Rédiger un calcul

Une chaîne d'égalités $A = B = C = D$ affirme $A = B$, $B = C$ et $C = D$ ; par transitivité, elle établit $A = D$. Le signe $=$ relie deux expressions qui désignent le même objet, jamais deux énoncés. Une chaîne rédigée est orientée : elle part d'un membre de l'égalité voulue, chaque ligne commence par $=$, et elle s'arrête sur l'autre membre.

Si l'on déduit d'une assertion $P$ une assertion vraie $Q$, on a seulement prouvé $P \Rightarrow Q$, ce qui ne dit rien de la vérité de $P$. Exemple : de $-1 = 1$ on déduit $(-1)^2 = 1^2$, c'est-à-dire $1 = 1$, qui est vrai, alors que $-1 = 1$ est faux. C'est pourquoi on ne part jamais de l'égalité à démontrer pour en tirer des conséquences : on part d'un de ses membres, ou d'un fait déjà établi.

On a introduit une égalité vraie ; Posons ou Notons donne un nom à un objet déjà défini, sans rien supposer. car, puisque et d'après annoncent la justification d'une étape ; donc et d'où annoncent sa conséquence ; or apporte un fait connu qui va servir. équivaut à relie deux équations qui ont les mêmes solutions, alors que $=$ relie deux expressions. Les règles générales d'enchaînement sont traitées dans le thème « Enchaîner et justifier chaque étape ».

Quand l'utiliser : l'énoncé demande « Montrer que $A = B$ » où $A$ et $B$ sont deux expressions.
1) Poser les objets et leurs conditions : « Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que ... ».
2) Choisir le membre sur lequel une transformation s'impose (quotient à simplifier, somme à réduire au même dénominateur, produit à développer). C'est lui qu'on appelle le membre le plus compliqué.
3) Écrire « On a » puis ce membre, et le transformer ligne par ligne, chaque ligne commençant par $=$, en justifiant à droite toute étape non évidente.
4) S'arrêter exactement sur l'autre membre, puis conclure : « Ainsi, pour tout réel $x$ tel que ..., $A = B$. »
5) Si aucun membre ne se ramène à l'autre, transformer séparément $A$ en $C$ puis $B$ en $C$, et conclure « donc $A = C = B$ ».
On n'écrit jamais l'égalité $A = B$ en première ligne.

Montrer que pour tout réel $x \neq 1$, $\dfrac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \neq 1$. Alors $x - 1 \neq 0$, donc le quotient $\dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$ est défini.
En développant, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$.
On a donc $\dfrac{x^3 - 1}{x - 1} = \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$ d'après le développement précédent,
$= x^2 + x + 1$ en simplifiant par $x - 1$, ce qui est licite car $x - 1 \neq 0$.
Ainsi, pour tout réel $x \neq 1$, $\dfrac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$.
À retenir : la factorisation « devinée » est d'abord vérifiée par un développement, puis la simplification cite la condition qui l'autorise.

Montrer que pour tout réel $x \neq -1$, $\dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \neq -1$. Alors $x + 1 \neq 0$, donc les deux membres sont définis ; aucune autre condition n'est requise.
Le membre de droite est une somme qu'on sait réduire au même dénominateur ; on part donc de lui.
On a $x + 1 + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{(x + 1)^2}{x + 1} + \dfrac{2}{x + 1}$, car $x + 1 = \dfrac{(x+1)^2}{x+1}$ puisque $x + 1 \neq 0$,
$= \dfrac{(x + 1)^2 + 2}{x + 1}$
$= \dfrac{x^2 + 2x + 1 + 2}{x + 1}$ par l'identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$,
$= \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$.
Ainsi, pour tout réel $x \neq -1$, $\dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x + 1}$.
À retenir : le membre « le plus compliqué » est celui sur lequel une opération s'impose, et la condition $x + 1 \neq 0$ est citée à l'endroit exact où elle sert.

