Implication et équivalence

1) L'hypothèse de (A) est « $n$ est premier et $n \geq 3$ », c'est-à-dire $P(n) \text{ et } Q(n)$ ; sa conclusion est « $n$ est impair », c'est-à-dire $R(n)$. L'assertion (A) s'écrit donc $(P(n) \text{ et } Q(n)) \Rightarrow R(n)$.
2) Une implication à deux hypothèses réunies équivaut à deux implications emboîtées : $(P(n) \text{ et } Q(n)) \Rightarrow R(n)$ équivaut à $P(n) \Rightarrow (Q(n) \Rightarrow R(n))$. En français : si $n$ est premier, alors, si $n \geq 3$, $n$ est impair.
3) Réciproque, $R(n) \Rightarrow (P(n) \text{ et } Q(n))$ : si $n$ est impair, alors $n$ est premier et $n \geq 3$.
Contraposée, $\text{non}\,R(n) \Rightarrow \text{non}(P(n) \text{ et } Q(n))$. Par De Morgan, $\text{non}(P(n) \text{ et } Q(n))$ équivaut à $\text{non}\,P(n) \text{ ou } \text{non}\,Q(n)$ ; comme $n$ est un entier, la négation de $n \geq 3$ est $n \leq 2$. La contraposée s'écrit donc : si $n$ est pair, alors $n$ n'est pas premier ou $n \leq 2$.
Négation, $(P(n) \text{ et } Q(n)) \text{ et } \text{non}\,R(n)$ : $n$ est premier, $n \geq 3$ et $n$ est pair. Elle ne contient aucun « si ».
4) Cas de l'entier $9$. Pour cet entier, (A) s'écrit $(P(9) \text{ et } Q(9)) \Rightarrow R(9)$. On a $9 = 3 \times 3$ avec $1 < 3 < 9$, donc $9$ n'est pas premier : $P(9)$ est fausse, et l'hypothèse « $P(9)$ et $Q(9)$ » est fausse. Une implication dont l'hypothèse est fausse est vraie, donc (A) est vraie pour l'entier $9$ ; sa négation, qui prend la valeur contraire, est fausse. La réciproque $R(9) \Rightarrow (P(9) \text{ et } Q(9))$ a une hypothèse vraie, car $9 = 2 \times 4 + 1$ est impair, et une conclusion fausse, car $P(9)$ est fausse : elle est fausse.
Cas de l'entier $2$. Pour cet entier, (A) s'écrit $(P(2) \text{ et } Q(2)) \Rightarrow R(2)$. On a $2 < 3$, donc $Q(2)$ est fausse et l'hypothèse « $P(2)$ et $Q(2)$ » est fausse, bien que $P(2)$ soit vraie puisque $2$ est premier : (A) est vraie pour l'entier $2$ et sa négation est fausse. La réciproque $R(2) \Rightarrow (P(2) \text{ et } Q(2))$ a pour hypothèse $R(2)$, qui est fausse puisque $2$ est pair : elle est vraie.
Pour l'entier $2$, (A) est donc vraie alors que sa conclusion $R(2)$ est fausse : une implication vraie n'affirme pas sa conclusion, elle interdit seulement le cas « hypothèse vraie, conclusion fausse ».

1) La table complétée est la suivante.

2) « Les colonnes de $\text{non}(P \Leftrightarrow Q)$ et de $P \Leftrightarrow \text{non}\,Q$ coïncident sur les quatre lignes, donc ces deux assertions sont logiquement équivalentes. »
« Pour $P$ vraie et $Q$ vraie, $\text{non}(P \Leftrightarrow Q)$ est fausse tandis que $\text{non}\,P \Leftrightarrow \text{non}\,Q$ est vraie ; donc ces deux assertions ne sont pas logiquement équivalentes. »
La table montre même davantage : la dernière colonne coïncide avec celle de $P \Leftrightarrow Q$. Nier les deux membres d'une équivalence redonne une assertion équivalente à l'équivalence de départ, et non sa négation.
3) Notons $P$ l'assertion « $ABCD$ est un carré » et $Q$ l'assertion « les diagonales de $ABCD$ ont la même longueur » ; l'équivalence (E) s'écrit $P \Leftrightarrow Q$.
Sa négation est ($P$ et $\text{non}\,Q$) ou ($Q$ et $\text{non}\,P$), c'est-à-dire : ($ABCD$ est un carré et ses diagonales n'ont pas la même longueur) ou (les diagonales de $ABCD$ ont la même longueur et $ABCD$ n'est pas un carré).
D'après 2), elle équivaut aussi à $P \Leftrightarrow \text{non}\,Q$ : $ABCD$ est un carré si et seulement si ses diagonales n'ont pas la même longueur.
4) Les côtés consécutifs $[AB]$ et $[BC]$ n'ont pas la même longueur, donc $ABCD$ n'est pas un carré : $P$ est fausse. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur, donc $Q$ est vraie. Les deux membres de (E) n'ont pas la même valeur de vérité, donc (E) est fausse.
Dans la phrase proposée, le membre « $ABCD$ n'est pas un carré » est vrai et le membre « ses diagonales n'ont pas la même longueur » est faux : cette équivalence est fausse elle aussi.
Or une assertion et sa négation ont toujours des valeurs de vérité contraires. La phrase et (E) étant fausses toutes deux, la phrase n'est pas la négation de (E) : c'est $\text{non}\,P \Leftrightarrow \text{non}\,Q$, qui équivaut à (E). Pour ce rectangle, c'est le second cas de la négation, « les diagonales ont la même longueur et $ABCD$ n'est pas un carré », qui est vrai.