Enchaîner et justifier chaque étape

1) [1] Or ; [2] donc ; [3] car ; [4] c'est-à-dire ; [5] Ainsi.

2) [1] « Or » rappelle un fait acquis, la positivité d'un carré, qui va servir à la déduction suivante. [2] « donc » tire de ce fait général le cas particulier $n^2 \ge 0$, puis $n^2 + 1 \ge 1$ en ajoutant $1$. [3] « car » donne la raison de la phrase qui le précède : la phrase se relit « $u_{n+1} - u_n \ge 1$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$ », ce qui est vrai, et $u_{n+1} - u_n \ge 1$ est acquis par les deux premières lignes. [4] « c'est-à-dire » reformule : $u_{n+1} - u_n > 0$ et $u_{n+1} > u_n$ disent la même chose, et le passage est immédiat. [5] « Ainsi » conclut l'étape en reprenant la définition d'une suite strictement croissante.
Hors de la contrainte de l'exercice, « donc » conviendrait aussi en [4] et en [5]. Avec elle, la réponse est unique : en [2], la phrase ne reformule pas le fait général et ne clôt aucune étape, si bien que seul « donc » y convient ; « ainsi » ne peut aller qu'en [5], le seul trou qui conclut une étape, et « c'est-à-dire » va en [4].

3) La phrase est fausse. Le test consiste à la relire sous la forme « $u_{n+1} - u_n > 0$, donc $u_{n+1} - u_n \ge 1$ » : un réel strictement positif n'est pas forcément supérieur ou égal à $1$, puisque $0{,}5 > 0$ et $0{,}5 < 1$. Le mot « car » est employé à l'envers : c'est $u_{n+1} - u_n \ge 1$ qui entraîne $u_{n+1} - u_n > 0$, et non l'inverse. La version correcte est celle de la rédaction : « $u_{n+1} - u_n > 0$, car $u_{n+1} - u_n \ge 1$ ».

a) Légitime. La variable $x$ est introduite, et les trois énoncés portent sur $x$ sans qu'aucun soit affirmé. Chaque maillon se justifie dans les deux sens : le premier par développement de $(x - 2)(x - 3)$, le second parce qu'un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On conclut : l'ensemble des solutions est $\{2, 3\}$.

b) Non légitime. La valeur du discriminant est un fait établi, et la flèche en début de ligne tient lieu de « donc » sans rien affirmer. Réécriture : « Le discriminant de $x^2 - 5x + 6$ vaut $1$. Or $1 > 0$, donc l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ admet deux solutions réelles distinctes. »

c) Non légitime. Le signe $=$ relie ici deux équations : à la lettre, la ligne affirme $0 = x$ et $x = 1$, donc $0 = 1$. Réécriture : « Pour tout réel $x > 0$, $\ln x = 0 \Leftrightarrow \ln x = \ln 1 \Leftrightarrow x = 1$, car $\ln 1 = 0$ et la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$. »

d) Légitime. Les deux énoncés portent sur la même variable $x$, aucun n'est affirmé, et le lien vaut pour tout réel $x$ : si $x \ge 3$, alors $2x \ge 6$ en multipliant par $2 > 0$, puis $2x - 1 \ge 5$ en retranchant $1$. Ces deux opérations sont réversibles, donc on pourrait même écrire $\Leftrightarrow$.

e) Non légitime. Le membre de gauche est un fait établi, et la flèche tient lieu de « donc » pour en tirer le membre de droite. Mais celui-ci est le but : il est vrai, la copie ne l'a pas encore démontré, et il ne découle pas du premier, car deux termes ne déterminent pas la nature d'une suite. Par exemple, $v_n = 4n$ vérifie $v_1 = 4$ et $v_2 = 8$, mais $v_3 = 12 \neq 16$, donc $(v_n)$ n'est pas géométrique de raison $2$. Réécriture : « Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $u_{n+1} = 2^{n+2} = 2 \times 2^{n+1} = 2u_n$. Ceci vaut pour tout $n \in \mathbb{N}$, donc, par définition, $(u_n)$ est géométrique de raison $2$, de premier terme $u_0 = 2$. »

Soit $n$ un entier impair. Montrons que $8$ divise $n^2 - 1$.
Par définition d'un entier impair, il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. On fixe un tel entier $k$.
On calcule $n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$.
Montrons que $k(k + 1)$ est pair. On distingue deux cas.
Premier cas : $k$ est pair. Il existe alors un entier $j$ tel que $k = 2j$ ; pour un tel $j$, on a $k(k + 1) = 2\,j(k + 1)$. Or $j(k + 1)$ est un entier, donc $k(k + 1)$ est pair.
Second cas : $k$ est impair. Alors $k + 1$ est pair, donc il existe un entier $j$ tel que $k + 1 = 2j$ ; pour un tel $j$, on a $k(k + 1) = 2\,kj$. Or $kj$ est un entier, donc $k(k + 1)$ est pair.
Dans les deux cas, il existe un entier $m$ tel que $k(k + 1) = 2m$. On fixe un tel entier $m$.
Or $n^2 - 1 = 4k(k + 1)$, donc $n^2 - 1 = 8m$.
Or $m$ est un entier, donc $8$ divise $n^2 - 1$.
Ainsi, pour tout entier impair $n$, l'entier $n^2 - 1$ est divisible par $8$.
Étape non immédiate : la parité de $k(k + 1)$. Le calcul donne seulement un facteur $4$, et c'est exactement cette étape qui fournit le facteur $2$ manquant ; écrire « $k(k+1)$ est évidemment pair » cacherait le cœur de la question.
À retenir : chaque ligne dit sa source (définition, calcul, cas), chaque entier dont on affirme l'existence est fixé avant d'être utilisé, « or » ramène le fait acquis au moment où il sert, et l'étape qui porte la question se démontre au lieu de se déclarer évidente.