Ligne fautive : « Soit $x \geq 0$. Montrons que $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$. On a $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$, donc $(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}) = 1$, donc $(x + 1) - x - 1 = 0$, donc $0 = 0$, ce qui est vrai. »
Dès « On a », cette rédaction suppose ce qu'il faut démontrer, puis en tire des conséquences par des « donc » : elle établit seulement que l'égalité voulue entraîne $0 = 0$. Cela ne prouve rien, puisque d'une égalité fausse comme $-1 = 1$ on déduit aussi $0 = 0$, en multipliant les deux membres par $0$.
La faute tient à ces « donc », qui ne vont que dans un sens. Une chaîne d'équivalences justifiées, de l'égalité voulue jusqu'à une égalité vraie, serait correcte ; mais elle oblige à vérifier la réciproque de chaque étape, ce que la chaîne orientée évite (voir le thème « Implication et équivalence »).
Version correcte : après « Soit $x \geq 0$ », justifier que $D = \sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ est non nul, puis partir d'un seul membre : « On a $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})\,D}{D} = \dfrac{(x + 1) - x}{D} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$. » Chaque étape est détaillée dans la rédaction modèle « une racine et un dénominateur contrôlés avant le calcul ».

Ligne fautive : « $3x - 5 = x + 1 = 2x = 6 = x = 3$ ».
Lu tel qu'il est écrit, ce texte affirme que $6 = 3$ : chaque signe $=$ met en relation deux expressions, alors qu'ici chaque ligne est une nouvelle équation.
Version correcte : « L'équation $3x - 5 = x + 1$ équivaut à $2x = 6$, qui équivaut à $x = 3$. L'unique solution est $3$. » On relie les équations par « équivaut à » (ou $\iff$), et l'on réserve $=$ à la chaîne de transformations d'une même expression. La résolution elle-même est traitée dans le thème « Résoudre une équation ou une inéquation ».

Quand l'utiliser : dans toute chaîne de calcul, dès qu'une ligne ne découle pas d'un développement ou d'une réduction immédiate.
1) Repérer les étapes à justifier : usage d'une identité avec des valeurs substituées, d'une formule du cours, d'une hypothèse de l'énoncé, d'une condition de signe ou de non-nullité, d'une factorisation trouvée à l'œil.
2) Écrire la justification sur la ligne même, après l'expression : « par l'identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = \ldots$ et $b = \ldots$ », « car $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ », « d'après l'hypothèse ... ».
3) Si la justification est longue, la sortir du calcul : l'établir avant, dans une phrase « Remarquons d'abord que ... », puis y renvoyer (« d'après ce qui précède »).
4) Ne pas justifier les manipulations immédiates (réduire des termes semblables, développer un produit court) : trop de commentaires cachent les étapes qui comptent.

Montrer que pour tout réel $x$, $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos(2x)$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Toutes les expressions en jeu sont définies pour tout réel, aucune condition n'est à poser.
On a $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$ par l'identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ appliquée à $a = \cos^2 x$ et $b = \sin^2 x$,
$= \cos^2 x - \sin^2 x$ car $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,
$= \cos(2x)$ d'après la formule de duplication $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos(2x)$.
À retenir : chaque ligne non immédiate porte sa raison, et une identité appliquée précise les valeurs substituées.

Une expression est définie en $x$ lorsque chacune des opérations qui la composent l'est. Un quotient $\dfrac{A}{B}$ exige $B \neq 0$, une racine carrée $\sqrt{A}$ exige $A \geq 0$, un logarithme $\ln A$ exige $A > 0$. Pour une composée, la condition porte sur l'expression intérieure : $\sqrt{u(x)}$ exige $u(x) \geq 0$, $\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$. L'ensemble des $x$ qui vérifient toutes ces conditions est le domaine de validité du calcul.

Chaque règle ne vaut que sous sa condition, qu'on cite quand on l'applique. Pour le logarithme, les nombres doivent être strictement positifs ; pour la racine, positifs ; pour une simplification, le facteur doit être non nul.

