de départ : $e^{-x} \leq 1$ pour tout $x \geq 0$ ne donne pas $g \leq 1$ pour $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto e^{-x}$, qui vaut $e > 1$ au point $-1$.
Version correcte : « Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $1 - f(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{1 + x^2} \geq 0$, donc $f(x) \leq 1$. Le réel $x$ étant quelconque, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq 1$, ce que l'on écrit $f \leq 1$. »

Ligne fautive : « Il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) = 0$. De même, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $g(x) = 0$. Donc $f(x) + g(x) = 0$ et $f + g$ s'annule. »
Chaque « il existe » fournit son propre objet ; les appeler tous deux $x$ les identifie sans raison. La conclusion est d'ailleurs fausse : $f : x \mapsto x$ s'annule en $0$, $g : x \mapsto 1 - x$ s'annule en $1$, et $f + g$ est la fonction constante égale à $1$.
Version correcte : « Il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a) = 0$ ; fixons un tel $a$. Il existe $b \in \mathbb{R}$ tel que $g(b) = 0$ ; fixons un tel $b$. » Rien ne permet ensuite d'affirmer que $a = b$.

Ligne fautive : « Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \int_0^x x^2\,\mathrm{d}x$. »
La lettre $x$ joue deux rôles : borne d'intégration, c'est-à-dire réel introduit par « pour tout », et variable d'intégration, muette, qui parcourt l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$. Le calcul qui suit n'a plus de sens : on ne sait plus quel $x$ l'on remplace.
Version correcte : « Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \int_0^x t^2\,\mathrm{d}t$. »
Même faute avec une somme : après $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, la lettre $k$ n'existe plus, et « donc $k \leq \frac{n(n+1)}{2}$ » ne veut rien dire.

Ligne fautive : « Soit $x \in \mathbb{R}^*$. Supposons $x > 0$. Alors $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0$. Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $x + \frac{1}{x} \geq 2$. »
Le signe du quotient n'est acquis que sous l'hypothèse $x > 0$, qui rend le dénominateur positif ; la conclusion a perdu cette hypothèse et devient fausse : pour $x = -1$, $x + \frac{1}{x} = -2$.
Version correcte de la dernière phrase : « Ainsi, pour tout réel $x > 0$, $x + \frac{1}{x} \geq 2$. »
Une hypothèse posée par « supposons » ou par « tel que » accompagne tout ce qui en découle, jusque dans la conclusion.

Ligne fautive : « Soit $x$. On a $\ln(x^2) = 2\ln(x)$. »
Sans ensemble, on ne sait pas si $\ln(x)$ existe ; et pour un réel $x$ quelconque, l'égalité n'a pas de sens dès que $x < 0$, où $\ln(x)$ n'est pas défini alors que $\ln(x^2)$ l'est.
Version correcte : « Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. On a $\ln(x^2) = 2\ln(x)$. » ou, pour $x \in \mathbb{R}^*$ : « $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ ».
Même faute avec « soit $n$ un entier » suivi d'une division par $n$ : l'ensemble $\mathbb{Z}$ contient $0$, il faut écrire « soit $n \in \mathbb{Z}^*$ », ou « soit $n \in \mathbb{N}^*$ » si le but ne porte que sur les entiers naturels.