1) On utilise le théorème d'encadrement : si $(v_n)$, $(u_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que $v_n \le u_n \le w_n$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers une même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $v_n = \dfrac{2n - 1}{n + 1}$ et $w_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}$. Vérifions les trois hypothèses.
Première hypothèse. Soit $n \in \mathbb{N}$. On a $-1 \le (-1)^n \le 1$, donc $2n - 1 \le 2n + (-1)^n \le 2n + 1$. Or $n + 1 > 0$, donc, en divisant par $n + 1$, on obtient $v_n \le u_n \le w_n$. Cet encadrement vaut pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Deuxième hypothèse. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = \dfrac{2(n + 1) - 3}{n + 1} = 2 - \dfrac{3}{n + 1}$. Or $\dfrac{1}{n + 1}$ tend vers $0$, donc $(v_n)$ converge vers $2$.
Troisième hypothèse. De même, $w_n = 2 - \dfrac{1}{n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, donc $(w_n)$ converge vers $2$, la même limite que $(v_n)$.
Les trois hypothèses sont vérifiées, donc, d'après le théorème d'encadrement, $(u_n)$ converge et sa limite est $2$.

2) La première hypothèse est vraie, avec $v_n = -1$ et $w_n = 1$ pour tout $n$. Ces deux suites constantes convergent, mais vers $-1$ et vers $1$ : l'hypothèse « même limite » n'est pas vérifiée. Le théorème ne s'applique donc pas et ne dit rien : il ne permet de conclure ni que $(\cos n)$ converge, ni qu'elle diverge. L'encadrement établit seulement que la suite est bornée.
À retenir : on écrit le théorème, on nomme les suites qui jouent chaque rôle, on coche les hypothèses une par ligne, et l'hypothèse de même limite est celle que l'on oublie.

1) Soit $x$ un réel strictement positif. On a les équivalences suivantes.
$x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \Leftrightarrow x^2 + 1 \ge 2x$, en multipliant par $x$, qui est strictement positif, ce qui conserve le sens de l'inégalité ; la réciproque s'obtient en divisant par $x > 0$.
$x^2 + 1 \ge 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 \ge 0$, en retranchant $2x$, opération réversible.
$x^2 - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 \ge 0$, car $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Or $(x - 1)^2 \ge 0$, car c'est le carré d'un réel.
Donc, par cette chaîne d'équivalences, $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$.
L'hypothèse $x > 0$ sert au premier maillon : multiplier par un réel strictement négatif renverserait l'inégalité. Pour $x = -1$, on a d'ailleurs $x + \dfrac{1}{x} = -2 < 2$.

2) Une chaîne « $x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow \dots \Rightarrow (x - 1)^2 \ge 0$ » établit seulement que, si l'inégalité voulue est vraie, alors $(x - 1)^2 \ge 0$. Or une implication dont la conclusion est vraie est vraie quelle que soit son hypothèse : elle n'apprend rien sur $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$. Pour conclure, il faut les implications dans l'autre sens, d'où les équivalences justifiées dans les deux sens.

3) Soit $x$ un réel strictement positif. Montrons que $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$.
On calcule $x + \dfrac{1}{x} - 2 = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x} = \dfrac{(x - 1)^2}{x}$.
Or $(x - 1)^2 \ge 0$ et $x > 0$, donc $\dfrac{(x - 1)^2}{x} \ge 0$.
Ainsi $x + \dfrac{1}{x} - 2 \ge 0$, c'est-à-dire $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$.
À retenir : partir du but n'est permis qu'avec des équivalences dont chaque sens est justifié, et la conclusion s'écrit en mots, par « or » et « donc », une fois la dernière ligne établie.

L'erreur est dans la dernière ligne : le théorème est appliqué sans que son hypothèse de signe soit vérifiée. Une dérivée positive au sens large donne seulement la croissance de $f$ sur un intervalle. Pour la croissance stricte, le théorème exige $f'(x) > 0$ en tout point de l'intervalle, sauf en un nombre fini de points où $f'$ s'annule.
Cette faute invalide la preuve, même si la conclusion est vraie : le même argument, appliqué à la fonction constante $g : x \mapsto 5$, dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée nulle donc positive, « démontrerait » que $g$ est strictement croissante, ce qui est faux.
Rédaction correcte.
On utilise le théorème suivant : si $h$ est dérivable sur un intervalle $I$, si $h'(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$, et si $h'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points de $I$, alors $h$ est strictement croissante sur $I$. Vérifions ses hypothèses pour $h = f$ et $I = \mathbb{R}$.
1) $\mathbb{R}$ est un intervalle.
2) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, car c'est une fonction polynôme, et $f'(x) = 3(x - 1)^2$ pour tout réel $x$.
3) Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $f'(x) = 3(x - 1)^2$. Or $(x - 1)^2 \ge 0$, car c'est un carré, et $3 > 0$, donc $f'(x) \ge 0$. Ceci vaut pour tout réel $x$.
4) Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $f'(x) = 0$ si et seulement si $(x - 1)^2 = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $x = 1$ : $f'$ ne s'annule qu'en un seul point.
Les hypothèses sont vérifiées, donc, d'après le théorème, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.