Quand l'utiliser : l'expression contient un quotient, une racine carrée, un logarithme, ou une composée de ces fonctions.
1) Introduire la variable avec la condition donnée par l'énoncé : « Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que ... ».
2) Avant toute transformation, vérifier chaque condition, par écrit : « Comme $x \geq 0$, on a $x + 1 \geq 1 > 0$, donc $\sqrt{x + 1}$ est défini. » Si l'énoncé ne donne pas le domaine, le déterminer : « $A(x)$ est défini si et seulement si ... ».
3) Pour un dénominateur, prouver qu'il ne s'annule pas : par un argument de signe (« $D \geq 1 > 0$, en particulier $D \neq 0$ »), par la condition de l'énoncé (« $x \neq 1$, donc $x - 1 \neq 0$ ») ou comme produit de réels non nuls.
4) Mener le calcul, en citant la condition à chaque règle qui en exige une (« car $a > 0$ et $b > 0$ »).
5) Conclure en rappelant le domaine : « pour tout $x$ de ..., ... ». Une expression simplifiée peut être définie sur un ensemble plus grand ; l'égalité, elle, ne vaut que sur le domaine du départ.

Montrer que pour tout réel $x \geq 0$, $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \geq 0$.
Comme $x \geq 0$, $\sqrt{x}$ est défini et $\sqrt{x} \geq 0$.
Comme $x + 1 \geq 1 > 0$, $\sqrt{x + 1}$ est défini, et $\sqrt{x + 1} \geq \sqrt{1} = 1$ par croissance de la fonction racine carrée sur $[0, +\infty[$.
Notons $D = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x}$. En ajoutant membre à membre $\sqrt{x + 1} \geq 1$ et $\sqrt{x} \geq 0$, on obtient $D \geq 1 > 0$ ; en particulier $D \neq 0$, donc le membre de droite est défini.
On a $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \dfrac{(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})\, D}{D}$ car $D \neq 0$,
$= \dfrac{(\sqrt{x + 1})^2 - (\sqrt{x})^2}{D}$ par l'identité $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$,
$= \dfrac{(x + 1) - x}{D}$ car $(\sqrt{t})^2 = t$ pour tout $t \geq 0$, appliqué à $t = x + 1$ et à $t = x$,
$= \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$.
Ainsi, pour tout réel $x \geq 0$, $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}$.
À retenir : l'existence de chaque racine et la non-nullité du dénominateur sont établies avant la première ligne du calcul.

Déterminer l'ensemble $\mathcal{D}$ des réels $x$ pour lesquels $A(x) = \ln(x^2 - 1) - \ln(x - 1)$ est défini, puis simplifier $A(x)$ pour $x \in \mathcal{D}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. $A(x)$ est défini si et seulement si $x^2 - 1 > 0$ et $x - 1 > 0$.
Si ces deux conditions sont vraies, alors en particulier $x - 1 > 0$, c'est-à-dire $x > 1$.
Réciproquement, si $x > 1$, alors $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 2 > 0$, donc $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) > 0$ comme produit de deux réels strictement positifs.
Donc $\mathcal{D} = \,]1, +\infty[$.
Soit $x \in \,]1, +\infty[$. On a $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$.
On a $A(x) = \ln\big((x - 1)(x + 1)\big) - \ln(x - 1)$
$= \ln(x - 1) + \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$ car $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour $a > 0$ et $b > 0$, avec $a = x - 1$ et $b = x + 1$,
$= \ln(x + 1)$.
Ainsi, pour tout $x > 1$, $A(x) = \ln(x + 1)$.
À retenir : l'expression $\ln(x + 1)$ est définie dès que $x > -1$, mais l'égalité n'est établie que sur $]1, +\infty[$ ; le domaine se pose avant et se rappelle dans la conclusion.

Ligne fautive : « Pour tout réel $x \neq 0$, $\ln(x^2) = 2\ln(x)$. »
Pour $x = -1$, le membre de gauche vaut $\ln 1 = 0$, alors que $\ln(-1)$ n'existe pas : la règle $\ln(a^n) = n\ln a$ exige $a > 0$, et elle a été appliquée à $a = x$ sans vérifier ce signe.
Version correcte : « Soit $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 0$. On a $x^2 = |x|^2$ et $|x| > 0$, donc $\ln(x^2) = \ln(|x|^2) = 2\ln|x|$. » Si l'on sait de plus que $x > 0$, alors $|x| = x$ et l'on retrouve $2\ln x$.

Ligne fautive : « Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$, donc $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = x - 1$. »
Pour $x = -3$, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3$ : une racine carrée est toujours positive, et $x$ peut ne pas l'être.
Version correcte : « Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$. Donc $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|$, qui vaut $x - 1$ si $x \geq 1$ et $1 - x$ si $x < 1$. »

Soit $c$ un réel. Si $c \neq 0$, alors pour tous réels $a$ et $b$, $ac = bc$ équivaut à $a = b$. Si $c = 0$, l'égalité $ac = bc$ est vraie pour tous $a$ et $b$ : elle ne donne aucune information, et « diviser par $c$ » n'a pas de sens. Avant de diviser par une expression, il faut donc prouver qu'elle est non nulle, ou séparer les cas ; la règle du produit nul, $ab = 0$ si et seulement si $a = 0$ ou $b = 0$, évite souvent la division.

Quand l'utiliser : on veut diviser par une expression qui dépend d'une variable ou d'un paramètre ($x$, $m - 1$, $\cos x$, ...) et qui peut s'annuler.
1) Repérer le diviseur et les valeurs qui l'annulent.
2) Annoncer la disjonction : « Distinguons deux cas selon que $m - 1$ est nul ou non. »
3) Premier cas, diviseur nul : « Supposons $m = 1$. » Remplacer la valeur dans l'énoncé et traiter directement ce cas, sans diviser.
4) Second cas : « Supposons $m \neq 1$. Alors $m - 1 \neq 0$, donc on peut diviser par $m - 1$. » Mener le calcul.
5) Conclure en regroupant les cas : « En conclusion, si $m = 1$, ... ; si $m \neq 1$, ... ».
La rédaction générale d'une disjonction de cas est traitée dans le thème « Disjonction de cas ».

Soit $m$ un réel. Déterminer l'ensemble $S_m$ des réels $x$ tels que $(m - 1)x = m^2 - 1$.
Soit $m \in \mathbb{R}$.
Pour isoler $x$, on voudrait diviser par $m - 1$, qui s'annule lorsque $m = 1$ ; distinguons deux cas.
Premier cas : $m = 1$.
L'équation s'écrit $0 \times x = 0$, égalité vraie pour tout réel $x$.
Donc $S_1 = \mathbb{R}$.
Second cas : $m \neq 1$.
Alors $m - 1 \neq 0$.
Soit $x \in \mathbb{R}$. En divisant les deux membres par le réel non nul $m - 1$, l'équation $(m - 1)x = m^2 - 1$ équivaut à $x = \dfrac{m^2 - 1}{m - 1}$.
Or $\dfrac{m^2 - 1}{m - 1} = \dfrac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1} = m + 1$, la simplification étant licite car $m - 1 \neq 0$.
L'équation équivaut donc à $x = m + 1$, et $S_m = \{m + 1\}$.
En conclusion : $S_1 = \mathbb{R}$, et pour tout réel $m \neq 1$, $S_m = \{m + 1\}$.
À retenir : la valeur qui annule le diviseur est traitée d'abord, sans diviser, et la conclusion rassemble tous les cas.

Ligne fautive : « $x^2 = 3x$ ; en divisant par $x$, on obtient $x = 3$. L'unique solution est $3$. »
La division suppose $x \neq 0$ sans l'avoir dit : la solution $x = 0$ est perdue, car $0^2 = 3 \times 0$.
Version correcte : « L'équation $x^2 = 3x$ équivaut à $x(x - 3) = 0$, qui équivaut, par la règle du produit nul, à $x = 0$ ou $x = 3$. L'ensemble des solutions est $\{0, 3\}$. » On peut aussi traiter à part le cas $x = 0$, puis diviser par $x$ dans le cas $x \neq 0$.

Certaines notations désignent un objet et affirment donc qu'il existe. Écrire $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ suppose que la suite $(u_n)$ a une limite ; écrire $\max A$ suppose que l'ensemble $A$ possède un plus grand élément, c'est-à-dire un élément de $A$ supérieur ou égal à tous les autres ; écrire $f^{-1}$ pour la réciproque suppose que $f$ est bijective. En revanche, l'image réciproque $f^{-1}(B)$ d'une partie $B$, ensemble des antécédents des éléments de $B$, est définie pour toute application $f$. Avant d'utiliser une notation qui suppose une existence, on prouve l'existence de l'objet ; sinon, on écrit des énoncés qui ne la supposent pas (inégalités, « $u_n$ tend vers $\ell$ »).

Quand l'utiliser : on s'apprête à écrire $\lim u_n$, $\lim\limits_{x \to a} f(x)$, $\max A$ ou $\max f$ dans un calcul.
Pour une limite :
1) Si l'on connaît le candidat $\ell$, raisonner sur des inégalités : majorer $|u_n - \ell|$ par une suite qui tend vers $0$, ou encadrer $u_n$ entre deux suites de même limite.
2) Invoquer le théorème d'encadrement, qui donne à la fois l'existence et la valeur : « Par encadrement, la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\ell$. » Une majoration $|u_n - \ell| \leq v_n$ s'écrit $\ell - v_n \leq u_n \leq \ell + v_n$ et relève du même théorème.
3) Pour utiliser une somme ou un produit de limites, vérifier d'abord que chaque suite en jeu a une limite et que l'opération ne conduit pas à une forme indéterminée (les théorèmes sont traités dans le thème des suites convergentes).
4) Écrire seulement ensuite $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$.
Pour un maximum :
1) Exhiber un candidat $M$ et prouver $M \in A$.
2) Prouver que pour tout $a \in A$, $a \leq M$.
3) Conclure « Donc $A$ admet un plus grand élément et $\max A = M$. »
Si $A$ n'admet pas de plus grand élément (on le prouve en associant à tout $a \in A$ un élément de $A$ strictement plus grand), ou si l'on ne sait pas l'établir, ne pas écrire $\max A$ : énoncer les inégalités vraies (« pour tout $a \in A$, $a < 1$ »).

Montrer que la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $u_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n}$ converge vers $2$.
Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 1$.
Comme $n \neq 0$, $u_n$ est défini, et $u_n = \dfrac{2n}{n} + \dfrac{(-1)^n}{n} = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$.
La suite $\big((-1)^n\big)$ n'a pas de limite ; on ne peut donc pas utiliser le produit des limites pour $\dfrac{(-1)^n}{n}$. On raisonne sur des inégalités.
Comme $-1 \leq (-1)^n \leq 1$, on obtient, en divisant par le réel strictement positif $n$, $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$.
En ajoutant $2$, on obtient $2 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}$.
Ainsi, pour tout entier $n \geq 1$, $2 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}$.
Or la suite $\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n \geq 1}$ converge vers $0$, donc les suites $\left(2 - \dfrac{1}{n}\right)_{n \geq 1}$ et $\left(2 + \dfrac{1}{n}\right)_{n \geq 1}$ convergent vers $2$.
Donc, par le théorème d'encadrement, la suite $(u_n)$ converge et sa limite vaut $2$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2$.
À retenir : l'égalité $\lim u_n = 2$ n'est écrite qu'à la dernière ligne, une fois l'existence de la limite acquise par un encadrement.

Soit $A = \{n \in \mathbb{N} \mid n^2 \leq 50\}$ et $B = \left\{1 - \dfrac{1}{n} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^*\right\}$. Montrer que $A$ admet un plus grand élément et le déterminer, puis montrer que $B$ n'en admet pas.
Pour $A$. On a $7^2 = 49 \leq 50$, donc $7 \in A$.
Soit $n \in A$. Si l'on avait $n \geq 8$, on aurait $n^2 \geq 64 > 50$ par croissance de $t \mapsto t^2$ sur $[0, +\infty[$, ce qui contredirait $n \in A$.
Donc $n < 8$ et, $n$ étant entier, $n \leq 7$.
Ainsi $7$ appartient à $A$ et majore tous les éléments de $A$ : $A$ admet un plus grand élément, et $\max A = 7$.
Pour $B$. Soit $b \in B$ : il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $b = 1 - \dfrac{1}{n}$.
Posons $b' = 1 - \dfrac{1}{n + 1}$. Comme $n + 1 \in \mathbb{N}^*$, on a $b' \in B$.
De plus $b' - b = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{1}{n(n + 1)} > 0$, donc $b' > b$.
Ainsi, tout élément de $B$ est strictement dépassé par un élément de $B$ : aucun élément de $B$ n'est supérieur ou égal à tous les éléments de $B$, donc $B$ n'admet pas de plus grand élément, et la notation $\max B$ n'a pas de sens.
On peut en revanche écrire l'inégalité vraie : pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $1 - \dfrac{1}{n} < 1$.
À retenir : un maximum s'établit en deux temps, appartenance puis majoration, et faute de maximum on écrit des inégalités.

Ligne fautive : « $\lim \dfrac{(-1)^n}{n} = \lim (-1)^n \times \lim \dfrac{1}{n} = \lim (-1)^n \times 0 = 0$ ».
La règle du produit des limites exige que chaque facteur ait une limite ; or la suite $\big((-1)^n\big)$ vaut alternativement $1$ et $-1$ et n'en a pas. La ligne écrit un objet qui n'existe pas, et le résultat juste est obtenu par un argument faux.
Version correcte : « Pour tout $n \geq 1$, $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{(-1)^n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Les suites $\left(-\dfrac{1}{n}\right)$ et $\left(\dfrac{1}{n}\right)$ convergent vers $0$, donc par encadrement la suite $\left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)$ converge vers $0$. »

Ligne fautive : « Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$. Sa réciproque est $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$. »
$f$ n'est pas bijective : $f(-2) = f(2) = 4$, et $-1$ n'a pas d'antécédent. La notation $f^{-1}$, prise pour la bijection réciproque, désigne donc un objet qui n'existe pas. On confond aussi parfois $f^{-1}(x)$ avec $\dfrac{1}{f(x)}$, qui est tout autre chose.
L'image réciproque $f^{-1}(B)$ d'une partie $B$, elle, existe pour toute application : ici, écrire $f^{-1}(\{4\}) = \{-2, 2\}$ est parfaitement légitime.
Version correcte : « Soit $g : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$, $x \mapsto x^2$. Pour tout $y \geq 0$, l'équation $g(x) = y$ d'inconnue $x \geq 0$ a pour unique solution $\sqrt{y}$. Donc $g$ est bijective, et pour tout $y \geq 0$, $g^{-1}(y) = \sqrt{y}$. »

Quand l'utiliser : une même sous-expression revient plusieurs fois, ou le calcul déborde d'une ligne lisible.
1) Nommer les sous-expressions par une phrase : « Posons $S = \ldots$ et $P = \ldots$. » Choisir des lettres libres dans l'énoncé (jamais $e$, $i$, ni un indice ou une variable déjà utilisés).
2) Calculer chaque notation séparément, avec ses conditions (« $P \neq 0$ »).
3) Exprimer la quantité cherchée à l'aide des notations, en justifiant l'identité employée.
4) Remplacer par les valeurs et conclure avec les données de l'énoncé, sans laisser les lettres auxiliaires dans le résultat.
Une notation intermédiaire ne suppose rien : elle abrège un objet déjà défini, contrairement à « Supposons ».

Soient $x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Calculer $x_1^2 + x_2^2$ et $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$.
Posons $S = x_1 + x_2$ et $P = x_1 x_2$.
On a $S = \dfrac{1 + \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5}}{2} = 1$.
On a $P = \dfrac{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})}{4} = \dfrac{1 - 5}{4} = -1$, par l'identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Par l'identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $S^2 = x_1^2 + 2P + x_2^2$, donc $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 1 + 2 = 3$.
Comme $x_1 x_2 = P = -1 \neq 0$, on a $x_1 \neq 0$ et $x_2 \neq 0$, donc $\dfrac{1}{x_1}$ et $\dfrac{1}{x_2}$ sont définis.
On a $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \dfrac{S}{P} = \dfrac{1}{-1} = -1$.
Ainsi $x_1^2 + x_2^2 = 3$ et $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -1$.
À retenir : les notations évitent de développer des racines, chacune est calculée à part, et la condition avant la division porte sur une notation déjà connue.

Quand l'utiliser : à la fin d'un calcul de simplification, de factorisation ou de développement, pour détecter une erreur.
1) Choisir une valeur du domaine de validité, qui ne masque pas les erreurs : éviter $0$ et $1$, où $x^2 = x$ et où bien des termes disparaissent.
2) Évaluer séparément l'expression de départ et le résultat en cette valeur.
3) Si les valeurs diffèrent, le calcul est faux : évaluer chaque ligne de la chaîne en la même valeur ; la première ligne dont la valeur change contient l'erreur.
4) Si elles coïncident, le résultat est seulement plausible. Sur la copie, le contrôle se place après la conclusion et s'annonce comme tel : « Contrôle, qui ne remplace pas le calcul : pour $x = 2$, ... ».
Une valeur particulière ne prouve jamais une égalité « pour tout $x$ » ; elle peut en revanche la réfuter.

Écrire, pour tout réel $x$ différent de $1$ et de $-1$, $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}$ sous la forme d'un seul quotient.
Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \neq 1$ et $x \neq -1$. Alors $x - 1 \neq 0$ et $x + 1 \neq 0$, donc $(x - 1)(x + 1) \neq 0$ comme produit de deux réels non nuls.
On a $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$
$= \dfrac{x^2 + x - x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$, en distribuant le signe moins sur $x - 1$,
$= \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.
Ainsi, pour tout réel $x \notin \{-1, 1\}$, $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$.
Contrôle, qui ne remplace pas le calcul : pour $x = 2$, qui appartient au domaine, $\dfrac{2}{1} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}$ ; les deux valeurs coïncident. L'erreur fréquente $-(x - 1) = -x - 1$ aurait donné $1$, et ce contrôle l'aurait révélée.
À retenir : la preuve est le calcul ; le contrôle, sur une valeur du domaine autre que $0$ et $1$, vient après la conclusion et se dit contrôle.

Ligne fautive : « Vérifions que $(x + 1)^2 = x^2 + 1$ pour tout réel $x$ : pour $x = 0$, on trouve $1 = 1$. Donc l'égalité est vraie. »
Une valeur ne représente pas tous les réels : pour $x = 2$, $(2 + 1)^2 = 9$ alors que $2^2 + 1 = 5$. L'égalité est fausse, et le choix de $x = 0$ a masqué le terme $2x$ oublié.
Version correcte : « Pour $x = 2$, $(x + 1)^2 = 9$ et $x^2 + 1 = 5$ ; l'égalité est donc fausse. En revanche, pour tout réel $x$, $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$. » Pour prouver une égalité « pour tout $x$ », on mène un calcul sur un $x$ quelconque ; une valeur particulière ne sert qu'à contrôler ou à réfuter (voir le thème « Réfuter par un contre-exemple »).